décomposition en facteurs premiers.
I.3.1. Travaux sur les nombres premiers
Parmi les recherches concernant les nombres premiers, nous avons retenu deux articles : (Zazkis, 1999) et (Zazkis et Liljedahl, 2004). Nous présentons d’abord le travail de Zazkis avec Liljedahl car leur travail porte essentiellement sur la compréhension des enseignants en formation sur le concept de nombres premiers, alors que le travail de Zazkis (1999) se propose d’étudier une des conceptions erronées relatives aux nombres premiers chez les enseignants, cette conception erronée étant représentée par une règle intuitive « the more of A, the more of B ».
I.3.1.1 Zazkis et Liljedahl (2004)
Zazkis et Liljedahl, dans leur article «Understanding Primes : The Role of Representation » ont étudié comment les enseignants en formation de l’école élémentaire comprennent le concept de nombre premier et quels sont les aspects qui influencent leur compréhension. Ils mettent l’accent sur l’intérêt des nombres premiers. D’une part, les nombres premiers sont souvent décrits comme le bloc permettant de construire les nombres entiers naturels. Cette construction peut être vue comme une interprétation métaphorique du théorème fondamental de l'arithmétique. D’autre part, les nombres premiers sont essentiels pour comprendre les nombres et les relations multiplicatives entre les nombres.
Ils expliquent que la compréhension des nombres premiers repose fortement sur la représentation des nombres. Pour eux, il y a deux façons de représenter les nombres : la représentation transparente et la représentation opaque :
« A transparent representation has no more and no less meaning than the represented idea(s) or structure. An opaque representation emphasizes some aspects of the ideas or structures and de – emphasizes others. »(P.165)
Ils montrent que la représentation du nombre 784 comme 28² est une représentation transparente et la propriété de 784 étant divisible par 98 est une représentation opaque. La représentation du même nombre comme 13 × 60 + 4 est une représentation transparente, et les nombres pairs qui peuvent être représentés par 2k et les nombres impairs qui peuvent être écrits sous la forme 2k + 1 ont aussi une représentation transparente, ainsi que la représentation des nombres comme un produit de nombres naturels supérieurs à 1 est une
représentation transparente. Les nombres composés ainsi ont une représentation transparente. Or, les nombres premiers ne l’ont pas. Ils suggèrent que le manque de représentation transparente des nombres premiers constitue un obstacle pour les enseignants.
Les données sont recueillies auprès d’enseignants de l’école primaire en formation. Elles se composent d’une part des réponses écrites à la question suivante : « Consider F = 151 × 157. Is
F a prime number? Circle YES / NO, and explain your decision. », relevées dans 116 copies, et
d’autre part des échanges au cours d’entretiens conduits avec 18 enseignants volontaires inscrits au cours « les fondamentaux en mathématique pour les enseignants » ayant traité la question précédente. Dans l’entretien, les auteurs ont demandé aux participants la signification des expressions suivantes : nombres premiers, nombres composés, et les relations entre eux. Ils leur ont demandé ensuite d’identifier si un nombre de la forme « m (2k +1) » est un nombre premier ou pas7, et s’il peut être premier. Pour analyser les données ils se sont servis de la catégorisation : représentation transparente / représentation opaque des nombres entiers. Les résultats obtenus montrent que la compréhension de nombre premier est incomplète, incohérente, fragile, et influencée de façon significative par les exemples particuliers.
Les auteurs ont trouvé que la connaissance appropriée des nombres premiers ne pouvait pas résulter simplement de son implémentation dans une situation-problème. L’étude a montré que les connexions entre les notions de facteurs, multiple, divisibilité ne sont pas bien établies ; certains participants pensent que les nombres premiers sont des nombres petits, et que chaque grand nombre, s’il est composé, est divisible par un petit nombre premier ; enfin, certains participants font une confusion entre les nombres premiers et les nombres impairs. Pour la relation entre les nombres premiers et les nombres composés, les étudiants avaient compris qu’ils appartiennent à deux ensembles disjoints.
Les auteurs ont identifié trois approches mobilisées par les étudiants pour appréhender la notion de nombre premier :
- La primalité comme un résultat de la factorisation : La factorisation est liée à la représentation. Factoriser un nombre, c’est le représenter comme un produit de nombres entiers naturels. Si un nombre n’a pas exactement deux diviseurs, 1 et lui même, alors ce n’est pas nombre premier ; si un nombre a exactement deux facteurs, 1 et lui-même, alors c’est un nombre premier.
- La primalité par l’observation d’exemples ; selon les auteurs, la généralisation par des exemples peut être préférée du fait de l’absence de représentation transparente pour les nombres premiers.
