Classe de 3 ème

Nous avons vu que l’arithmétique est réintroduite dans les programmes de 1999 avec la notion de diviseur commun et de nombres premiers entre eux. Les différences profondes entre les programmes de 1999 et ceux de 2008 en termes d’écologie s’expriment de façon explicite par l’introduction, dans les programmes de 2008, de la notion de nombre premier et de décomposition en produits de facteurs premiers pour obtenir une fraction irréductible, ceci sans donner lieu à un développement particulier ni à des exercices systématiques de décomposition en facteurs premiers. Voici ce qui est mentionné dans le commentaire de programme au sujet de la décomposition en facteurs premiers et des nombres premiers :

« Le recours à une décomposition en produits de facteurs premiers ou obtenus à partir des critères de divisibilité vus en classe de sixième est possible dans des cas simples, mais ne doit pas être systématisé. A ce propos, la notion de nombre premier est introduite sans donner lieu à un développement particulier ni à des exercices systématiques de décomposition en facteurs premiers (notions étudiées en classe de seconde). »

4^ème Connaissances Compétences

exigibles Commentaires Program mes de 1998 Nombres et calcul numérique Opérations (+,-,×, ÷) sur les nombres relatifs en écriture décimale ou fractionnaire (non nécessairement simplifiée). Calculer la somme de nombres relatifs en écriture fractionnaire.

L’addition de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire peut demander un travail sur la recherche de multiples

communs à deux ou plusieurs nombres

entiers.

La recherche du plus petit commun

multiple pour l’obtention d’un

dénominateur commun et celle du plus

grand diviseur commun pour l’obtention

de la forme irréductible ne sont pas exigibles.

Program

mes de 200

7 ^{Nombres numérique}

Opérations (+, -, ×) sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire (non nécessairement simplifiée). Calculer la somme de nombres relatifs en écriture fractionnaire.

L’addition de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire peut demander un travail sur la recherche de multiples

communs à deux ou plusieurs nombres

entiers dans des cas où un calcul mental est possible.

La recherche du PPCM et du PGCD pour l’obtention de la forme irréductible est hors programme.

Program

mes 200

9 ^{Nombres numérique} _{Opérations (+,-,×, ÷) sur}

les nombres relatifs en écriture décimale.

Opérations (+, -, ×) sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire (non nécessairement simplifiée). Multiplier, additionner et soustraire des nombres relatifs en écriture fractionnaire

L’addition de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire demande un travail sur la recherche de multiples communs à deux ou plusieurs nombres entiers dans des cas où un calcul mental est possible.

Ainsi, le programme de 2008 permet d’utiliser la décomposition en facteurs premiers dans des cas simples et à partir des critères de divisibilité, mais pour la recherche de pgcd, il privilège l’aspect algorithmique. Nous pouvons dire que les nouveaux programmes de mathématiques de Collège — mis en place de 1996 à 2005 — témoignent d’un retour à la mise en place de l’arithmétique plus proche de ce qui se faisait dans les années soixante-dix que dans les précédents programmes. Ceci semble justifié par l’intérêt de l’enseignement de l’arithmétique et de ses applications dans d’autres domaines.

La volonté des concepteurs de programmes de faire vivre la niche algorithmique est renforcée dans le dernier programme en faisant de l’utilisation de l’aspect algorithmique une des capacités associées au contenu de l’arithmétique. De plus, le programme de 2009 met l’accent sur la notion de PGCD en lui donnant une place dans la colonne « Connaissances » et dans la colonne « Capacité », ce qui n’était pas le cas en 2008. Quatre capacités ainsi figurant dans le programme 2009:

« - Connaître et utiliser un algorithme donnant le PGCD de deux entiers (algorithme des soustractions, algorithme d’Euclide).

- Calculer le PGCD de deux entiers.

- Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre eux. - Simplifier une fraction donnée pour la rendre. »

Du fait de la disparition des nombres premiers, la recherche du PGCD en utilisant la méthode de la décomposition en facteurs premiers n’apparaît pas dans le dernier programme. Les nombres peuvent être décomposés dans des cas simples à partir des critères de divisibilités. Le programme recommande de mettre en œuvre la niche algorithmique à l’aide des moyens informatiques ; nous pouvons lire ce qui est mentionné dans partie « Commentaire » :

« Dans le cadre du socle commun,³ les élèves utilisent leur calculatrice pour rendre irréductible une fraction donnée. »

Ce commentaire n’était pas dans le programme de 2008.

En lisant les objectifs de la pratique du calcul numérique figurant sous l’intitulé : « Nombres et Calcul », nous trouvons une autre niche associée à l’arithmétique dans les programmes de 2008, celle de la niche « raisonnement » :

« La résolution de problèmes a pour objectifs

• d’entretenir le calcul mental, le calcul à la main et de l’usage raisonnée des calculatrices,

3

Socle commun : il fait partie de la loi d'orientation et de programme pour l'avenir de l'École du 23 avril 2005. Il désigne un ensemble de connaissances et de compétences que les élèves doivent maîtriser à l'issue de la scolarité.

