Les groupes et leurs représentations
5.5 GROUPE DES ROTATIONS SPATIALES
5.5.1 Groupe SO(3)
Une rotation spatiale peut être caractérisée par son axe et son angle de rotation. La di-rection de l’axe de rotation peut être repérée par deux angles. Compte tenu de l’angle de rotation, il faut donc trois paramètres pour caractériser une rotation spatiale.
L’axe de rotation peut également être donné par un vecteur unitaire uporté par l’axe. Nous noteronsRu(u) une rotation dans l’espace d’un angleuautour d’un axe défini par un vecteur unitaireu.
Considérons l’ensemble de toutes les rotationsRu(u) autour de tous les axes pas-sant par un pointOdonné de l’espace et que nous prendrons comme origine des axes.
Ces rotations forment un groupe puisque le produit de deux rotations est encore une rotation et que les autres axiomes de définition d’un groupe sont aisément vérifiées.
Les éléments du groupe ne sont pas commutatifs :
Ru(u)Ru(u)=Ru(u)Ru(u) (5.5.1) sauf dans le cas de deux rotations successives autour d’un même axe.
Le groupe des rotationsRu(u) est appelé legroupe des rotations spatialeset noté SO(3).
5.5.2 Représentation matricielle à trois dimensions de SO(3)
Considérons comme espace de représentationE3celui des vecteurs de l’espace géo-métrique. Notons e1, e2, e3 les vecteurs de base de E3. Une rotation quelconque peut être décomposée en trois rotations successives d’anglesa,b,gautour respec-tivement des axesOx,Oy,Ozd’un repère cartésien. NotonsRx(a),Ry(b),Rz(g) les opérateurs correspondant respectivement à chacune de ces rotations.
Une rotationRz(g) autour de l’axeOzlaisse inchangé le vecteure3, et les vecteurs e1 et e2 se transforment selon une rotation plane. On obtient donc la matrice de rotation représentant l’opérateurRz(g) sur la base deE3:
Rz(g)=
Les rotations autour de l’axeOxd’un angleaet autour deOyd’un angleb corres-pondent respectivement aux matrices :
Rx(a)=
Remarquons que les signes des éléments matriciels non-diagonaux de la matrice Ry(b) sont les opposés de ceux des deux autres matrices Rx(a) et Rz(g). Ceci ré-sulte du sens de la rotation autour de l’axeOyqui, par convention, est toujours de sens direct.
Une rotation quelconque peut donc être représentée par le produit des matrices : R(a, b, g)=Rx(a)Ry(b)Rz(g) (5.5.4) 5.5.3 Opérateurs infinitésimaux
Pour une rotationRz(g), nous pouvons faire un raisonnement identique à celui du paragraphe 5.4.3 en appliquant l’opérateur associéRz(g) à une fonctionF(x, y, z).
Puisquezne varie pas par rotation autour de l’axeOz, on retrouve le même opérateur de rotation infinitésimale, donné par (5.4.12), soit :
Lz =x ∂
∂y −y ∂
∂x (5.5.5)
Pour des rotationsRx(a) etRy(b), un raisonnement analogue à celui utilisé pour les rotations autour de l’axeOz, nous donne pour les générateurs infinitésimaux corres-pondants :
Introduisons le vecteurLayant pour composantes les générateurs infinitésimaux. Ce vecteur peut s’écrire sous la forme du produit vectoriel :
L=r×∇ (5.5.7)
Les opérateurs de rotation, pour des angles infinitésimaux de rotation, s’écrivent au voisinage de l’opérateur unité :
Rx(a)=11−Lxa ; Ry(b)=11−Lyb ; Rz(g)=11−Lzg (5.5.8) Les matrices infinitésimales des générateurs infinitésimaux s’obtiennent en prenant les dérivées des matrices (5.5.2) et (5.5.3) pour un angle nul de rotation. On obtient :
−Lx= Les matrices de rotation au voisinage de la matrice unité ont des expressions ana-logues à (5.5.8), en remplaçant les générateurs infinitésimaux par les matrices infini-tésimales correspondantes.
➤ Relations de commutation
M M'
u
du
a Δ
O Figure 5.2
On vérifie aisément que les matrices infinitésimales satisfont aux relations de commutation :
LxLy−LyLx=−Lz
LyLz−LzLy=−Lx
LzLx−LxLz=−Ly
(5.5.10) Il en est évidemment de même pour les générateurs infinitésimaux.
5.5.4 Rotation autour d’un axe quelconque a) Variation infinitésimale d’un vecteur
Considérons un vecteur unitaireuporté par un axe de rotationD(Fig. 5.2).
Soit r = OM un vecteur effectuant une rotation d’un angle du infiniment petit autour deD. Après rotation, le vecteurrdevientr =OM. Le vecteurdr =r −r est tangent au cercle de rayon rsina, où a est l’angle que font la droite D et le vecteurr. Le produit vectoriel (u ×r) est perpendiculaire au plan défini paruetr.
