Conclusion de l’analyse écologique des manuels
III. 3..2 : L’aspect existence et unicité
L’aspect existence et unicité de l’objet défini est explicitement évoqué dans les manuels qui proposent la décomposition en facteurs premiers à partir du théorème fondamental de l’arithmétique (Hachette) ou sur une propriété (Hatier et Bordas) permettant de traiter cet aspect.
Il nous semble que la définition du PGCD proposée par Hachette permet aussi de traiter implicitement cet aspect, nous pouvons lire:
« L’ensemble des diviseurs communs à deux entiers a et b admet un plus grand élément noté PGCD (a ; b). PGCD signifie Plus Grand Commun Diviseur. » (Hachette, p. 70)
Cet énoncé nous s’assure l’existence et unicité du PGCD de deux entiers a et b.
En conclusion
Des étiquettes « définitions » apparaissent dans le cours, l’aspect existence et unicité de la décomposition en facteurs premiers revient explicitement dans les manuels de seconde.
La dénomination, les définitions équivalentes et la désignation par exemple sont évoquées dans les manuels.
Les fonctions d’une définition sont : la fonction de communication, la fonction de
CONCLUSION
En général, les définitions proposées dans les manuels peuvent avoir une conception nominaliste logicienne des auteurs, avec une pointe d’essentialisme.
Les manuels des années 1970 donnent un lieu spécifique aux définitions de notions d’arithmétique, ce qui n’est pas le cas des manuels des années 1985 qui témoignent d’une absence notable de définitions à propos de l’arithmétique. Ces définitions réapparaissent dans les manuels des années 1997 avec un avantage pour langage mathématique.
Nous rappelons ci-dessous plus précisément ce qui concerne ce point selon les périodes : Dans la période des mathématiques modernes, les types de définitions rencontrées dans les manuels sont principalement du type dénomination ; on trouve aussi des définitions du type équivalence, en particulier pour les notions liées à la divisibilité.
La majorité des définitions des notions d’arithmétique, bien que présentes dans la période des mathématiques modernes, ne font pas l’objet d’un énoncé spécifique étiqueté « définition ». D’une manière générale, la période de la contre-réforme témoigne d’une absence notable des définitions formelle du fait de la disparition de l’arithmétique dans l’enseignement secondaire. La dénomination et les définitions équivalentes qui sont évoquées dans les manuels de mathématiques modernes ont été remplacées dans les manuels de la contre-réforme par la désignation par l’exemple.
Dans la période contemporaine, des étiquettes « définitions » apparaissent dans le cours, l’aspect existence et unicité de la décomposition en facteurs premiers revient explicitement dans les manuels de seconde. La dénomination, les définitions équivalentes et la désignation par l’exemple sont présentes dans les manuels.
Notons enfin que les manuels qui proposent les notions d’arithmétique par une définition par l’exemple, permettent de connaître le vocabulaire, mais ne permettent pas nécessairement de mettre en évidence les propriétés et les relations entre les entiers. Ceci peut induire chez les élèves des difficultés pour comprendre les relations entre entiers.
En ce qui concerne l’aspect existence et unicité de l’objet défini, il se manifeste clairement dans les manuels de l’année 1976 avec les notions de division euclidienne, de PGCD et la décomposition en facteurs premiers ; cet aspect disparaît des manuels de l’année 1985, et les manuels de l’année 1997 témoignent d’un retour timide de cet aspect avec la notion de décomposition en facteurs premiers. Notons que pour prendre en compte cet aspect, deux choix sont possibles : soit donner la définition sous la forme de propriétés que doit vérifier un objet pour satisfaire la définition, et proposer ensuite un théorème assurant selon les cas l’existence et/ou l’unicité ; soit donner une définition comportant l’affirmation de l’existence
et/ou de l’unicité, en laissant en arrière plan le théorème correspondant. Nous avons rencontré ces deux cas dans les manuels.
La fonction de communication et celle d’introduction d’un nouveau mot sont prédominantes dans les manuels.
Nous voudrions signaler qu’une notion peut être proposée aussi bien d’une définition que d’une règle telles les notions de PGCD et de PPCM qui sont proposées, en particulier, dans les manuels de mathématiques modernes comme une définition, et ensuite comme une règle qui fait un passage des définitions à l’activité mathématique. Cette dualité, peut se rencontrer, comme nous le montre Durand-Guerrier et Heraud ( 2006) :
« Définition et règle se rencontrent du fait que leur fonction commune consiste à déterminer conjointement un objet de discours et un objet de pratique ». (Durand-Guerrier et Heraud, p.143)
Cependant, il y a une tension entre la définition et la règle, la première porte sur les termes du langage et leur sens, l’autre consiste à réaliser les propriétés de l’objet, nous pouvons lire :
« Définition et règles révèlent par conséquence toutes deux à l’examen une tension entre deux pôles rivaux qui témoignent de leur dualité de registres ; l’un met l’accent sur leur dimension langagière (lexicale) du sens, l’autre sur leur fonction référentielle (extra- linguistique) de l’objet en jeu. »(ibid, p.143)
C’est ainsi que, les notions de PGCD et PPCM sont apparues dans les manuels de mathématiques modernes comme une définition qui traite de l’aspect existence et unicité d’une part, et comme une règle qui permet un passage de l’ordre théorique à l’ordre pratique d’autre part. Nous citons par exemple la règle de la recherche du PGCD de deux entiers proposée par Nathan (1975) :
« 1) On décompose a et b en produit de facteurs premiers.
2) Le p.g.c.d cherché est le produit des diviseurs premiers communs aux deux naturels, chacun d’eux étant pris avec le plus petit exposant figurant dans la décomposition e facteurs premiers de a et de b. » (p.101)
Lors de période de la contre-réforme, nous pouvons constater que conformément aux programmes les objets de discours ont disparu, mais que l’objet de pratique reste dans les manuels dont certains proposent une règle de la recherche du PGCD et PPCM.
Nous synthétisons dans le tableau ci-dessous, le statut des définitions pour chaque notion d’arithmétique dans ces manuels, et ses fonctions, relativement aux programmes précédents.
Concept Maths modernes Contre-réforme Contemporaine
Multiple Dénomination Dénomination
Désignation par exp
Equivalente (Bordas) Désignation par exp (Hachette et Hatier)
Diviseur Dénomination
Equivalente
Equivalente
Désignation par exp Divisible Division euclidienne L’aspect existence et unicité L’aspect existence et unicité
Désignation par exp
Dénomination (Bordas) Désignation par exp (Hachette) Désignation par un schéma (Hachette) PGCD et PPCM Dénomination Désignation par l’exemple L’aspect existence
Désignation par exp Désignation par exp (Bordas, Hachette et Hatier)
Implicitement l’aspect existence (Hachette)
Nombres premiers
entre eux ……… Dénomination (Bordas, Hachette et Hatier)
Nombres premiers Dénomination …………. Dénomination
(Bordas, Hachette et Hatier) Décomposition en
facteurs premiers L’aspect existence et unicité ……… L’aspect existence et unicité (Bordas, Hachette et Hatier)