Formalisme de la mécanique quantique
3.3 SYSTÈME COMPLET D’OBSERVABLES QUI COMMUTENT
3.3.1 Observables qui commutent a) Base de l’espace des vecteurs d’état
Théorème. Si deux observables commutent, elles possèdent un système de vec-teurs propres communs formant une base de l’espace des vecvec-teurs d’état.
Pour démontrer ce théorème, considérons les vecteurs propres|w(b)k formant une base propre de l’opérateurB; ces vecteurs vérifient la relation (2.3.18). L’indice k caractérise la valeur propre associéebk, et l’indiceb, le degré de dégénérescencegk: b=1,2, ...,gk.
Un vecteur propre|cadeA, associé à la valeur proprea, peut alors être décom-posé sous la forme :
|ca= ∞
k=0 gk
b=1
w(b)k |ca |w(b)k (3.3.1) Notons|fk(a)le vecteur suivant, relatif à une seule valeur proprebk :
|fk(a)=
gk
b=1
w(b)k |ca |w(b)k (3.3.2) Notons que les vecteurs|fk(a) sont des vecteurs propres deB relatifs à la valeur proprebk. Le développement de|cas’écrit :
|ca= ∞ k=0
|fk(a) (3.3.3)
Montrons que les vecteurs|fk(a)sont également vecteurs propres de A. En effet, commeAetBcommutent, on a :
B(A−a)|fk(a)=(A−a)B|fk(a)=bk(A−a)|fk(a) (3.3.4)
Les vecteurs (A−a)|fk(a)sont donc des vecteurs propres deB; les valeurs propres correspondantesbk étant toutes distinctes, ces vecteurs sont linéairement indépen-dants. Cependant, on a également :
k
(A−a)|fk(a)=(A−a)|ca=0 (3.3.5) Comme|caest donné par (3.3.3), l’égalité (3.3.5) n’est possible que si chacun des vecteurs (A−a)|fk(a)est nul, soit :
(A−a)|fk(a)=0 (3.3.6)
En conséquence, les vecteurs|fk(a)sont aussi vecteurs propres deA. Les résultats précédents s’appliquent à tout vecteur propre|c(a)n deAassocié à la valeur propre an, de dégénérescencegn, aveca=1,2, ...,gn. On a la décomposition :
|c(a)n =
k
|f(a)k (an) (3.3.7)
où les vecteurs|f(a)k (an)sont des vecteurs propres communs àAetB. Il existe éven-tuellement plusieurs vecteurs |f(a)k (an), pour un même couple de valeurs propres (an, bk), qui peuvent ne pas être linéairement indépendants. Cependant, il est pos-sible de construire une suite de vecteurs orthonormés |h(g)k (an) correspondant au même couple de valeurs propres et tels que les vecteurs|f(a)k (an)soient des combi-naisons linéaires de ces vecteurs :
|f(a)k (an)=
g
cag|h(g)k (an) (3.3.8) L’ensemble {|h(g)k (an)} constitue un système orthonormé de vecteurs communs à AetB. De plus, l’ensemble {|h(g)k (an)}est un système total car tout vecteurCest développable en série des vecteurs|h(g)k (an). En effet, il suffit de développerC sur la base{|c(a)n }, puis de transformer chaque|c(a)n à l’aide de son développement (3.3.7) et enfin de substituer aux|f(a)k (an)leur développement (3.3.8). Le théorème se trouve ainsi démontré ; sa réciproque se démontre également.
Ce théorème s’étend à un nombre quelconque N d’observables qui commutent deux à deux. Par conséquent, siN observables commutent deux à deux, elles pos-sèdent au moins un système orthonormé total de vecteurs propres communs et réci-proquement.
b) Observables compatibles
SoientAetBdeux observables qui commutent et soientajetbkdes valeurs propres respectives de AetB. Notons |aj, bk, a les vecteurs formant une base commune de l’espace des états ; l’indicea spécifie les différents vecteurs correspondant à un même coupleaj,bk.