Confondant, à la limite, la longueur de l’arc de courbe et la longueurdr, on obtient :
dr=du(u×r) (5.5.11)
b) Opérateur de rotation au voisinage de l’unité
NotonsRu(du) une rotation d’un angleduautour d’un axeD. SoitRu(du) l’opérateur agissant sur des fonctionsc(r), d’où :
Ru(du)c(r)=c[R−1u (du)r] (5.5.12) Développant en série de Taylor et en se limitant au premier ordre, on obtient :
Ru(du)c(r)=c(r−dr)=c(r)−∂c
∂xdx−∂c
∂ydy−∂c
∂zdz
=c(r)−dr·∇c(r) (5.5.13)
L’expression (5.5.11) dedrnous donne alors :
Ru(du)c(r)=c(r)−du(u×r)·∇c(r)
=[1−duu·(r×∇)]c(r) (5.5.14) Le vecteur (r×∇) est le vecteurLdonné par (5.5.7), d’où l’expression de l’opé-rateur de rotation infinitésimale au voisinage de l’opél’opé-rateur unité :
Ru(du)=11−du(u
·
L) (5.5.15)Une expression analogue s’écrit pour la matrice infinitésimale de rotation, le vecteur Layant alors pour composantes les matrices infinitésimales (5.5.9).
c) Rotation finie
L’expression (5.5.15) permet d’obtenir une équation différentielle analogue à (5.4.16), soit :
dRu(u)
du =−(u
·
L)Ru(du) (5.5.16)L’opérateur (u·L) étant indépendant de la variableu, on obtient pour solution : Ru(u)=exp(−uu
·
L) (5.5.17)Notonsux,uy,uz, les composantes du vecteuru. La formule précédente s’écrit : Ru(u)=exp[−u(uxLx+uyLy+uzLz)] (5.5.18) 5.5.5 Relations de structure
La représentation matricielle de dimension trois du groupe SO(3) a pour matrices infinitésimales les matrices (5.5.9). Nous allons démontrer que toutes les représenta-tions matricielles, de dimension quelconque, ont des générateurs infinitésimaux qui vérifient les mêmes relations de commutation que la représentation de dimension trois.
Pour chacune des rotations autour des axesOx,Oy,Oz, les matrices infinitésimales respectives d’une représentationGde dimension quelconque seront notées Ax, Ay, Az. Ces matrices sont obtenues en dérivant les matrices de la représentation et en prenant leur valeur pour un angle nul de rotation, comme nous l’avons fait ci-dessus pour la représentation de dimension trois. Ces matrices infinitésimales représentent les générateurs infinitésimaux de la représentationG.
➤ Démonstration
Considérons deux rotations : l’une d’un angle a autour de l’un des axes d’un re-père cartésien, l’autre d’un anglebautour de l’un des autres axes cartésiens. Notons respectivement R(a) et R(b) les matrices correspondant à ces rotations, dans la re-présentation d’ordre trois donnée par (5.5.2) et (5.5.3). Formons alors la matrice suivante :
N=R(a)R(b)R(−a)R(−b) (5.5.19)
Cette matrice est développable selon les puissances de a et b. Elle se réduit à la matrice unité 11 poura = 0 etb = 0, et elle se réduit également à 11 pour a = 0 oub = 0. Par conséquent, tous les termes du développement autre que le premier doivent conteniraben facteur. Le terme du premier ordre de la matrice N−11 sera donc de la formeabP, où P est une matrice infinitésimale. Pour obtenir P, il suffit d’effectuer le produit (5.5.19) en se limitant dans chaque facteur au terme du premier ordre. On a pour chaque matrice le développement au voisinage de la matrice unité, donné par (5.5.8) :
R(a)=11−aL1 ; R(−a)=11 +aL1
R(b)=11−bL2 ; R(−b)=11 +bL2 (5.5.20)
oùL1etL2sont des matrices infinitésimalesLx,Ly, ouLz. Le produit de ces matrices nous donne, en se limitant au premier ordre :
N=11 +ab(L1L2−L2L1) +· · · (5.5.21) On aboutit ainsi au résultat suivant : siL1etL2sont des matrices infinitésimales, la matrice (L1L2−L2L1) est également une matrice infinitésimale. C’est ce que vérifient directement les formules (5.5.10).
La démonstration qui précède conduit cependant à un résultat plus général. En ef-fet, notons A1et A2les matrices infinitésimales correspondant aux rotations considé-rées. D’après la manière même dont la matrice (L1L2−L2L1) a été obtenue, il lui cor-respond, dans la nouvelle représentation, la matrice (A1A2−A2A1) et cette dernière est également une matrice infinitésimale. Ainsi les trois matrices : (AxAy −AyAx), (AyAz−AzAy), (AzAx−AxAz), étant des matrices infinitésimales, sont des combi-naisons linéaires de Ax, Ay, Az et les coefficients de ces combinaisons linéaires sont les mêmes pour toutes les représentations linéaires du groupe SO(3). Les formules de commutation (5.5.10) nous montrent donc qu’on a :
AxAy−AyAx =−Az ; AyAz−AzAy=−Ax; AzAx−AxAz =−Ay (5.5.22) Ces relations sont évidemment identiques pour les opérateurs de la représentation et constituent lesrelations de structuredu groupe SO(3).
5.5.6 Opérateurs hermitiens
On vérifie aisément que les matrices de rotation (5.5.2) et (5.5.3) sont des matrices unitaires :
R†R=RR†=11 (5.5.23)
Ceci tient au fait que les rotations conservent les longueurs et les angles. La propriété d’unitarité se conserve donc pour les matrices d’une représentation quelconque. Ef-fectuons alors un développement limité de l’expression (5.5.23) au voisinage de la matrice unité en ne conservant que les termes du premier ordre ; on obtient pour une représentation quelconque :
(11−Aia)†(11−Aia)=11−a(A†i + Ai) +· · ·=11 (5.5.24) d’où :
A†x =−Ax ; A†y =−Ay ; A†z =−Az (5.5.25) Les matrices infinitésimales d’une représentation quelconque sont antihermi-tiennes. C’est ce qu’on vérifie, par exemple, pour les matrices (5.5.9). Pour obtenir des matrices hermitiennes, il suffit de multiplier les matrices infinitésimales par i.
Ainsi :
Jx=iAx ; Jy =iAy ; Jz=iAz (5.5.26) sont des matrices hermitiennes. Les opérateurs correspondants possèdent évidem-ment les mêmes propriétés que leurs matrices.
EXERCICES