Analyse écologique des programmes du collège et de seconde depuis 1905 jusqu’à 2010
I. Les programmes de collège
I.4 La période contemporaine : de 1996 - 2004
L’arithmétique est réintroduite, après des années d’absence, dans les programmes de l’enseignement secondaire : à la rentrée 1999, en troisième.
Elle apparaît dans les programmes dans la partie « travaux numériques » dans la colonne « Nombres entiers» sans aucune notion préalable d'arithmétique. Mais le mot arithmétique apparaît dans le document d’accompagnement dans la partie « Activités numériques » du programme de sixième :
« La résolution de problèmes numériques et, plus tard, le calcul algébrique supposent une bonne maîtrise des relations arithmétiques entre les nombres inférieurs à 100. »
Nous trouvons aussi le terme « arithmétique » dans la partie « Place des calculatrices et de l’informatique » dans le document d’accompagnement du programme de sixième :
« On visera en particulier la maitrise des tables de multiplication, de l’addition des petits nombres et des relations arithmétiques entre les nombres notamment les multiples de 2, 3, 4, 5, 10, 12, 15. »
L’arithmétique est réintroduite en classe de 3ème avec la notion de diviseur commun et de nombres premiers entre eux. Nous allons montrer par l’analyse écologique les nouveaux habitats et niches que l’arithmétique occupe au collège.
- Le programme de la classe de 6ème indique une seule compétence concernant la division euclidienne :
« Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne d’un nombre entier par un nombre entier d’un ou deux chiffres. »
Contrairement au programme de 1986, les critères de divisibilité n’ont pas de place privilégiée dans le nouveau programme de 6ème ; nous trouvons seulement un commentaire relatif à l’« Ecriture fractionnaire » qui se trouve dans la colonne « Contenu » du programme :
« A l’occasion de simplification, on pourra faire intervenir des critères de divisibilité, sans nécessairement les justifier. »
- La notion de ppcm n’est pas réintroduite dans les nouveaux programmes. En classe de 4ème, le programme indique que le ppcm n’est pas une compétence exigible dans le travail sur les fractions :
« L’addition de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire peut demander un travail sur la recherche de multiples communs à deux ou plusieurs nombres entiers. La recherche du plus petit commun multiple pour l’obtention d’un dénominateur commun et celle du plus grand diviseur commun pour l’obtention de la forme irréductible ne sont pas exigibles. »
- En classe de troisième, nous trouvons la notion de diviseurs communs et de nombres premiers entre eux. La notion de diviseurs communs se trouve avec les fractions irréductibles dans la colonne « Contenus », tandis que les nombres premiers entre eux donnent lieu à une compétence exigible :
« Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre eux. »
Les programmes de 3ème mettent l’accent sur le travail sur les fractions, nous trouvons deux compétences exigibles :
« Savoir qu’une fraction est dite irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible. »
On voit ici que la notion de «nombres premiers entre eux » comme outil permettant de simplifier les fractions justifie la niche « Calcul numérique » que l’arithmétique occupe. En lisant le commentaire du programme de 3ème relatif à la partie «Nombres entiers et rationnels» du contenu de programme, nous trouvons une autre niche que l’arithmétique peut occuper : «la niche culturelle » :
« Cette partie d’arithmétique permet une première synthèse sur les nombres, intéressante tant du point de vue de l’histoire des mathématiques que pour la culture générale des élèves. »
Si nous continuons de lire la suite du commentaire du programme de 3ème, nous trouvons une nouvelle niche pour l’arithmétique : «la niche algorithmique ». Le texte suivant du programme figurant dans la colonne « Commentaire » met en évidence que l’algorithme d’Euclide est privilégié pour la recherche du pgcd en lien avec les tableurs et d’autres logiciels non précisés :
« Depuis la classe de cinquième, les élèves ont pris l’habitude de simplifier les écritures fractionnaires : la factorisation du numérateur et du dénominateur se fait grâce aux critères de divisibilité et à la pratique du calcul mental. Reste à savoir si la fraction obtenue est irréductible ou non. On remarque que la somme et la différence de deux multiples d’un nombre entier sont eux-mêmes multiples de cet entier. On construit alors un algorithme, celui d’Euclide ou un autre, qui, donnant le PGCD de deux nombres entiers, permet de répondre à la question dans tous les cas. Les activités proposées ne nécessitent donc pas le recours aux nombres premiers. Les tableurs et les logiciels de calcul formel peuvent, sur ce sujet, être exploités avec profit. »
Le changement de programme en faveur de l’aspect algorithmique répond aux objectifs de programme de la classe de troisième, nous pouvons lire dans la partie « Présentation », qui se trouve avant la partie qui décrit les contenus de la classe :
«Le programme de la classe de troisième a pour objectif : dans le domaine numérique : [….], de permettre : de faire une première synthèse sur les nombres avec un éclairage historique et une mise en valeur de processus algorithmiques »
Ainsi, les deux nouvelles niches « niche culturelle » et niche algorithmique » apparaissent dans les programmes de 1996.
