REPRÉSENTATION D’UN GROUPE

5.2.1 Exemple de représentation

Considérons les rotations d’un anglea, notéesR(a) dans un planP autour d’un axe Dperpendiculaire à ce plan. On vérifie aisément que l’ensemble des rotationsR(a), 0a2p, forme un groupe qui possède une infinité continue d’éléments.

Une rotationR(a) transforme un point (x, y) du planP en un autre point (x, y).

Écrivons cette transformation sous la forme :

R(a)(x, y)=(x, y) (5.2.1)

SoitF(x, y) une fonction définie en chaque point du plan P. Appelons opérateur de rotation R(a), l’opérateur qui agissant sur la fonction F(x, y) la transforme en F(x, y), soit :

F(x, y)=R(a)F(x, y) (5.2.2) À chaque rotationR(a), on peut associer un opérateur de rotationR(a) défini par (5.2.2). On dit que la transformation sur F(x, y) est induite par R(a) sur le point (x, y). Remarquons que les rotationsR(a) agissent sur l’espace ponctuel formé par les points du plan alors que l’opérateur associéR(a) agit dans l’espace des fonctions F(x, y).

Considérons un espace de fonctionsF(x, y) structuré en espace vectorielE ; dans ce cas, les opérateursR(a) agissent sur les vecteurs de l’espaceE. On dit que l’en-semble des opérateursR(a), associés aux rotationsR(a), forme unereprésentation du groupe des rotations planes.

5.2.2 Définition d’une représentation d’un groupe

Soit un groupeGdont les éléments sont notésg. Donnons-nous un espace vectoriel En de dimension finie n. À chaque élément gdu groupe, faisons correspondre un opérateurGqui, agissant sur un vecteurcdeEn, donne un vecteur transformécde En, tel que :

c =Gc (5.2.3)

Choisissons de plus un opérateurGlinéaire, c’est-à-dire tel que :

G(lc+mc)=lGc+mGc (5.2.4)

Enfin, imposons aux opérateurs associés G la propriété d’homomorphie (5.1.12).

Soient trois éléments deG:gi,gj,gk, tels quegigj =gk, et soientG(gi),G(gj),G(gk) leurs opérateurs associés respectifs ; ces derniers doivent être tels que, appliqués à un vecteurcdeEn, on ait :

G(gi)[G(gj)c]=G(gk)c=G(gigj)c (5.2.5) Autrement dit, les opérateurs associés doivent vérifier la relation d’homomorphie (5.1.12) :

G(gi)G(gj)=G(gigj) (5.2.6) Ainsi l’opérateurG(gk) associé au produitgigjde deux éléments du groupe doit cor-respondre au produit des opérateurs associés respectivement à chacun des éléments gietgj.

Supposons qu’à chaque élément du groupeG, on ait fait correspondre un opéra-teur linéaireGpouvant agir sur les éléments d’un espace vectorielEnet vérifiant la propriété (5.2.6). On dit que ces opérateurs représentent le groupeGou encore qu’ils forment unereprésentation linéairedu groupe.

L’espace vectorielEnest appeléespace de représentationdu groupeG. La dimen-sion deEns’appelle ladimensionde la représentation. Une représentation est donc un ensemble d’opérateurs que nous noterons généralement par les symbolesGouD.

De manière plus générale, si un groupeTd’opérateurs linéaires agissant sur un espace vectorielEnest homomorphe au groupeG, on dit que le groupeTconstitue une représentation du groupeG.

➤ Représentation matricielle

Les opérateurs agissant sur des vecteurs sont des êtres mathématiques définis in-dépendamment de toute base de l’espace vectoriel considéré. Le choix d’une base permet d’écrire la matrice d’un opérateur sur cette base comme nous l’avons vu au cours du chapitre 2.

À chaque opérateurG(g) d’une représentation d’un groupe, on peut donc associer une matrice, notée M(g). L’ensemble des matrices associées à chacun des éléments du groupe est appelé une représentation donnée sous forme matricielle ou plus briè-vement unereprésentation matricielledu groupe.

La trace d’une matrice M(g) s’appelle lecaractèrede l’élémentgdu groupe dans la représentation considérée. Le caractère est notéx(g), soit :

x(g)=Tr M(g) (5.2.7)

L’ensemble des caractères relatifs à tous les éléments du groupe constitue le carac-tère de la représentation.

5.2.3 Représentations réductibles et irréductibles

Considérons un espace vectoriel de représentationEnd’un groupeG. NotonsGnla représentation deG.

SoientF1etF2deux sous-espaces deEn. Si tout vecteurcdeEnpeut s’écrire de façon unique sous la formec =f1+f2, avecf1etf2appartenant respectivement àF1etF2, on dit queEnestsomme directedes deux sous-espacesF1etF2et l’on écrit :

En=F1⊕F2 (5.2.8)

a) Somme directe de deux représentations

Supposons que toutes les transformations du groupeGappliquées à n’importe quel vecteurc₁du sous-espaceF1redonnent un vecteur appartenant àF1. On dit alors que le sous-espace eststablepar le groupeG.

En conséquence, le sous-espace vectoriel F1 peut servir d’espace de représen-tation pour le groupeG. NotonsG₁ la représentation définie sur F1. D’autre part, supposons queF2soit également stable par le groupeGet serve à former une repré-sentation deGnotéeG₂.

