NIVEAUX D’ÉNERGIE

4.2.1 Opérateurs

Nous allons chercher les valeurs propres de l’hamiltonienH en utilisant le forma-lisme des vecteurs d’état. L’opérateurHagissant sur les vecteurs d’état s’obtient en remplaçantxetpxpar les observablesXetPx, d’où :

H= P²_x 2m+ 1

2k X² (4.2.1)

Afin de simplifier l’expression deH, posons :v=

k/moùvest la pulsation des oscillations sinusoïdales. D’autre part, introduisons les opérateurs sans dimension suivants :

Q= mv

X; P= √Px

mv; H₁= H

v (4.2.2)

Avec ces notations, l’équation de SchrödingerH|c=E|cs’écrit : H₁|c= 1

2(P²+Q²)|c= E

v|c (4.2.3)

On obtient une équation qui est sans dimension. La recherche du spectre deHconduit à définir deux nouveaux opérateurs qui facilitent cette recherche, soit :

A= 1

√2(Q+iP) ; A^†= 1

√2(Q−iP) (4.2.4)

Remarquons queAn’est pas un opérateur hermitien puisqu’il est différent de son ad-jointA^†. Les opérateursAetA^†sont classiquement notés par des lettres minuscules, aeta^†, mais nous conserverons ici notre convention de notation des opérateurs par des majuscules. Effectuons le calcul du produit A^†A; on obtient, compte tenu de [Q,P]=i:

A^†A= 1

2(P²+Q²) + i

2[Q,P]=H₁−1

2¹1 (4.2.5)

Définissons l’opérateurN par :N = A^†A; cet opérateur est hermitien puisqu’on a : N^†=(A^†A)^†=A^†A=N. L’équation (4.2.5) nous donne :

H₁=N+ 1

2¹1 (4.2.6)

L’hamiltonien H₁ est, à une constante additive près, identique à N. Par suite, ses vecteurs propres sont les mêmes que ceux deN et ses valeurs propres s’obtiendront à partir de celles deN en ajoutant 1/2. Nous allons donc chercher le spectre et les vecteurs propres deN.

4.2.2 Vecteurs propres deN

Puisque le spectre deHest discret, désignons parnles valeurs propres deNet notons

|nses vecteurs propres orthonormés ; on a ainsi :

N|n=n|n (4.2.7)

Pour déterminer explicitement les valeurs propresn, nous allons d’abord étudier l’ac-tion de l’opérateurAsur un vecteur propre deN. Pour cela, calculons le commutateur [A,A^†] qui nous donne, compte tenu de [Q,P]=i:

[A,A^†]=11 (4.2.8)

Cette dernière relation nous permet d’obtenir aisément les commutateurs suivants : [N,A^†]=A^†; [N,A]=−A (4.2.9) Montrons que les valeurs propresnsont positives ou nulles. En effet :

n|N|n=n|A^†A|n=An|An (4.2.10) D’autre part, on a :n|N|n=nn|n=n, d’où :

n=An|An=A|n²0 (4.2.11) a) Action de A sur les vecteurs propres de N

Montrons que le vecteurA|nest un vecteur propre deNpour la valeur propre (n−1).

Selon (4.2.9), on a :

[N,A]|n=NA|n −AN|n=−A|n (4.2.12) Puisque|nest vecteur propre deN, l’équation (4.2.12) nous donne :

NA|n=(n−1)A|n (4.2.13)

Cette dernière relation montre queA|nest vecteur propre deNpour la valeur propre (n−1). Notons |n−1 le vecteur propre deN relatif à la valeur propre (n−1).

Puisque les valeurs propres de H₁, donc de N, ne sont pas dégénérées, le vecteur A|nest proportionnel à|n−1, soit :

A|n=a|n−1 (4.2.14)

On obtient pour le produit scalaire suivant :

n|A^†A|n=n|N|n=nn|n=aa^∗n−1|n−1 (4.2.15) Les vecteurs|nétant tous normalisés, on obtient :aa^∗ =|a|²=n, d’où :

|a|=√

n (4.2.16)

Puisque les vecteurs d’état sont définis à un facteur de phase près, on peut choisir ce facteur de sorte queasoit réel, d’où :

A|n=√

n|n−1 (4.2.17)

Des vecteurs propres successifs deN peuvent alors être obtenus en appliquant plu-sieurs fois l’opérateur A sur un vecteur |n. À chaque application de A, la valeur propre associée diminue d’une unité.

