Les manuels de la période contemporaine

Comme nous l’avons déjà vu, l’arithmétique dans cette période est réintroduite dans les programmes de collège, plus précisément, en classe de 3^ème. Nous cherchons à répondre aux questions suivantes : Comment les auteurs des manuels ont-ils réintroduit ce nouvel objet dans les manuels ? Les niches que l’arithmétique occupe dans les manuels sont-elles les mêmes que celles que nous avons identifiées dans les programmes ?

Nous avons tenté de suivre pour cette période les mêmes collections que celles des manuels étudiés dans la période de la contre-réforme, pour savoir comment les auteurs des manuels, qui avaient montré une certaine résistance devant la suppression des notions d’arithmétique des programmes, vont mettre en place les nouveaux programmes et introduire l’arithmétique dans leurs manuels. Ainsi, les manuels étudiés ici sont les suivants : Hachette éducation collection cinq sur cinq, Hatier collection Pythagore, Bordas³. Nous avons étudié les manuels à un moment où les programmes sont mis en place tout au long du collège. Les manuels analysés en classe de 6° sont conformes aux nouveaux programmes de1996, en 1997 pour la classe de 5° (pour les trois manuels) ; en 1998 pour la classe de 4° (pour les trois manuels), et en 1999 pour la classe de 3° (pour les trois manuels). Dans nos analyses, nous indiquerons respectivement Hachette, Hatier et Bordas.

En général, les manuels sont organisés en chapitres ayant une structure identique comportant quatre rubriques : « Activités » ; « Cours » ; « Méthodes » et « Exercices ».

Pour identifier l’habitat de l’arithmétique dans les manuels, nous allons voir d’abord les chapitres avec lesquels l’arithmétique se présente comme objet / outil dans chaque classe de collège.

- C’est en classe de 6^e que sont étudiées la division euclidienne et la divisibilité. Ainsi, les manuels proposent un chapitre pour présenter ces notions comme objet d’étude. Ces notions

3 Nous avons gardé la même collection pour Hachette et Hatier, alors qu’il était difficile de suivre la même collection Bordas que précédente pour toutes les classes de collège, nous avons cependant gardé la même édition dans cette période.

sont proposées chez Hachette dans un chapitre intitulé : « Diviser un décimal par un entier », et chez Hatier sous le titre : «Multiplications et Divisions ». Mais Hatier propose un autre chapitre intitulé « Fractions » dans lequel la divisibilité et les critères de divisibilité sont un outil pour simplifier les fractions. En ce qui concerne Bordas, il propose la division euclidienne dans un chapitre intitulé « Multiplication et Division », et les critères de divisibilité dans un autre chapitre intitulé « Quotient de deux nombres entier » pour le travail sur les fractions.

- En classe de 5^e, aucune place n’est réservée aux notions arithmétiques comme objet d’étude. Les manuels proposent les critères de divisibilité comme outil pour simplifier les fractions. Bordas présente un seul chapitre « Calcul fractionnaire » portant sur l’étude des multiples d’un nombre pour réduire des fractions au même dénominateur. Hatier proposent deux chapitres sur les fractions : l’un est intitulé « Fractions : Comparaisons » et l’autre intitulé

« Fractions : Opérations », quant à Hachette, il propose un chapitre intitulé « Opérations en écriture fractionnaire ».

- En classe de 4^e, on trouve la notion de multiple commun dans les manuels. Nous la trouvons chez Bordas dans un chapitre intitulé «Nombres relatifs en écriture fractionnaire », chez Hachette dans le chapitre : « Opérations (+, -, ×, ÷) en écriture fractionnaire », et chez Hatier sous le titre «Fractions» dans lequel il introduit les notions de diviseur commun et multiple commun.

- En classe de 3^e, nous trouvons le PGCD et les nombres premiers entre eux comme objet d’étude. L’arithmétique se présente chez Bordas dans un chapitre intitulé «Nombres entiers.

Nombres rationnels », chez Hachette dans un chapitre intitulé : « Arithmétique, Les ensembles de nombres », et chez Hatier sous le chapitre intitulé «Arithmétique».

Le choix de Hachette et Hatier de proposer les nouveaux objets en 3^e sous l’intitulé « Arithmétique » permet de mettre en valeur la réintroduction de ces notions.

D’autre part, nous remarquons que l’habitat de l’arithmétique avec les fractions permet de faire vivre la niche « Calcul numérique » de l’arithmétique.

Nous allons dans ce qui suit étudier les notions d’arithmétique selon l’organisation proposée au début de ce travail.

1. La relation de divisibilité

En classe de 6^ème, les choix faits par les manuels Hatier et Hachette publiés en 1996 dans la partie Cours sont identiques à ceux faits dans les manuels de 1985. Mais dans la partie Activités, Hatier propose les multiples d’un nombre et les critères de divisibilité à l’aide du crible d’Eratosthène, et il donne une définition de nombre premier sous l’intitulé « Le crible d’Eratosthène ». Ce choix est frappant par rapport à l’introduction officielle de la notion des nombres premiers fixée dans les programmes de Seconde.

Bordas introduit les critères de divisibilité dans le chapitre réservé aux fractions sous la rubrique « Simplifier une fraction ». Ceci met en évidence que l’objectif d’étudier les critères de divisibilité est de faire travailler des élèves sur la simplification des fractions.

2. La division euclidienne

Les choix faits par les manuels Hatier et Hachette publiés en 1996 sont identiques à ceux faits dans les manuels de 1985.

