Opérateurs linéaires
2.3 MATRICE D’UN OPÉRATEUR
2.3.1 Définition
Les opérateurs agissant sur les vecteurs d’un espace vectoriel sont des êtres ma-thématiques définis indépendamment de toute base de l’espace considéré. Le choix d’une base permet d’écrire explicitement un opérateur sous forme d’une matrice qui constitue une représentation de celui-ci.
Soit un opérateur linéaireAqui agit sur des vecteursc d’un espace vectorielE de dimension finie. Notonswiles vecteurs formant une base orthonormée deE. Un vecteurcdeE s’écrit :
c=
i
ciwi (2.3.1)
où lesci sont les composantes dec sur la base{wi}. L’opérateur Aagissant sur c donne un vecteur transformé :
c =Ac=A
i
ciwi=
i
ciAwi (2.3.2)
La décomposition des transformésAwides vecteurs de base s’écrit : Awi=
j
ajiwj (2.3.3)
Par définition, les nombresajiconstituent les éléments de la matrice de l’opérateurA définie sur la base{wi}. Pour calculer les éléments matriciels, effectuons le produit scalaire des vecteurswjetAwi; la relation (2.3.3) nous donne :
wj, Awi=wj,
k
akiwk=
k
akiwj, wk (2.3.4) La base étant orthonormée, on a :wj, wk=djk, d’où :
wj, Awi=
k
akidjk=aji (2.3.5)
La donnée des transformésAwides vecteurs de base suffit pour calculer les éléments matriciels de l’opérateurA. La donnée des vecteurs Awi peut également servir de définition de l’opérateurA.
Les composantes d’un vecteur Awi fournissent les éléments de la ie colonne de la matrice de l’opérateurA. Pour un espace vectoriel de dimensionn, cette matrice s’écrit :
A=
⎡
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣
a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ...
an1 an2 ... ann
⎤
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦
(2.3.6)
On obtient une matrice carrée d’ordren, dont les éléments sont donnés par les pro-duits scalaires :
aji =wj, Awi (2.3.7)
La matrice A représente l’opérateurAsur la base{wi}de l’espace vectorielE. La matrice d’un opérateurAsera notée par le même symbole A écrit en caractère droit.
2.3.2 Propriétés des matrices représentatives
Toute combinaison linéaire de deux opérateurs :C=aA+bB, a pour matrice repré-sentative :
C=aA +bB (2.3.8)
Le produit AB de deux opérateurs a pour matrice représentative le produit AB de leurs matrices respectives. Pour le démontrer, considérons un espace vectoriel de base{wi}; il vient :
A(Bwi)=A
j
bjiwj=
j
bjiAwj=
j,k
bjiakjwk (2.3.9) D’autre part, l’opérateurABappliqué àwis’écrit :
(AB)wi=
k
(ab)kiwk (2.3.10)
La comparaison des relations (2.3.9) et (2.3.10) montre que les éléments matriciels (ab)kide la matrice représentant l’opérateurAB, sont de la forme :
(ab)ki=
j
akjbji (2.3.11)
On retrouve la règle classique de multiplication des matrices, ce qui démontre que l’opérateurABa pour matrice représentative le produit AB des matrices respectives deA et B. À chaque type d’opérateur va correspondre une matrice qui reflète les mêmes propriétés que celui-ci.
➤ Matrices adjointe et hermitienne
SoitAun opérateur linéaire etA†son adjoint. Déterminons les éléments matriciels, notés (a†)kj, de la matrice deA†en fonction de ceux deA. On a :
a∗jk =wj, Awk∗ =Awk, wj=wk, A†wj=(A†)kj (2.3.12) La matrice deA†est la transposée de la matrice conjuguée deA; elle est appelée la matrice adjointede la matrice A et notée A†.
Si l’opérateurAest hermitien, les éléments de la matrice A sont tels que :
(A†)kj =a∗jk =akj (2.3.13) puisque A†=A. Une matrice dont les éléments vérifient la relationakj =a∗jk est une matrice hermitienne. Ses élémentsajjsitués sur la diagonale principale de la matrice sont nécessairement réels.
➤ Trace d’une matrice
La somme des éléments situés sur la diagonale principale d’une matrice est appelée satrace:
Tr A=
k
akk (2.3.14)
La trace du produit de deux matrices ne dépend pas de l’ordre des facteurs. En effet : Tr AB=
j,k
ajkbkj=
j,k
bkjajk =Tr BA (2.3.15) Pour un produit de trois matrices, on obtient :
Tr ABC=Tr CAB=Tr BCA (2.3.16)
2.3.3 Base propre d’un opérateur hermitien
Soienta1,a2, ...,anles valeurs propres d’un opérateur hermitienA; chaqueaka une dégénérescence d’ordregk. Les vecteurs propresckassociés à une valeur propreak
sont linéairement indépendants et forment une base d’un espace vectoriel Ek àgk
dimensions.
