Des ressources à destination des enseignants

Pour cette partie de notre revue de travaux, nous avons retenu deux brochures, l’une publiée en 2004 par l’IREM de Lyon, et l’autre publiée en 2005 par l’IREM de Toulouse.

I.2.2.1 Brochure Irem de Lyon (2004)

Le groupe de l’IREM de Lyon a publié en 2004 une brochure intitulée « De l’arithmétique au

collège ». Dans cette brochure, une première partie est consacrée à une réflexion sur les objectifs de l'enseignement de l'arithmétique et sur la place du calcul au collège. Dans la seconde partie, différentes activités sont analysées pour les différents niveaux de classe. Ces activités qui prennent des formes variées (résolution de problèmes, construction d'algorithme, recherche de preuve, jeu) ont toutes fait l'objet d'expérimentation. Nous présentons les principaux éléments de la première partie.

Les auteurs montrent que l'arithmétique n'occupe pas une place importante dans les programmes de collège de 1995, mais que cependant elle est considérée comme un outil pour de nombreuses activités.

« (Arithmétique) est sous-jacente à de nombreuses activités qui y sont pratiquées : calcul sur les mesures, calcul littéral, travail sur la proportionnalité. Si les exigences des programmes sont peu nombreuses, elles nécessitent néanmoins une certaines familiarisation avec les entiers » (Irem de Lyon, 2004, p.5)

Les auteurs mettent en évidence les niches¹⁰ que l’arithmétique occupe au collège : « Calcul numérique » ; « algorithmique » et « raisonnement », tout en soulignant que l’arithmétique intervient dans l’ensemble des mathématiques :

« Quant à l’algorithme, c’est un objet mathématique particulier, intrinsèque à l’informatique et il est nécessaire que les élèves se familiarisent avec cet objet, pour lequel l’arithmétique est indispensable.(….). L’arithmétique permet plus facilement que d’autres domaines des mathématiques de faire vivre la globalité de l’activité mathématique. Il y est en effet possible d’effectuer plusieurs essais, d’établir des conjectures, de les tester et d’engager la recherche d’une preuve, tout cela dans un temps raisonnable. (…) L’arithmétique est propice à l’initiation à la démonstration. »

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Dans cette brochure ; les auteurs ont mis particulièrement l’accent sur les trois niches de l’arithmétique : « Calcul numérique » ; « algorithmique » et « raisonnement ».

I.2.2.2 Brochure de l’Irem de Toulouse (2005)

Sous le titre « Pour un suivi en arithmétique de la troisième à la terminale », le groupe second cycle de I’IREM de Toulouse¹¹ a publié en 2005 une brochure à destination des enseignants du secondaire dans laquelle les auteurs montrent que l’arithmétique peut-être considérée comme un outil pour aider les élèves à progresser en algèbre et en logique. Ils soulignent d’une part que les élèves ont des connaissances insuffisantes pour la partie arithmétique, et d’autre part, que l’arithmétique permet de travailler sur le raisonnement mathématique et favorise les démarches algorithmiques ; ceci les conduit à avancer la nécessité d’un enseignement continu de l’arithmétique tout au long de la scolarité.

La brochure comprend quatre parties : la première partie vise à identifier les compétences des élèves en arithmétique. Les auteurs dans cette partie présentent les résultats des tests ensuite ils mettent en évidence les erreurs classiques associées à la mauvaise application de l’arithmétique et enfin ils montrent, par des exemples, les connaissances arithmétiques minimales que les élèves doivent acquérir. La deuxième partie est associée au raisonnement : les auteurs proposent des problèmes dans lesquels ils montrent la diversité de raisonnement qu’on peut rencontrer en arithmétique. La troisième partie est liée aux algorithmes. Il s’agit de proposer des exercices qui nécessitent la mise en place d’algorithmes simples et parfois programmés sur la calculatrice. Enfin, la quatrième partie est consacrée à un recueil d’exercices variés.

Deux tests sont proposés dans la première partie de cette étude, le premier test a été élaboré à partir d’un problème posé en 2000 au brevet des collèges, et il est posé à 10 classes d’un lycée général, après avoir traité le chapitre d’arithmétique pendant deux mois. Le deuxième test est lié au raisonnement en arithmétique, il est proposé à une classe de 29 élèves de Première S où l’arithmétique ne figure pas dans le programme

Le premier test s’intéresse à la notion de PGCD et à son calcul. Les auteurs proposent des questions visant, d’une part, à savoir si les élèves de la classe de seconde connaissent le procédé de la décomposition en produit de facteurs premiers et s’ils arrivent avec cette méthode à calculer le pgcd, et d’autre part à savoir si les élèves connaissent encore les méthodes étudiées au collège pour la recherche de pgcd lorsqu’ils disposent d’une nouvelle méthode.

