Formalisme de la mécanique quantique
3.1 RÉALISATIONS DES FONCTIONS D’ONDE
3.1.1 Espace vectoriel des fonctions d’onde
Les fonctions d’onde, dont la norme décrit une réalité physique, sont des fonctions de carré intégrable. Pour une particule dont l’état est décrit par la fonction d’onde c(r, t), la quantité|c(r, t)|2d3rreprésente la probabilité de trouver cette particule dans un volumed3rautour du pointr, à l’instantt. Par suite, la probabilité totale de trouver la particule dans tout l’espace est égale à l’unité, d’où :
c∗(r, t)c(r, t)d3r =1 (3.1.1) où l’intégration est étendue à tout l’espace.
Nous avons vu que les fonctions de carré intégrable peuvent constituer un espace vectoriel L2(R) de dimension infinie. En général, les fonctions d’onde possèdent certaines propriétés qui permettent de les considérer comme formant un sous-espace deL2(R). Les fonctions d’onde seront supposées continues, possédant des dérivées premières et secondes continues, de carré intégrable sur leur domaine de définition.
Ces fonctions constituent un sous-espace vectoriel, notéF, de l’espaceL2(R).
On pourra se limiter aux fonctions à support borné lorsqu’on étudiera des parti-cules localisées dans un espace fini et l’intégration (3.1.1) sera faite sur un domaine limité.
➤ Produit scalaire
Soientc(r) etf(r) deux vecteurs deF. On munit l’espace vectorielF du produit scalaire défini par :
c(r), f(r)=
c∗(r)f(r)d3r (3.1.2)
Puisquec(r) etf(r) sont de carré intégrable, l’intégrale (3.1.2) existe.
3.1.2 Réalisation-wn
Uneréalisationest un mode de description des vecteurs d’un espace vectoriel obtenu en choisissant une base, discrète ou continue, de cet espace. La réalisation-wn des vecteurs deF est celle qui consiste à choisir une base discrète formée de fonctions d’ondewn.
Soit{wn(r)}une suite orthonormée de fonctions. Si toute fonctionc(r) de l’espace F peut être développée d’une manière unique sous la forme d’une série convergente, donnée par (2.4.8) :
c(r)= ∞ n=0
anwn(r) (3.1.3)
alors l’ensemble {wn(r)} constitue une base orthonormée de F. La suite {wn(r)} forme un système orthonormé total et on a :
an=wn, c=
w∗n(r)c(r)d3r (3.1.4) Les coefficientsansont les composantes dec(r) sur la base{wn(r)}. La connaissance de la base{wn(r)}et de l’ensemble des composantes est équivalente à celle dec(r) ; l’ensemble de ces composantes constitue laréalisation−wnde la fonction d’onde de la particule sur la base{wn(r)}.
3.1.3 Réalisation-ppp
Le développement d’une fonction d’ondec(r) sur une base discrète n’est pas le seul type possible de décomposition. D’autres types de « bases » peuvent être utilisés.
a) Utilisation de la transformée de Fourier
Considérons, par exemple, la transformée de Fourier d’une fonctionc(x) : F(p)= 1
√2p ∞
−∞c(x)e−i px/dx (3.1.5) Soitfp(x), la fonction définie par :
fp(x)= ei px/
√2p (3.1.6)
L’intégrale (3.1.5) peut alors s’écrire sous la forme du produit scalaire : F(p)=fp, c=
∞
−∞fp∗(x)c(x)dx (3.1.7) D’autre part, la transformée inverse de Fourier s’écrit :
c(x)= ∞
−∞F(p)fp(x)dp (3.1.8)
b) Base continue
Comparant la relation (3.1.8) à l’expression (3.1.3), on peut considérer que l’en-semble{fp(x)} constitue une « base » continue — chaque fonction de cette base étant repérée par un indice continu — sur laquelle on a développé la fonctionc(x).
La somme (3.1.3) se trouve alors remplacée par une intégrale ; la composanteF(p) correspond au vecteur de base fp(x) et est obtenue par le produit scalaire (3.1.7).
L’analogie est ainsi complète entre le développement sous forme d’une somme dis-crète et celui sous forme d’une intégrale. L’ensemble{fp(x)} peut donc être consi-déré comme unebase continue.
Remarquons que les fonctionsfp(x) ne sont pas de carré intégrable puisque l’in-tégrale de |fp(x)|2, de −∞ à ∞, diverge. Ces fonctions n’appartiennent donc pas à l’espaceF des fonctions d’onde mais elles peuvent néanmoins servir de base de développement pour les vecteurs deF. C’est une particularité des espaces de dimen-sion infinie.
c) Réalisation-pà trois dimensions
Les fonctionsfp(x)e−iEt/ =Aei(px−Et)/ peuvent être interprétées comme des ondes planes d’amplitudeA=1/√
2p, de vecteur d’ondep/, et de pulsationE/. La connaissance des composantesF(p) est équivalente à celle dec(x) ; on dit queF(p) constitue laréalisation-pde la fonction d’onde de la particule sur la base{fp(x)}.
