Les manuels de la période contre-réforme

Les manuels de la période de la contre-réforme que nous avons analysés sont : Hachette collège, Hatier collection Pythagore et Bordas collection Durrande. Dans nos analyses, nous indiquerons respectivement Hachette, Hatier et Bordas.

2 Le manuel de quatrième de Nathan que nous avons analysé a été publié en 1976 comme indiqué en

Nous avons étudié les manuels édités en1990 pour la classe de 6° chez Hachette et Hatier, et en 1986 chez Bordas. Pour les classes de 5°, les trois manuels sont édités en 1987. En classe de 4°, ils sont édités en 1988, et en 1989 pour la classe de 3°.

Comme nous l’avons déjà dit dans le chapitre précédent, la période de la contre-réforme voit la disparition de l’arithmétique des programmes. Les nombres premiers, la décomposition en facteurs premiers, le PGCD, le PPCM ne sont plus des objets d’étude dans les programmes du collège. L’enseignement de l’arithmétique dans cette période est limité à l’étude de la division euclidienne et à la relation de divisibilité en classe de 6^ème.

Nous allons voir à présent comment la directive des programmes est mise en œuvre par les auteurs des manuels par rapport à la disparition de l’arithmétique. Est-ce que les manuels montrent une certaine résistance vis-à-vis de cette disparition ? Est-ce que les notions de l’arithmétique qui ont disparu des programmes du collège continuent à vivre dans les manuels comme objet d’étude et comme outil ?

L’analyse écologique des deux parties « Activités et Cours » nous permet d’apporter des éléments de réponses à ces questions. Les manuels analysés pour cette période ont une structure différente. En général, trois rubriques se trouvent dans ces manuels :

- Activités : elles permettent de motiver l’introduction et la découverte de notions principales du cours, sous forme de problèmes « concrets » à résoudre. C’est le moment de la première rencontre avec les notions visées par le chapitre.

- Cours : les auteurs donnent les définitions et les propriétés des différentes notions à retenir. Cette rubrique correspond au moment de l’institutionnalisation.

- Exercices.

C’est dans le chapitre intitulé «Les entiers naturels, la division » que la relation de divisibilité et la division euclidienne sont traitées chez Bordas en classe de 6^ème ; on trouve ces deux notions dans le chapitre intitulé « Diviser » chez Hachette, tandis que chez Hatier, elles sont présentées dans un chapitre intitulé « Multiplications et Divisions ».

Pour étudier les notions d’arithmétique nous allons suivre la même organisation que celle retenue pour la période des mathématiques modernes.

1. La relation de divisibilité

La relation de divisibilité est désormais étudiée en classe de sixième. Elle est proposée à l’aide des exemples dans les manuels. Hatier consacre, dans la partie « L’essentiel », une rubrique intitulée « Vocabulaire » dans laquelle la relation de divisibilité est bien présentée. La notion de multiple est définie en termes de multiplication, alors que la relation de divisibilité est proposée en terme de division.

C’est aussi le cas de Hachette qui met l’accent sur la divisibilité qui est présentée comme un cas particulier de la division euclidienne quand le reste est nul.

Bordas se singularise des deux manuels précédents en introduisant la définition de multiple et de diviseur dans la partie « Cours » sous la rubrique « Multiple et Diviseur ». Il propose deux définitions de la notion de diviseur ; la première est proposée à partir de la définition de multiple:

« Un entier non nul b est un diviseur d’un entier a si a est un multiple de b. On dit alors que a est divisible par b »

La deuxième définition est proposée en termes de multiplication :

« Un entier non nul b est un diviseur d’un entier a s’il existe un nombre entier q tel que a = b × q ». (Bordas, p38)

Les critères de divisibilité sont proposés par Hatier et Bordas après avoir présenté le vocabulaire : multiple ; divisible ; diviseur. Tandis que Hachette les présente après la division euclidienne.

En classe de 5^ème, chez Hachette, les critères de divisibilité sont repris dans un chapitre intitulé « Nombres en écriture fractionnaire » pour simplifier les fractions.

Ainsi, nous trouvons que la divisibilité est un enjeu important dans les manuels de 6^ème dans cette période. La relation de divisibilité est bien explicitée.

2. La division euclidienne

Ni Hachette, ni Hatier ne donne une définition de la division euclidienne.

Hatier est assez bref dans la partie « Cours » sur la notion de la division euclidienne, qui est présentée sous le nom « Division avec des entiers » par le vocabulaire et la relation associée : (Dividende = Diviseur × Quotient entier + Reste ; Reste < Diviseur), suivi par un exemple résolu.

De même, Hachette présente le vocabulaire et la technique de la division euclidienne sur un exemple avec des explications sur la manière de chercher le quotient entier de a par b.

Par contre, Bordas donne une définition de la division euclidienne, et démontre que 0 ≤ r < b. Deux technique sont proposées par Bordas :

1 : technique de la division traditionnelle.