Bordas est le seul manuel qui définit la division euclidienne dans la partie « Le cours…les notions » sous l’intitulé « Définition » suivie d’un exemple par lequel il propose le vocabulaire de la division euclidienne et la relation a = bq + r avec r < q. Dans la partie « Le cours…Les méthodes », la division euclidienne est présentée dans un exercice résolu et commentée dans l’objectif de maîtriser cette technique qui est en cours d’apprentissage en sixième.

3. Les nombres premiers et la décomposition en facteurs premiers

Nous présentons l’analyse de la réintroduction les nombres premiers et la décomposition en facteurs premiers dans les manuels dans le paragraphe consacré aux manuels de Seconde, car dans la période contemporaine ces deux notions sont introduites dans les programmes de Seconde.

4. Le Plus Petit Multiple Commun (PPCM)

La notion de multiple commun est introduite en classe de 4^ème, pour réduire les fractions au même dominateur. Cette notion n’est pas traitée en tant qu’objet d’étude dans les manuels. Elle est proposée dans le cours sur un exemple résolu pour additionner deux nombres en écriture fractionnaire. Aucune définition ni aucune connaissance ne sont proposées à ce propos. Le sigle PPCM est absent dans les manuels.

Hachette présente dans le cours la technique de la recherche de multiple commun sous une rubrique « méthode », après avoir proposé un exemple résolu. Bordas propose un exemple résolu dans le Cours en explicitant une manière de rechercher un multiple commun à deux nombres : trouver les premiers multiples des deux nombres et prendre le premier multiple commun rencontré, sans mentionner que c’est le PPCM. Ce n’est pas le cas chez Hatier qui ne donne aucun commentaire sur la recherche d’un multiple commun ; on trouve, sous une rubrique intitulée « Méthodes », que pour réduire des fractions au même dénominateur « on

recherche un multiple commun aux dénominateurs, le plus petit possible de préférence » sans

montrer de technique pour le trouver.

C’est ainsi que les manuels proposent le PPCM implicitement sous l’intitulé un multiple

commun. Nous nous demandons si les enseignants utilisent avec leurs élèves le terme PPCM,

5. Le Plus Grand Diviseur Commun (PGCD)

Le PGCD est réintroduit dans les manuels de troisième en 1999. Les choix faits par les auteurs des manuels consistent à rappeler dans la partie « Activités » des éléments d’arithmétique déjà étudiés avant de proposer les notions qui sont en jeu dans ce chapitre. Hatier choisit de rappeler, dans la partie « Activités », le vocabulaire de diviseur et de multiple, les propriétés de la somme et de la différence de deux multiples d’un entier, et les critères de divisibilité au début de la partie cours, avant de traiter le PGCD. C’est aussi le cas de Hachette qui donne une définition du diviseur et des propriétés sur la somme et la différence de deux diviseurs d’un entier dans la partie « Revoir ». Quant à Bordas, il rappelle brièvement la division euclidienne et la notion de diviseur dans une rubrique intitulée « je sais déjà ».

Dans la partie réservée au cours, Hatier choisi d’introduire le PGCD dans le cours par un exemple sans donner de définition. Au contraire, Hachette propose une définition du PGCD suivie d’exemples mettant en évidence la première technique de la recherche des diviseurs communs à deux entiers. En ce qui concerne Bordas, il ne donne aucune définition de PGCD, mais il propose la propriété suivante :

« Les diviseurs communs à deux nombres entiers a et b sont les diviseurs du plus grand de ces diviseurs communs. » (Bordas, P.63).

Conformément à l’esprit du programme, l’aspect algorithmique trouve une vie riche dans le cours des trois manuels. Hachette privilégie cet aspect dans son cours en montrant dans un commentaire qui vient après la définition du PGCD son intérêt :

« Le calcul du pgcd par la recherche des diviseurs communs est souvent très longue. La

méthode des soustractions successives, ou celle des divisions successives, permet de répondre rapidement au problème. » (Hachette, p.70)

Il met l’accent sur la démarche algorithmique dans la partie Méthodes : il propose deux exemples dont un exercice résolu à l’aide des soustractions successives suivi d’une règle qui peut être considérée comme une technologie permettant de justifier la technique de soustractions successives ; l’autre exemple porte sur l’algorithme d’Euclide ; il est suivi d’un discours technologique associé à cette technique. La démarche algorithmique est également assez présente chez Hatier et Bordas, elle est proposée dans deux exemples résolus de la partie Cours. Ces deux manuels mettent en avant la technique qui repose sur l’utilisation des critères de divisibilité pour déterminer si deux entiers sont premiers entre eux et rendre une fraction irréductible. Notons que la technique de soustractions successives est proposée exclusivement chez Hachette.

Aucune place n’est réservée à la démarche algorithmique avec l’outil informatique (tableur, calculatrice) dans les trois parties « Activités », « Cours » et « Méthodes ». Les manuels

proposent l’utilisation du tableur dans la partie Exercice pour mettre en œuvre l’algorithme d’Euclide.

6. Nombres premiers entres eux

L’étude des nombres premiers entre eux est faite dans les manuels à la suite de l’étude du PGCD. Les manuels proposent une définition des nombres premiers entre eux et une définition pour les fractions irréductibles.

Pour reconnaître si deux nombres sont premiers entre eux, Bordas propose dans la partie « Méthodes », deux techniques :

- Utiliser les critères de divisibilités connus.

- Calculer le PGCD à l’aide de l’algorithme d’Euclide lorsque leur PGCD est égal à 1, conclure que les deux nombres sont premiers entre eux.

Les nombres premiers entre eux occupent une place importante dans les manuels pour rendre irréductibles les fractions.