Pour des fonctions d’ondec(r), on peut définir de même la transformée de Fourier F(p), oùp/ est le vecteur d’onde. On a :
F(p)=fp(r), c(r)= 1 (2p)3/2
c(r) exp(−ip·r/)d3r (3.1.9) La fonctionF(p) constitue la réalisation-pde la fonction d’onde de la particule sur la base{fp(r)}.
3.1.4 Réalisation-rrr
Considérons les distributions propresda de l’opérateurQ, opérateur multiplication parx, défini par (2.4.12). Sic(x) est une fonction deL2(R), la distributionda est telle que :da, c = c(a). Le caractère total, défini par (2.4.10), de la suite des
distributions propres deQest donné par l’égalité : c2=
∞
−∞|da, c|2da= ∞
−∞|c(a)|2da (3.1.10) Remarquons que le symboleda, cn’est pas ici un produit scalaire et ne peut donc pas être représenté par une intégrale d’une quelconque fonction. Puisque le nombre aprend toutes les valeurs surR, on peut remplaceraparxet écrire :
dx, c=c(x) (3.1.11)
Les valeursc(x) peuvent donc être considérées comme les composantes de la fonc-tion c sur la base {dx}. On dit que c(x) constitue la réalisation-x de la fonction d’onde de la particule sur la base{dx}.
Pour une fonctionc(r) définie dans l’espace à trois dimensions, on peut utiliser de même une base formée par les distributions à trois dimensionsdrtelles que :
dr, c=c(r) (3.1.12)
On dit quec(r) constitue la réalisation-rde la fonction d’onde de la particule sur la base{dr}; cette réalisation est encore appelée la réalisation-coordonnées.
3.1.5 Réalisation-wa
Un opérateurApeut avoir un spectre continu de valeurs propresa. À toute valeur de acorrespond une fonction proprewaet ces fonctions forment un ensemble continu.
De même que les fonctionsfp(x) données par (3.1.6) forment une base continue de l’espace vectorielF, les fonctionswa peuvent éventuellement former une base continue de F. Un état arbitraire c(r) peut être développé sur cette base sous la forme :
c(r)=
ca wa(r)da (3.1.13)
l’intégration étant étendue à l’ensemble des valeurs que peut prendrea. Les coeffi-cients sont obtenus sous la forme :
ca =wa(r), c(r)=
w∗a(r)c(r)d3r (3.1.14) formule qui généralise l’expression (3.1.4). Les coefficientsca peuvent être consi-dérés comme les composantes dec(r) et constituent la réalisation-wade la fonction d’onde sur la base{wa(r)}.
➤ Normalisation des fonctions propres
La normalisation des fonctions propres du spectre continu est plus délicate car la condition d’égalité à l’unité de l’intégrale du carré du module de la fonction n’est pas réalisable dans ce cas. Les fonctions d’ondewa(r) sont alors normalisées de sorte que
|ca|2dareprésente la probabilité que la grandeur physique considérée ait, dans l’état
décrit parwa(r), sa valeur comprise dans l’intervalle situé entreaeta+da. C’est la généralisation du spectre discret pour lequel le carré|an|2définit la probabilité de la valeur proprean. La somme des probabilités étant égale à l’unité, on a :
|ca|2da=1 (3.1.15)
En fait, pour traiter de manière rigoureuse le spectre continu, il faut définir les opé-rateurs de la mécanique quantique comme des opéopé-rateurs agissant sur des distri-butions ; les solutions propres d’un opérateur hermitien sont alors des distridistri-butions particulières. Comme nous étudierons essentiellement les spectres discrets, nous ne développerons pas le cas des spectres continus.
➤ Spectre discret et continu
Il existe également des opérateursApossédant à la fois un spectre discret pour cer-taines valeurs propres et un spectre continu pour d’autres. C’est alors l’ensemble de ces « fonctions » propres des deux spectres qui forme une base de l’espaceF des fonctions d’onde. Une fonctionc(r) quelconque deF s’écrit sous la forme :
c(r)=
n
anwn(r) +
ca wa(r)da (3.1.16) où la sommation sur n est étendue au spectre discret et l’intégration au spectre continu.
Les fonctions propres de l’opérateurA, bien qu’en nombre infini, ne forment pas une base deF. Cependant, l’équation aux valeurs propres :
ATa =lTa (3.1.17)
peut admettre des solutions qui sont des distributions propres et qui « complètent » la suite des fonctions propres, en ce sens que l’ensemble des solutions de l’équation (3.1.17) forme une base deF.