DÉFINITION D’UN GROUPE

5.1.1 Intérêt de la théorie des groupes

Nombre de systèmes physiques, classiques ou quantiques, possèdent des propriétés de symétrie. Ainsi un atome isolé reste identique à lui-même lors d’une rotation par rapport à un axe passant par le centre de son noyau. Il en est de même pour toute réflexion dans un plan passant également par son centre.

La connaissance des propriétés géométriques fondamentales des transformations de symétrie permet de déterminer certaines propriétés quantiques et d’en avoir ainsi une compréhension approfondie. Or ces opérations de symétrie forment desgroupes, au sens mathématique du terme. De plus, la théorie des groupes ne se limite pas aux seuls groupes de symétrie mais s’intéresse également aux permutationsqui jouent un rôle fondamental vis-à-vis des propriétés des systèmes de particules identiques.

D’autres groupes, plus abstraits, jouent également des rôles importants en méca-nique quantique et nous aurons l’occasion de le voir, par exemple, lors de l’étude des spineurs.

Dès 1927, des théoriciens comme Wigner et von Neumann ont fait un large usage de la théorie des représentations des groupes de permutations et de rotations, mettant en évidence les propriétés de l’équation de Schrödinger. La théorie des groupes in-tervient dès les fondements de la mécanique quantique ainsi que nous le verrons lors de l’étude du moment cinétique. Les applications des groupes se retrouvent en ato-mistique, spectroscopie, vibrations moléculaires et cristallines, liaisons chimiques, particules élémentaires, etc. Nous renvoyons le lecteur à notre ouvragesur la théo-rie des groupes pour une étude détaillée de ces applications.

1. J. HLADIK.La théorie des groupes en physique et chimie quantiques.Masson (1995).

5.1.2 Axiomes de définition d’un groupe

Pour qu’un ensemble d’élémentsa,b,c, ..., forme un groupe mathématique, notéG, il faut que soient vérifiées les règles suivantes.

• Le produit de deux éléments quelconques,aetb, du groupe doit être un élémentc du groupe. Celui-ci doit donc être muni d’une loi de composition interne, à savoir :

ab=c=élément deG (5.1.1)

• La multiplication des éléments du groupe doit être associative :

a(bc)=(ab)c (5.1.2)

• Il doit exister un élément du groupe qui commute avec tous les autres et les laisse inchangés. On note cet élément par la lettree; c’est l’élémentidentitéou élément neutre. On a donc pour tout élémentaquelconque deG :

ea=ae=a (5.1.3)

• Un élément, notéa⁻¹, est ditinversedeasi l’on a :

a⁻¹a=aa⁻¹=e (5.1.4)

Chaque élémentadoit avoir un élément inverse qui appartienne aussi àG.

5.1.3 Propriétés élémentaires des groupes

Le nombre d’éléments d’un groupe fini est appelé sonordre.Le produit d’un élément a quelconque d’un groupe G avec lui-même doit évidemment être un élément du groupe, soit :aa= élément deG. Le produitaapeut être appelé le carré deaet noté a².

a) Élément neutre

L’élément neutre d’un groupe est unique. En effet, sieete satisfont tous deux à la définition (5.1.3), on a :

e=ee=ee=e (5.1.5)

b) Inverse

L’inversea⁻¹d’un élémentaest déterminé de manière unique. En effet, sibest un inverse dea, on a selon la définition (5.1.4) :

ba=ab=e d’où :

b=e b=(a⁻¹a)b=a⁻¹(ab)=a⁻¹e=a⁻¹ (5.1.6) On a le théorème suivant relatif à l’inverse d’un produit :

L’inverse d’un produit de deux ou plusieurs éléments est égal au produit des inverses pris dans l’ordre inverse.

Si l’on considère, par exemple, trois élémentsa, b,c, cela signifie qu’on a pour l’inverse :

(abc)⁻¹=c⁻¹b⁻¹a⁻¹ (5.1.7) La démonstration de ce théorème est immédiate. Utilisant la propriété d’associativité, il vient :

(abc)(c⁻¹b⁻¹a⁻¹)=ab(cc⁻¹)b⁻¹a⁻¹=ab(e)b⁻¹a⁻¹=aea⁻¹=e (5.1.8) L’élément (c⁻¹b⁻¹a⁻¹) est bien l’inverse de (abc) puisque le produit de ces deux éléments donne l’élément neutree; on vérifie ainsi la relation (5.1.7).

c) Commutativité

En général la multiplication entre les éléments d’un groupe n’est pas commutative :

ab=ba (5.1.9)

Si tous les éléments d’un groupe sont commutatifs, un tel groupe est appelégroupe abélien.

d) Sous-groupes

À l’intérieur d’un groupeG, on peut éventuellement trouver divers ensembles d’élé-ments deGqui forment des groupes plus petits ; ces sous-ensembles sont appelés des sous-groupes.

Ainsi l’élément neutreeest en lui-même un groupe d’ordre un. L’élément neutre appartient évidemment à tous les sous-groupes d’un groupe donné. De manière gé-nérale, un élément d’un groupe peut appartenir à différents sous-groupes.

e) Groupe produit

Soient deux groupes finisG et H d’ordre respectif g et h, dont les éléments sont respectivementg₁,g₂, ...,ggeth₁,h₂, ...,hh.

Supposons que tous les éléments deGsoient distincts de ceux deH, à part l’iden-titée. Considérons alors toutes les paires (gi, hj). On obtient un nouvel ensemble de ghéléments qui peut être considéré comme un groupe en choisissant comme défini-tion du produit de deux paires quelconques, (gi, hj) et (gk, hl), la formule :

(gi, hj)(gk, hl)=(gigk, hjhl)=(gm, hq) (5.1.10) On appelleproduit directdeGparHce nouvel ensemble et on le noteG⊗H; son ordre est égal àgh.

Un cas important de produit direct est celui où les groupes G et H sont eux-mêmes des sous-groupes d’un même groupe dont tous les éléments deG et de H commutent. Dans ce cas, les paires (gi, hj) s’identifient aux produitsgihj, au sens de la loi du groupe. Le produit de deux paires quelconques vérifie évidemment la formule (5.1.10) :

(gihj)(gkhl)=gihjgkhl =(gigk)(hjhl)=(gmhq) (5.1.11)

f) Groupes isomorphes

Soient deux groupesG et H de même ordre tels qu’à chaque élémentgi de Gon puisse faire correspondre un élémenthi deHavec une correspondance biunivoque.

De plus cette correspondance doit conserver le produit, c’est-à-dire être telle que si gicorrespond àhietgjàhj, alors à l’élémentgigjcorrespond l’élémenthihj. Dans ce cas, on dit que les groupesGetHsont desgroupes isomorphes.

g) Groupes homomorphes

Considérons un groupeGà tout élément duquel on peut associer un élément et un seul d’un autre groupeH. Par contre, à tout élément deHpeut être associé au moins un élément du groupeGet donc éventuellement plusieurs. Si de plus cette corres-pondance conserve le produit au sens indiqué pour les groupes isomorphes, alors on dit que les deux groupes sonthomomorphes.

Notons les éléments deGsous la forme :gi =G(hi), rappelant ainsi la correspon-dance entre les éléments des deux groupes. La conservation du produit entre éléments correspondants s’écrit alors :

G(hi)G(hj)=G(hihj) (5.1.12) La formule (5.1.12) sera appelée par la suite la propriété d’homomorphie des groupes.