Nous présentons dans ce paragraphe la méthodologie générale que nous avons mise en place pour conduire notre recherche ainsi que l’organisation de notre mémoire de thèse. Dans un premier temps, nous conduisons une analyse épistémologique pour décrire les organisations mathématiques dans le savoir savant, ce qui nous permet d’identifier les démarches théoriques possibles pour proposer les notions d’arithmétique. Cette étude, qui sera présentée dans le chapitre III, nous permet aussi de repérer les écarts entre la vie de l’objet de savoir arithmétique dans chacune des deux institutions choisies, entre elles et avec le savoir savant. Nous prendrons comme référence le contenu de l’arithmétique présenté au niveau de l’Université en France pour conduire une première analyse et ouvrir un premier champ de questions sur les organisations mathématiques des savoirs à enseigner et les pratiques institutionnelles possibles. Le travail d’Ouvrier-Buffet sur les définitions est mis en œuvre dans cette étude afin d’identifier les différents types de définitions dans le savoir savant de l’arithmétique.
Dans un deuxième temps, nous effectuons une analyse institutionnelle sur les contenus d’arithmétique dans deux institutions : au collège et en classe de Seconde.
Le chapitre IV présentera l’analyse des programmes depuis 1902 jusqu’aux programmes actuels dans l’objectif de dégager les aspects essentiels du rapport institutionnel aux objets d’arithmétique en jeu dans les deux institutions ; ceci va nous permettre de mieux éclairer les choix actuels des programmes. En particulier, nous nous attacherons par un questionnement écologique à analyser l’évolution de l’enseignement des concepts de l’arithmétique afin de mieux comprendre le rôle qu’ils sont censés jouer dans l’évolution des programmes, et décrire les diverses fonctions que l’arithmétique peut occuper dans l’ensemble de l’enseignement au collège et en classe de Seconde. Nous effectuons ensuite une analyse institutionnelle des traces des organisations mathématiques de référence au collège et en classe de seconde pour l’objet d’arithmétique dans l’évolution des programmes, ainsi qu’une étude sur les différents
types de définitions que les programmes proposent en faisant référence au travaux de Ouvrier- Buffet (2003) que nous avons présentés au paragraphe III.
Nous pensons en effet que cette triple étude peut nous permettre de repérer des conditions écologiques viables dans l’enseignement ancien pour des objets d’enseignement encore présents dans les programmes actuels. Par suite, il nous semble pertinent d’interroger l’actualité de ces conditions pour réintroduire l’arithmétique et éclairer des choix possibles pour l’enseignement actuel.
L’analyse des manuels de 1970 à 2010, qui est présentée dans le chapitre V, permet de dégager les aspects essentiels du rapport institutionnel aux objets d’arithmétique. Dans cette étape, le jeu des conditions et des contraintes institutionnelles, où les auteurs de manuels gardent une certaine marge de manœuvre, conduit déjà à une certaine interprétation des termes du programme.
Nous chercherons à rendre compte de la vie de l’arithmétique dans les manuels des deux institutions. Nous cherchons plus particulièrement à répondre aux questions suivantes : Quel est l’écart entre les intentions des programmes et l’application de ces intentions dans les manuels ? Quelles libertés ont pris les auteurs de manuels par rapport aux contraintes institutionnelles ? Les fonctions que l’arithmétique occupe dans les programmes sont elles les mêmes dans les manuels ? Nous étudierons également l’organisation mathématique de chacune des deux institutions, et nous identifierons les différents types de définitions proposés par les manuels pour les concepts d’arithmétique. Nous complèterons cette étude par l’analyse écologique et praxéologique de trois manuels de Seconde les plus utilisées par les enseignants interrogés dans notre questionnaire.
Dans un troisième temps, nous complétons les études précédentes par la caractérisation des rapports personnels des enseignants et des élèves à propos de l’objet d’arithmétique.
Pour les enseignants, nous cherchons plus particulièrement à répondre aux questions suivantes : Quelles sont les caractéristiques du rapport personnel des enseignants à l’objet arithmétique ? Et notamment quel est le degré d’adéquation entre le rapport personnel et le rapport institutionnel à cet objet ?
Pour répondre à ces questions, nous avons élaboré un questionnaire adressé aux enseignants de classe de seconde. L’analyse de ce questionnaire nous donne des moyens pour savoir s’il y a une variabilité entre les enseignants pour l’enseignement de l’arithmétique ; elle nous permet aussi de relever les difficultés d’apprentissage des concepts de l’arithmétique que les enseignants repèrent chez leurs élèves. Ceci est présenté dans le chapitre VI.
Dans le but d’étudier le rapport personnel des élèves à l’arithmétique, nous avons élaboré un questionnaire pour les élèves de la classe de seconde, où les élèves complètent leurs
connaissances de l’arithmétique étudiées au collège, en nous basant sur l’analyse institutionnelle réalisée précédemment.
Le questionnaire-élèves a été proposé dans des classes de seconde dont l’enseignant avait accepté de répondre au questionnaire-professeur. Ces questions nous permettent de voir si les élèves mobilisent leurs connaissances relatives aux concepts de l’arithmétique dans différents contextes. Ces contextes peuvent ne pas être habituels pour eux dans la mesure où nous empruntons une partie de nos questions à l’enseignement antérieur à la réforme des mathématiques modernes où la notion de divisibilité, le pgcd et le ppcm étaient fortement articulés avec la décomposition en facteurs premiers ce qui n’est plus vraiment le cas aujourd’hui, ainsi qu’à certains des travaux anglo-saxon sur la compréhension des concepts d’arithmétique, que nous avons présentés au chapitre VII.
Étant donné que les concepts d’arithmétique sont étudiés tout au long du collège, en continuité en classe de Seconde, nous cherchons à savoir s’il y a une rupture dans l’enseignement de l’arithmétique entre le collège et le lycée, en particulier en classe de seconde. Il se peut que les élèves ne parviennent pas à « faire des liens entre les concepts d’arithmétique appris dans deux institutions ».
Il ne s’agit pas de comparer les connaissances des élèves actuels à celles des élèves d’hier, mais il s’agit plutôt de relever les difficultés rencontrées par les élèves pour les objets d’arithmétique.
Notre but est de caractériser les techniques et si possible les technologies mises en œuvre par les élèves de seconde dans leurs réponses aux questions, d'analyser les résultats obtenus et les erreurs commises pour certaines questions dans le questionnaire en relation avec les techniques utilisées, de repérer certaines difficultés rencontrées par les élèves et d’analyser les écarts éventuels entre le rapport institutionnel et le rapport personnel des élèves.
L’analyse des résultats de notre questionnaire nous permet de pointer certains phénomènes relatifs aux connaissances des élèves d’aujourd’hui sur les concepts d’arithmétique. Elle nous permet notamment de poser des questions d’ordre écologique. Enfin, nous mettrons en perspective les réponses des enseignants avec la réponse de leurs élèves. Ceci sera présenté dans le chapitre VII.
Les résultats obtenus permettent de faire une synthèse du rapport institutionnel aux objets d’arithmétique, ainsi que des rapports personnels des enseignants et des élèves. Cette synthèse sera présentée dans la Conclusion, où nous indiquerons nos perspectives de recherche ; nous comptons en particulier réinvestir les résultats obtenus pour mener une étude didactique sur l'enseignement de l'arithmétique en Syrie.