On peut former une base orthonormée deEken combinant entre eux les vecteurs propresck par la méthode d’orthogonalisation de Schmidt. Notonswkj les vecteurs orthonormés formant une base de Ek, où l’indice j varie de 1 à gk. Ces vecteurs vérifient la relation :
wkj, wkj=djj (2.3.17)
Pour des indices k différents, les vecteurswkj sont associés à des valeurs propres distinctes et sont donc orthogonaux entre eux, d’où :
wkj, wkj=dkkdjj (2.3.18)
La base{wkj}est appelée labase proprede l’opérateurA. Utilisons cette base pour calculer les éléments matriciel de A. Pour cela, remarquons que les vecteurs ortho-norméswkjsont au nombre deN =
n k=1
gk. Renumérotons ces vecteurs avec un seul indice, soitwi où l’indice varie de 1 à N. Les éléments matriciels de A sont alors donnés par :
aij =wi, Awj=wi, ajwj=ajwi, wj=ajdij (2.3.19) La matrice représentative deAne possède alors que des éléments non nuls sur sa dia-gonale principale et ces éléments sont les valeurs propres deA; une telle matrice est ditematrice diagonale. Remarquons queajfiguregjfois sur la diagonale principale.
➤ Opérateurs hermitiens qui commutent
Soient A et B deux opérateurs hermitiens qui commutent. Notons c1 et c2 deux vecteurs propres de A associés respectivement à des valeurs propres différentes, a1 = a2. Ces vecteurs propres sont orthogonaux entre eux et peuvent faire partie d’une base propre. Alors l’élément de matricec1, Bc2est nul :
c1, Bc2=0 (2.3.20)
En effet, puisqueAetBcommutent,Bc2appartient au sous-espaceE2formé par les vecteurs propres deAassociés à la valeur proprea2. Sic1est un élément d’une base propre, il est orthogonal aux vecteurs deE2 et, par suite,Bc2est orthogonal àc1. Le produit scalairec1, Bc2est donc nul.
2.3.4 Changement de base
Soit un espace vectorielE de base{wi}et soit une nouvelle base{wj}telle que : wj =
i
Pijwi (2.3.21)
LesPijsont les éléments de la matrice P de changement de base. SoitAun opérateur linéaire qui, agissant sur un vecteurcdeE, donne :
f=Ac (2.3.22)
Soit A la matrice représentant l’opérateurAdans la base{wi}et soit A dans{wj}. Cherchons l’expression de la matrice A en fonction de A. Pour cela, notonscetf les matrices colonnes formées respectivement par les composantes des vecteurscet fdans la base{wi}, etc,f, dans la base{wj}. On a :f=Ac;c=Pc;f=Pf; d’où :
f=APc =Pf (2.3.23)
Multipliant à gauche par la matrice P−1 les deux derniers termes de (2.3.23), on obtient :
f =P−1APc (2.3.24)
Puisqu’on a :f=Ac, la matrice A a pour expression :
A =P−1AP (2.3.25)
La propriété (2.3.16) de la trace du produit de trois matrices, nous donne :
Tr A =Tr P−1AP =Tr PP−1A=Tr A (2.3.26) La trace d’une matrice représentant un opérateur est indépendante de la base choisie de l’espace vectorielE servant à déterminer cette matrice.
2.3.5 Matrices particulières
a) Matrice définissant une fonction d’opérateur
Soit un opérateurAayant un spectre de valeurs propresa1,a2, ...,anassociées res-pectivement aux vecteurs propresc1,c2, ...,cn. La relation (2.2.16), à savoir :
F(A)ck =F(ak)ck (2.3.27) montre queckest également un vecteur propre, associé à la valeur propreF(ak), de l’opérateurF(A). On va utiliser cette propriété pour définir d’une autre manière une fonction d’un opérateurA.
Pour cela, notons que la matrice d’un opérateurA, calculée sur sa base propre, est une matrice diagonale. En conséquence, si l’on se donne une fonctionF(x), on peut former une matrice diagonale d’élémentsF(ak). Par définition, l’opérateurF(A) est alors l’opérateur représenté dans la base propre par la matrice d’élémentsF(ak).
b) Matrice de la dérivée d’un opérateur
SoitAun opérateur dépendant d’un paramètrea. Déterminons la matrice de l’opé-rateurdA/da en fonction de la matrice A représentant l’opérateurA. Les éléments matriciels de A, sur une base{wj}indépendante dea, sont de la forme :
aij =wi, Awj (2.3.28)
L’opérateurdA/daappliqué à un vecteurwjnous donne : dA
dawj= d
da(Awj) (2.3.29)
Les éléments matriciels de la matrice, notéedA/da, représentant l’opérateurdA/da, sont donnés par :
dA da
ij
=
wi, dA dawj
= d
dawi, Awj= d
daaij (2.3.30) Les éléments matriciels dedA/dasont les dérivées, par rapport àa, des éléments de la matrice A.