Pour mettre en évidence la différence entre les programmes de 1996 et ceux de 1970, nous résumons le contenu d’arithmétique et son habitat au collège dans le tableau ci-dessous :
Figure 4 : Comparaison des contenus d’arithmétique au collège : Programmes de 1970 et de 1996
Le tableau ci-dessus nous montre qu’il y une différence significative entre le programme de 1996 et celui de 1970.
Le cadre théorique de l’arithmétique n'est aujourd'hui plus abordé au collège, c’est-à-dire que la niche « théorie des nombres » n’est plus viable dans le programme de 1996. Le contenu d’arithmétique est réparti dans deux niveaux différents de l’enseignement secondaire. En sixième nous trouvons la division euclidienne, et en troisième, les notions de diviseur commun et de nombres premiers entre eux. Le contenu d’arithmétique réintroduit n’a plus l’orientation ensembliste théorique qui prévalait en 1970. La notion de pgcd ne figure pas en tant que connaissance exigible en tant qu’objet : c’est un outil pour obtenir une faction irréductible.
Les contenus d’arithmétique
Les programmes de 1970 Les programmes de 1996
6ème --- La division euclidienne et simplifier les
fractions avec les critères de divisibilité. 5ème Multiple et diviseur.
Division euclidienne Nombres premiers.
Sur des exemples : pratique de la décomposition d’un nombre naturel en produit de facteurs premiers.
Exercices sur les multiples communs et diviseurs communs à deux ou plusieurs nombres naturels.
Travail sur les nombres en écritures fractionnaire :
Simplification
Additionner et soustraire des fractions ayant des dénominateurs égaux ou multiples.
4ème --- Réduire au même dénominateur qui
demande la recherche de multiples communs.
3ème --- Nombres premiers entre eux.
Diviseur commun. Fraction irréductible.
2d --- Nombres premiers.
Décomposition en produit de facteurs premiers.
L’algorithme d'Euclide est réintroduit dans le programme de 1999 pour trouver le pgcd, alors que cet algorithme n'était pas utilisé dans la recherche du pgcd en 1971. La décomposition en facteurs premiers était dominante pour trouver le pgcd. Le document d’accompagnement du programme de troisième de 1999 indique que l’algorithme d’Euclide et l’algorithme des différences sont privilégiés pour trouver le PGCD, sans recours à la décomposition en facteurs premiers.
« Après avoir travaillé au cycle central sur les notions de multiples et de diviseurs, il est nécessaire de savoir si deux entiers sont ou non premiers entre eux. Pour l’obtention du PGCD de deux entiers, le programme préconise l’algorithme d’Euclide ou éventuellement un algorithme de différence : la répétition de la transformation qui à un couple d’entiers (a, b) fait correspondre le couple constitué de leur minimum et de leur écart, par exemple qui à (285, 630) fait correspondre (285, 345) – plutôt que le recours à la décomposition en facteurs premiers. Il n’est pas inutile de rappeler que l’arithmétique ait été bannie des programmes de mathématique du collège précisément à cause de l’abus du recours à la décomposition en produit de facteurs premiers. Certes les facteurs premiers de petits nombres, 924 ou 1999 pour donner des exemples, s’obtiennent facilement. Mais il n’en est plus du tout de même pour de plus grands nombres, dont l’ordinateur rend aujourd’hui naturelle la considération. C’est ainsi qu’il sera par exemple beaucoup plus facile d’établir directement que les deux nombres 12345678910111213 et 10000000000000007 ne sont pas premiers entre eux que d’essayer de trouver leur décomposition en facteurs premiers.
Certains domaines d’application avancée, tel le chiffrage de messages (cryptage et décryptage), s’appuient largement sur la difficulté pratique d’obtention de certaines décompositions. » (Document d’accompagnement de classe de Troisième, 1999)
La volonté des concepteurs de ce programme est ainsi de faire vivre la niche « algorithmique» pour proposer des exemples concrets qui permettent la mise en œuvre d’algorithmes à l’aide de calculatrices ou de tableurs en arithmétique.
C’est ainsi que, nous trouvons trois niches attribuées à l’arithmétique en classe de 3ème dans les programmes de 1999 : une niche algorithmique, une niche de sensibilisation à la culture mathématique, et une niche calcul numérique. L'orientation algorithmique prise par l'enseignement de l'arithmétique en 1999 est soutenue par le développement récent de l'informatique qui utilise de nombreux résultats d'arithmétique (cryptage).