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- La primalité par l’exclusion : il s’agit d’éliminer tout ce qui n’est pas un nombre premier de ce qui est un nombre premier ; ceci est à l’œuvre dans le crible d’Eratosthène, qui consiste à isoler les nombres composés des nombres premiers. Les auteurs font l’hypothèse que le manque de représentation des nombres pour la primalité est un obstacle dans la construction de ce concept. En se référant à Kaput (1987), ils considèrent que, quel que soit le niveau considéré dans l’éducation mathématique, aucune attention explicite n’est portée à la relation entre la transparence de certaines notions, propriétés ou opérations mathématiques, et la représentation dans laquelle elles sont codées. En effet, s’il y a une attention explicite portée aux opérations numériques et aux représentations décimales, ce n’est pas le cas pour les concepts reliés à la structure multiplicative des nombres, à la divisibilité et à la primalité.
I.3.1.2 Zazkis (1999)
Zazkis, dans son article « Intuitive rules in number theory: Example of “the more of A, the
more of B” rule implémentation “, tente d’examiner la règle intuitive « the more of A, the more of B » chez les enseignants en formation de l’école primaire, qui correspond dans ce cas à la croyance intuitive que de deux nombres distincts A et B, le plus grand nombre (A) a plus de facteurs que le nombre le plus petit (B).
Zazkis explique que la règle intuitive « the more of A, the more of B » a été identifiée par Stavy et Tirosh (1996) pour expliquer les réponses erronées des étudiants ; cette règle a été observée aussi bien en mathématiques que dans d’autres situations scientifiques. Selon les auteurs, la source cognitive de cette règle est probablement fondée sur des expériences de situations variées dans lesquelles elle s’applique8.
Zazkis présente plusieurs situations favorisant l'apparition de cette règle. Dans la première partie de cette étude, elle propose à une groupe de 15 enseignants des questions concernant l’identification des facteurs, des diviseurs de 117= 3² ×13, ensuite, des questions relatives à identifier le nombre de facteurs de A = 3² ×7 et de B = 3² ×17 et si le nombre de facteurs de A est - plus grand que, plus petit que ou égale au - nombre de facteurs de B. Elle propose dans la deuxième partie de ce travail, à un groupe différent de 58 enseignants de décider si les deux propositions ci-dessous sont vraies ou fausses et de justifier la réponse :
(a) Si un nombre naturel A est plus grand qu'un nombre naturel B, alors le nombre de facteurs de A est plus grand que le nombre de facteurs de B.
(b) Si un nombre naturel composé A est plus grand qu'un nombre naturel composé B, alors le nombre de facteurs de A est plus grand que le nombre de facteurs de B.
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Dans la première partie de l’étude, les résultats montrent que les enseignants avaient une croyance forte que le plus grand nombre a plus de facteurs, alors que dans la deuxième partie de l’étude, de nombreux enseignants ont répondu correctement. Zazkis écrit que la réussite des enseignants laisse penser qu’ils n’ont pas eu recours à la règle intuitive pour répondre ; cependant, une étude plus approfondie des réponses des enseignants montre que certains étudiants n'ont pas modifié leurs croyances intuitives, mais qu’ils ont été en mesure d’identifier les « cas spéciaux » comme des exceptions.
Elle indique que la règle « the more of A, the more of B » semble être robuste et n'est pas facilement abandonnée par certains participants, même quand ils ont été confrontés à de nouvelles preuves. Pour elle, ceci ce n’est pas surprenant, car d’après Fischbein (1987), l'expérience a montré que des intuitions fortes ont tendance à survivre même lorsqu’elles sont contredites par l'instruction formelle systématique. La modification de la règle pourrait être un premier pas vers la confrontation de ses intuitions.
Elle explique, en se référant à Stavy et Tirosh (1996), que la connaissance de règles intuitives des étudiants permet aux professeurs et aux chercheurs de prévoir des réactions inadaptées possibles des étudiants ; ceci est crucial pour développer des programmes d'études et planifier des activités d’enseignement. Elle souligne que l’application de cette règle n'est pas la seule croyance intuitive qui guide les étudiants dans la théorie élémentaire des nombres. Son travail avec Campbell (1996b) a décrit chez les étudiants une croyance implicite dans la possibilité d’avoir plus d'une décomposition en produit de nombres premiers pour un nombre composé donné. Cette croyance a été identifiée dans le cas d'un produit de deux nombres premiers «grands». En outre, les étudiants avaient une croyance selon laquelle « un grand » nombre composé devrait avoir « un petit » facteur premier.Zazkis enfin souligne que la croyance des étudiants selon laquelle le plus grand nombre a le plus de facteurs est cohérente avec leur croyance en l’existence d’un petit facteur premier.