On dit que la représentationGn, ayant pour espace de représentationEn, est la somme directe des représentationsG₁etG₂et l’on écrit :

Gn=G₁⊕G₂ (5.2.9)

b) Définitions

Si aucun sous-espace vectoriel deEnn’est stable parG, on dit que la représentation Gnestirréductible.En d’autres termes, siGnest une représentation irréductible, elle ne peut pas être décomposée en somme directe de deux ou plusieurs représentations.

Dans le cas contraire, on dit que la représentation estréductible. Par définition, toute représentation réductible est donc la somme directe de deux ou plusieurs repré-sentations.

5.2.4 Représentations équivalentes

Soient deux bases{ej}et{e_i}d’un espace vectoriel de représentationVn; ces bases sont liées entre elles par les relations :

e_i =

j

Ajiej ; ej =

i

(A⁻¹)ije_i (5.2.10) Notons A et A⁻¹ les matrices ayant respectivement pour éléments Aji et (A⁻¹)ij. Soient M(g) et M(g) les matrices formant respectivement les représentationsGn et G_nobtenues à partir des bases{ej}et{e_i}. On a les relations suivantes entre matrices équivalentes :

M(g)=A⁻¹M(g)A (5.2.11)

La représentationG_n, donnée sous forme matricielle M(g), est diteéquivalente(ou isomorphe) à la représentationGnformée des matrices M(g). Ces deux représenta-tions se déduisant l’une de l’autre par un changement des vecteurs de base ne sont pas essentiellement différentes et elles pourront être identifiées entre elles selon les besoins.

Les caractères de représentations équivalentes sont égaux. En effet, on a : x(g)=Tr M(g)=Tr A⁻¹M(g)A=Tr A⁻¹AM(g)=Tr M(g)=x(g) 5.2.5 Produit direct de représentations

Soient deux espaces de représentationEpetEqd’un groupeG; notonsA(gi) etB(gi) les opérateurs linéaires associés à un élémentgi deG, agissant respectivement dans EpetEqet formant les représentations respectivesGpetGq.

Montrons que si l’espaceEpq=Ep⊗Eqest choisi comme espace de représen-tation deG, alors l’ensemble des opérateurs :

A(gi)⊗B(gi)=(A⊗B)(gi) (5.2.12) oùgiparcourt tout le groupe, constitue une représentation deG. La plupart des pro-priétés que doit satisfaire une représentation étant aisées à vérifier, il suffit de dé-montrer la propriété (5.2.6). Or, utilisant la formule du produit tensoriel de deux opérateurs, on obtient :

[(A⊗B)(gi)][(A⊗B)(gk)]=[A(gi)A(gk)]⊗[B(gi)B(gk)]

=(A⊗B)(gigk) (5.2.13)

La représentation réalisée par les opérateurs (A ⊗ B)(gi) s’appelle leproduit tenso-riel, ou encore leproduit direct, des représentationsGp etGq; cette représentation est notée :

Gpq=Gp⊗Gq (5.2.14)

a) Décomposition de Clebsch-Gordan

Si les représentationsGpetGqsont irréductibles, leur produit direct est en général réductible. La décomposition de ce produit directGp ⊗ Gq sous la forme d’une somme directe de représentations irréductiblesGk du groupe :

Gp⊗Gq=

k

⊕apqkGk (5.2.15)

s’appelle la décomposition de Clebsch-Gordan.

L’espace vectorielEp⊗Eqest l’espace de représentation deGp⊗Gq; d’autre part, à chaque représentationGk correspond un espace de représentationEk. En consé-quence, l’espaceEp⊗Eqse décompose également en une somme directe d’espaces vectorielsEk:

Ep⊗Eq=

k

⊕apqkEk (5.2.16)

b) Représentation matricielle

Déterminons les matrices des opérateurs (A⊗B)(g) = C(g) agissant dans l’espace Ep⊗Eq. Soient{ci}et{fj}les bases respectives deEpetEq; notons A et B les matrices des opérateursA(g) etB(g), dont les éléments matriciels sont définis par :

A(g)ci=

k

akick ; B(g)fj=

l

bljfl (5.2.17) Utilisant (5.2.17) ainsi que la propriété (2.1.42) du produit tensoriel d’opérateurs, on obtient :

Les quantitésc_ki,lj=akibljsont les éléments matriciels de la matrice C de l’opérateur C(g). Nous dirons que C est le produit tensoriel de la matrice A par la matrice B et nous la noterons C = A⊗B. Les matrices C constituent une représentation matricielle, notéeGp⊗ Gq, du groupeG.

Les éléments d’une matrice A⊗B sont classés selon la disposition suivante :

C=A⊗B=

Les sous-matrices aijB possèdent des élémentscki,lj = akiblj qui sont classés selon l’ordre utilisé dans la matrice B.

c) Caractère d’un produit direct

La disposition (5.2.19) des éléments matricielsc_ki,lj =akiblj montre que la trace de A⊗B est donnée par :

Tr(A⊗B)=

i

aii (Tr B)=(Tr A) (Tr B) (5.2.20) Le caractère de la représentation produit direct Gp ⊗Gq est égal au produit des caractères des représentations facteurs, soit :

x(Gp⊗Gq)=x(Gp)x(Gq) (5.2.21) d) Notation d’une matrice

Nous noterons les opérateurs et les matrices par le même symbole, celui des opéra-teurs étant en italique et celui des matrices en caractères droits. Les représentations d’un groupe par des opérateurs ou par leurs matrices sont notées de manière iden-tique.