L’état|aj, bk, a étant associé à la valeur propreaj deA, il existe au moins un état pour lequel une mesure deApermettra d’obtenir la valeuraj. Pour ce même état,
une mesure deBpermettra d’obtenir la valeurbk. Si l’on effectue simultanément une mesure deAetB, on peut, dans ce cas, obtenir des valeurs parfaitement déterminées.
Lorsqu’il en est ainsi, on dit que ces observables sontcompatibles.
Lorsque deux observables ne commutent pas, elles ne pourront pas avoir de base commune et un état ne pourra pas être un vecteur propre simultané de ces deux observables, sauf éventuellement pour quelques vecteurs particuliers. On dira que ces observables sontincompatibles.
3.3.2 Système complet d’observables qui commutent
La notion desystème complet d’observables qui commutent— dont le sigle est noté
«SCOC» — est importante en mécanique quantique car elle correspond à l’idée que, pour un système donné, on a trouvé un ensemble d’observables dont les valeurs et les vecteurs propres spécifient toutes les grandeurs expérimentales mesurables, pour une technique de mesure donnée.
Considérons une observableAagissant dansE et une base propre deA. Lorsque aucune des valeurs propres de An’est dégénérée, cette base propre est unique, en convenant évidemment de considérer comme identique des vecteurs qui ne diffèrent entre eux que par leur phase. On dit alors que l’observableAconstitue, à elle seule, unSCOC.
Supposons à présent que l’observableA ait un spectre dont l’une au moins des valeurs propres soit dégénérée. Notonsacette valeur dégénérée etEale sous-espace propre formé par les vecteurs propres associés à la valeur proprea. On peut choisir à l’intérieur deEaune base quelconque et la base propre deAn’est plus unique.
Soit alorsBune autre observable qui commute avecA. On peut former une base orthonormée de vecteurs propres communs àAetBpuisque nous en avons démontré l’existence. Si cette base est unique, c’est-à-dire si à chacun des couples de valeurs propresaj,bk, il correspond un seul vecteur de base deE, on dit alors que les obser-vablesAetBforment unSCOC.
De manière générale, des observables A, B, ..., M qui commutent deux à deux forment unSCOCsi elles possèdent un système de base commun et un seul.
Remarquons que pour un système physique donné, on peut choisir plusieursSCOC
différents. En particulier, on peut ajouter d’autres observables qui commutent avec ceux d’un SCOC; on obtient alors un autre SCOC. On utilisera généralement le nombre minimal d’observables permettant de former unSCOC.
3.3.3 Mesures expérimentales etSCOC
Les grandeurs physiques représentées par les observables d’un SCOCpeuvent être toutes mesurées simultanément avec précision et forment un système complet de grandeurs compatibles. Le vecteur d’état du système est un vecteur propre des ob-servablesA, B, ..., M, correspondant aux valeurs propresa, b, ..., m, trouvées lors de l’opération de mesure. Comme il n’existe qu’un seul vecteur propre possédant
cette propriété, la donnée de ces mesures définit complètement le vecteur d’état du système physique.
En pratique, pour un système donné et certains résultats expérimentaux, le physi-cien doit trouver, à partir de diverses hypothèses, les observables nécessaires de telle sorte que les éléments matriciels des matrices de ces observables concordent avec les valeurs expérimentales de celles-ci.
La question de savoir en quoi consiste unSCOCn’est donc pas purement mathé-matique. Si une expérience fournit plus de valeurs qu’on peut en obtenir à l’aide d’un système donné d’opérateurs qui commutent, alors ce système n’est pas complet et on doit augmenter le nombre d’opérateurs qui commutent.
Pour un même système, selon les énergies en jeu, par exemple, il faudra éventuel-lement considérer des SCOC différents. Une augmentation de la précision des me-sures peut également nécessiter des complications du modèle initial afin de rendre compte de la nouvelle structure d’un spectre, par exemple, ce qui entraînera l’élar-gissement duSCOCqui satisfaisait à des mesures de moindre précision.