Les auteurs ont trouvé que la plupart des élèves avaient une bonne acquisition de la décomposition en facteurs premiers ; ils étaient capables de décomposer correctement les

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Le groupe Second Cycle de I’IREM de Toulouse est constitué de Bernard Destainville (responsable), Sophie Dupuy – Touzet (co-responsable) ; Marc Ducret ; Jean – Marc Gibert ; Alain Viet ; Bernard Vinter.

nombres donnés en facteurs premiers. Mais lorsqu’il s’agit d’utiliser la décomposition en facteurs premiers pour la recherche de pgcd, certains élèves avaient une certaine réticence pour s’approprier cette méthode. Les auteurs ont montré que la décomposition en facteurs premiers était privilégiée par les élèves même si elle n’est pas correctement maitrisée, et l’algorithme d’Euclide reste une méthode maitrisée même si elle moins pratiquée.

« On peut constater que à l’issu de la troisième, une large majorité d’élèves maitrisent

un algorithme de calcul du PGCD de deux nombres, principalement algorithme d’Euclide. Après l’introduction des nombres premiers en Seconde, environ un élève sur deux connait encore un des algorithmes étudiés au collège, mais n’a pas toujours su s’approprier la technique du calcul du PGCD à l’aide de la décomposition en produit de facteurs premiers. » (P.12)

Les auteurs ont montré dans le second test que les élèves avaient des difficultés associées au manque dans le raisonnement arithmétique.

Ils identifient ensuite les erreurs faites par les élèves :

- Erreurs associées au langage : les auteurs montrent qu’il y a une mauvaise maitrise du vocabulaire de l’arithmétique : des expressions du langage courant sont associées aux entiers : les entiers sont appelés « nombre rond », « vrai nombre » et la « division tombe juste » lorsque le quotient est entier.

- Erreurs liées au statut des nombres : les auteurs expliquent que les élèves n’ont pas une bonne compréhension de l’ensemble des nombres et le fait que les ensembles de nombres soient inclus les uns dans les autres n’est pas évident pour les élèves.

- Erreurs dues à une méconnaissance de l’enjeu : les élèves n’arrivent pas à résoudre des exercices qui ne demandent que la reconnaissance de certaines notions déjà apprises, ou ils justifient leurs réponses à l’aide d’exemples : « La méconnaissances de l’utilité de certaines notions peut entraîner un blocage de la part des élèves qui n’en comprennent pas l’enjeu » (p.17)

- Autres erreurs : les auteurs ont trouvé qu’il y a des erreurs relatives à : • La généralisation erronée du théorème de Gauss.

• La généralisation du fait que la multiplication est une opération interne pour les entiers conduisant à considérer que le produit de deux nombres premiers est premier.

• Oublier 1 et n dans la recherche de la liste des diviseurs de n. Les auteurs mettent ce résultat en lien avec la perception des élèves selon laquelle le diviseur sert à partager ; du fait que n|1 = n et n|n =1, 1 et n pourraient ne pas être vus comme de vrais diviseurs.

Les auteurs à la fin de cette étude soulignent l’importance de l’arithmétique dans l’apprentissage des mathématiques et ils proposent que « Son efficacité dans l’apprentissage

et la consolidation des acquis ne seront réels que si un meilleur suivi de ce domaine est réalisé à travers les programmes des classes du collège et du lycée. » (p.69)

Ils insistent sur le fait que l’arithmétique doit être présentée chez les élèves et les enseignants et mettent en avant ses apports pour un travail sur le raisonnement.

Conclusion

La revue de travaux anglo-saxons que nous avons présentée met en évidence des difficultés rencontrées par les enseignants de l’école primaire avec les concepts de la théorie des nombres ; ces difficultés se manifestent essentiellement par le manque d’articulation entre ces concepts, et par les confusions qui peuvent être induites par certains termes tels que multiple, diviseur, quotient.

Nous soulignons que la plupart de ces travaux mettent l’accent sur le concept de divisibilité et ses relations avec les autres concepts de la théorie de nombres, alors que dans l’étude institutionnelle que nous avons conduite sur les programmes français, il apparaît que la divisibilité n’est pas un enjeu important au collège.

Les travaux français mettent en évidence l’importance des apports de l’arithmétique pour la niche raisonnement, et la niche algorithmique. Ils montrent également que cette dernière n’a pas trouvé sa place dans les pratiques des enseignants, ce qui conforte les résultats de l’analyse des manuels.

Les résultats de cette étude seront exploités plus particulièrement dans la troisième partie de notre mémoire de thèse, tant pour l’élaboration des questionnaires que pour nos analyses a