• d’assurer la maîtrise des calculs sur les nombres rationnels,

• d’amorcer les calculs sur les radicaux et de poursuivre les calculs sur les puissances, • de familiariser les élèves aux raisonnements arithmétiques⁴,

• de compléter les bases du calcul littéral et d’en conforter le sens, notamment par le recours à des équations ou des inéquations du premier degré pour résoudre des problèmes,

• de savoir choisir l’écriture appropriée d’un nombre ou d’une expression littérale suivant la situation. »

Notons que cette niche n’apparaissait pas explicitement dans les programmes de 2008. Nous remarquons de plus que le commentaire mentionné dans les programmes de 2008, relatif à la niche « Culturelle », disparaît des programmes de 2009. Aucune indication n’est citée, cependant, elle reste présente dans l’esprit des programmes.

C'est ainsi que, le programme de 2009 met l’accent sur la niche algorithmique et identifie la niche raisonnement de l’arithmétique à côté de la niche « calcul numérique ».

Le tableau ci-dessus nous présente le contenu d’arithmétique en classe de 3^ème dans les trois programmes 1999, 2008 et 2009 :

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3^ème Connaissances Compétences exigibles Commentaires 1999 Nombres entiers et rationnels Diviseurs communs à deux entiers Fractions irréductibles - Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre eux.

- Savoir qu’une fraction est dite irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

- Simplifier une fraction donnée pour

la rendre irréductible.

Cette partie d’arithmétique permet une première synthèse sur les nombres, Intéressante tant du point de vue de l’histoire des mathématiques que pour la culture générale des élèves.

Depuis la classe de cinquième, les élèves ont pris l’habitude de simplifier les écritures fractionnaires : la factorisation du numérateur et du dénominateur se fait grâce aux critères de divisibilité et à la pratique du calcul mental.

Reste à savoir si la fraction obtenue est irréductible ou non. On remarque que la somme et la différence de deux multiples d’un nombre entier sont eux-mêmes multiples de cet entier. On construit alors, un algorithme, celui d’Euclide ou un autre, qui, donnant le PGCD de deux nombres entiers, permet de répondre à la question dans tous les cas.

Les activités proposées ne nécessitent donc pas le recours aux nombres premiers.

Les tableurs et les logiciels de calcul formel peuvent, sur ce sujet, être exploités avec profit.

2008

Nombres

entiers et rationnels

Opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire. Diviseurs communs à deux entiers Fractions irréductibles

- Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre eux.

- Simplifier une fraction donnée pour la rendre

Cette partie d’arithmétique offre l’occasion d’une

première synthèse sur les nombres, intéressante tant du point de vue de l’histoire des mathématiques que pour la culture générale des élèves. Le fait que tous les nombres ne sont pas

rationnels est mis en évidence. ______________

Depuis la classe de cinquième, les élèves ont appris à simplifier les écritures fractionnaires grâce à la pratique du calcul mental et aux critères de divisibilité.

En classe de troisième, la question de l’irréductibilité de la fraction est posée. Pour cela, plusieurs méthodes peuvent être envisagées.

La connaissance de relations arithmétiques entre nombres que la pratique du calcul mental a permis de développer permet d’identifier des diviseurs communs au numérateur et au dénominateur.

Après avoir remarqué que la somme et la différence de deux multiples d’un

nombre entier sont eux-mêmes multiples de cet entier il est possible de construire un algorithme, celui d’Euclide ou celui des soustractions successives, qui, donnant le PGCD de deux nombres entiers permet d’apporter une solution au problème dans tous les cas.

Les tableurs et logiciels de calcul formel peuvent, pour ce sujet, être exploités avec profit.

Le recours à une décomposition en produits de facteurs premiers ou obtenus à partir des critères de divisibilité vus en classe de sixième est possible dans des cas simples, mais ne doit pas être systématisé. A ce propos, la notion de

nombre premier est introduite sans donner lieu à un développement particulier ni à des exercices systématiques de décomposition en facteurs premiers

(notions étudiées en classe de seconde). 2009 Nombres entiers et rationnels Diviseurs communs à deux entiers, PGCD Fractions irréductibles. Opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire. - Connaître et utiliser un algorithme donnant le PGCD de deux entiers (algorithme des soustractions, algorithme d’Euclide). - Calculer le PGCD de deux entiers. - Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre eux.

-Simplifier une fraction donnée pour la rendre

Plusieurs méthodes peuvent être envisagées.

La connaissance de relations arithmétiques entre nombres – que la pratique du calcul mental a permis de développer – permet d’identifier des diviseurs communs de deux entiers.

Le recours à une décomposition en produits de facteurs premiers est possible dans des cas simples mais ne doit pas être systématisée.

Les tableurs, calculatrices et logiciels de calcul formel sont exploités.

Dans le cadre du socle commun, les élèves utilisent leur calculatrice pour rendre irréductible une fraction donnée. Dans le cadre du socle commun, l’addition, la soustraction et la multiplication « à la main » de deux nombres relatifs en écriture fractionnaire, sont exigibles seulement dans des cas simples ; pour l’addition et la soustraction, il s’agit uniquement des cas où un calcul mental est possible. Dans les autres cas, la calculatrice est utilisée.

Figure 8 : Programmes de Troisième de 1999, 2008, 2009

Pour conclure, l’habitat de l’arithmétique se trouve avec les nombres entiers et le calcul ; ainsi la niche attribuée à arithmétique tout au long du collège est la niche « Calcul numérique ». Trois niches sont associées à l’arithmétique : calcul numérique, algorithmique et culturelle dans les programmes de 1999 et de 2008.

Le dernier programme 2009 met en évidence la niche raisonnement de l’arithmétique à côté des deux dernières niches.