b) Action de A^†sur les vecteurs propres de N

Montrons que l’application deA^† à un vecteur |npermet également d’obtenir des vecteurs propres deNmais pour des valeurs propres qui augmentent à chaque appli-cation deA^†d’une unité. En effet, selon (4.2.9) :

[N,A^†]|n=NA^†|n −A^†N|n=A^†|n (4.2.18) Puisque|nest vecteur propre deN, l’équation (4.2.18) nous donne :

NA^†|n=(n+ 1)A^†|n (4.2.19) Cette relation montre queA^†|nest vecteur propre deN, et un calcul analogue à celui effectué pour l’action deAnous donne, avec un choix identique de phase :

A^†|n=√

n+ 1|n+ 1 (4.2.20)

Des applications successives deA^†à un vecteur propre deNpermettent d’obtenir une suite de vecteurs propres deN associés à des valeurs propres qui augmentent d’une unité à chaque application deA^†.

4.2.3 Spectre des valeurs propres

La relation (4.2.13) :NA|n = (n−1)A|n est vérifiée lorsqueA|n est un vecteur propre deN mais également lorsqueA|n=0, où 0 est le vecteur nul.

Compte tenu de (4.2.11), la norme deA|nest égale à√

npuisque les vecteurs|n sont normés ; si le vecteurA|nest le vecteur nul, sa norme est nécessairement nulle et on a :n=0. Cette valeur est la valeur propre minimale puisque, selon (4.2.11) :

n0 (4.2.21)

Le vecteur propre deN, associée à la valeur propre zéro, est noté|0et on a :

A|0=0 (4.2.22)

Par applications successives de l’opérateur A^† au vecteur |0, on obtient tous les vecteurs propres|nde l’opérateurN. Puisque les valeurs propres augmentent d’une unité, à partir de zéro, à chaque application deA^†, les valeurs propres deNsont donc les entiers successifs :

n=0,1,2,3, . . . (4.2.23)

Implicitement, nous avons supposé que le vecteur|0existe, mais nous verrons que cette hypothèse est réaliste puisque nous obtiendrons aisément la représentation−|r du vecteur|0.

a) Action de l’opérateur A^†

Montrons que les vecteursA^†|nsont toujours différents de zéro quel que soitn. Pour cela, calculons le carré de la norme deA^†|n, soit :

A^†|n²=A^†n|A^†n=n|AA^†n (4.2.24) Utilisons la relation de commutation (4.2.8) :AA^†=A^†A+11 ; il vient :

n|AA^†n=n|A^†An+n|n=A|n²+|n²>0 (4.2.25) La quantité précédente est strictement positive pour tout vecteur|n =0. Par suite, si|0existe, il en est de même pour tous les vecteursA^†|n.

b) Valeurs propres de l’hamiltonien

PuisqueH₁ =N+ 1/2, les vecteurs propres deN sont également ceux deH₁et les valeurs propres deH₁sont égales àn+ 1/2. D’autre part,H = vH₁; les valeurs propres de H, c’est-à-dire les niveaux d’énergie de l’oscillateur harmonique, sont données par :

En=v

n+ 1 2

; n=0,1,2,3, . . . (4.2.26) Le nombre n est appelé nombre quantique de l’oscillateur harmonique. Ainsi que prévu, on obtient un spectre discret et les niveaux d’énergie sont positifs. Le niveau le plus bas, ou niveau fondamental, est égal à :

E₀= v

2 (4.2.27)

On remarque que même dans son état de plus basse énergie, l’oscillateur harmonique est animé d’une certaine vibration. On retrouve la prévision faite précédemment que l’énergie ne peut être nulle ainsi qu’il résulte de l’inégalité de Heisenberg.

4.2.4 Opérateurs de création et d’annihilation

On peut donner une interprétation physique des opérateursA et A^†, en étudiant le résultat de l’action de ces opérateurs sur les niveaux d’énergie de l’oscillateur.

L’application deA^† sur un état |n d’énergie En le fait passer sur l’état |n + 1 d’énergie E_n+1. On peut dire que l’opérateur A^† « crée » une quantité d’énergie v=E_n+1−En, d’où son appellation d’opérateur de création.

L’opérateur Afait au contraire passer le système d’un état En à un état En−1 et

« détruit » ainsi un quantum d’énergiev;Aest appeléopérateur d’annihilation.

Ces opérateurs jouent un rôle extrêmement important en théorie quantique des champs, permettant de décrire la création ou l’annihilation de particules, ce qu’on observe expérimentalement pour divers systèmes quantiques.