2 : technique d’encadrement d’un entier entre deux multiples consécutifs du diviseur ; cette technique se divise en deux étapes :

1) Détermination du chiffre des dizaines qui s’obtient en divisant le nombre de dizaines du dividende par le diviseur

Exemple : soit à diviser 825 par 23 23 × 3 < 82< 23 × 4

69 < 82< 92 82 – 69 = 13

Donc le quotient entier de 82 par 23 est 3 et le reste est 13 dizaines. 2) Détermination du chiffre des unités :

Les 13 dizaines restantes et les 5 unités forment le nombre 135. 23 × 5 < 135< 23 × 6

115 < 82< 138 135 – 115 = 20

Donc le quotient entier de 825 par 23 est 35 et le reste est 20.

Hachette utilise un vocabulaire informel « ça tombe juste » pour signaler que le reste de la division euclidienne est zéro.

En résumé, sur les trois manuels utilisés, seul Bordas a maintenu la partie théorie associée à la division euclidienne, qui a disparu des deux autres manuels.

3. Les nombres premiers

Conformément à l’esprit du programme de la période de la contre-réforme, aucun des manuels analysés ne propose les nombres premiers au collège.

4. La décomposition en facteurs premiers

Le changement de programme de 1985, fait aussi disparaître la décomposition en facteurs premiers des programmes et des manuels au collège.

5. Le Plus Petit Multiple Commun (PPCM)

Dans la période de la contre-réforme (1985-1996), l’étude du PPCM ne fait plus partie des contenus d’enseignement. Cependant, il est introduit dans les manuels, en quatrième, à l’aide d’exemples pour la réduction de fractions au même dénominateur.

Par ailleurs, chaque manuel a sa façon de proposer le multiple commun. Bordas propose le multiple commun en classe de 4^ème dans un chapitre intitulé « Nombres relatifs : addition et

soustraction » Il montre dans la partie « Activités » par un exemple la méthode consistant à

identifier le plus petit élément de la liste des multiples communs aux deux nombres. Dans la partie « Cours », le multiple commun est proposé à l’occasion d’exercices pour réduire au même dénominateur. En ce qui concerne Hachette, il donne une place importante au PPCM. Il propose cette notion comme outil en classe de 4^ème sous l’intitulé « Un point de méthode »

dans la rubrique « écritures fractionnaires quelconques » pour réduire au même dénominateur :

« Pour obtenir le multiple commun le plus petit possible, on peut procéder ainsi : on prend le plus grand des deux nombres et l’on écrit (ou l’on imagine…) ses multiples successifs en s’arrêtant dès que l’on trouve un multiple du plus petit. » (Hachette, 41)

Dans Hatier, la notion de multiple commun prend une place plus importante que dans Bordas et Hachette. Il est proposé comme outil dès la classe de cinquième dans la partie « Activité » sous une rubrique « Multiple et diviseur communs » qui propose d’abord des exercices sur le vocabulaire de multiple commun et diviseur commun, et ensuite des exercices sur l’addition des fractions en utilisant le plus petit multiple commun comme une technique. En classe de quatrième, Hatier propose le multiple commun dans la partie « L’essentiel » à l’aide d’exemples pour la réduction au même dénominateur.

Le choix des auteurs de manuels pour l’introduction de la notion de multiple commun dans la partie « Cours » ne permet pas de faire vivre la niche « Théorie des nombres ». En effet, ces choix sont plutôt en faveur d’un travail sur le calcul numérique. A aucun moment les manuels ne donnent de définition du PPCM dans la partie « Cours » ; cette notion est présentée comme une technique permettant d’accomplir des tâches concernant la réduction d’une fraction au même dénominateur et la simplification sans avoir une technologie qui justifie cette technique.

Bien que la notion de PPCM soit hors programme, l’analyse des manuels montre que le PPCM est proposé comme outil en classe de 4^ème pour réduire au même dénominateur.

5. Le Plus Grand Diviseur Commun (PGCD)

L’étude de la notion de diviseur commun ne fait plus partie des contenus d’enseignement. Cependant, les auteurs des manuels introduisent le PGCD comme outil en classe de 4^ème pour simplifier des fractions. Mais le choix fait par les auteurs des manuels pour proposer le PGCD est différent selon les collections.

Hatier introduit la notion de diviseur commun par des exercices pour simplifier des fractions dans la partie « L’essentiel » du chapitre « Opérations sur les fractions ». C’est dans la définition de fraction irréductible que le diviseur commun est proposé chez Bordas dans la partie « Cours » :

« Une fraction est irréductible si ses deux termes n’ont pas de diviseurs communs autres que un. » (Bordas, p130)

Hachette propose une méthode de réduction au même dénominateur en classe de 5^ème dans la partie « Pour résoudre des problèmes » de la manière suivante :

«Méthode : Pour simplifier une fraction, il faut trouver des diviseurs communs du numérateur et du dénominateur. » (Hachette, p51)

Comme pour le PPCM, les choix faits par les auteurs des manuels pour l’introduction de la notion de diviseur commun dans la partie « Cours » ne permettent pas de faire vivre la niche « théorie des nombres » ; ces choix sont plutôt en faveur d’un travail sur le calcul numérique. En conclusion, les deux niches « ensembliste » et « théorie des nombres » ne sont plus viables dans les manuels. La seule niche qui reste pour l’arithmétique dans les manuels de cette période que nous avons analysés est la niche « Calcul numérique », par le bais d’un travail sur les fractions pour les simplifier ou les réduire au même dénominateur.