Définition avec la relation de divisibilité : elle peut être proposée sous deux formes

équivalentes en distinguant l’ordre naturel et l’ordre de divisibilité :

1.1.1 La première consiste à définir le PGCD comme le plus grand élément de l’ensemble des

diviseurs communs de a et de b au sens de l’ordre naturel, nous pouvons citer la définition proposée par Perrin (2005) :

« Proposition – Définition : Soient a, b∈N non tous deux nuls. L’ensemble D des diviseurs communs de a et b admet un plus grand élément. On l’appelle le plus grand commun diviseur de a et b et on le note pgcd (a, b).

Démonstration. L’ensemble D est non vide (il contient 1) et fini (si a est non nul tout diviseur de a est ≤ a,. ) donc D contient un plus grand élément en vertu 3

de1.4.2 » (Perrin, 2005, p.24).

L’algorithme d’Euclide est proposé à la suite de la définition du PGCD ; ce choix peut être justifié du fait que l’algorithme d’Euclide est considéré comme une méthode pratique de la recherche de PGCD. La démonstration de cet algorithme montre l’existence du PGCD ; elle s’appuie sur la définition de diviseur commun de deux entiers. Nous proposons dans ce qui suit la démonstration de l’algorithme d’Euclide telle qu’elle est proposée dans Apostol (1976).

3

« Theorem: The Euclidean algorithm. Given positive integer a and b, where b no divides a. Let r₀ = a, r₁= b, and apply the division algorithm repeatedly to obtain a set of remaindersr₂ ,

3

r , …, r_n, rr_n+1 defined successively by the relations: r₀ = r₁q₁+r₂ , 0 < r₂ < r₁ r₁ = r₂ q₂+r₃, 0 < r₃ < r₂ . . . r_n−2 = r_n−1 q_n−1+ r_n , 0 < r_n < r_n−1 r_n−1 = r_n q_n+ r_n+1 , r_n+1 = 0

Then r_n the last nonzero remainder in this process, is (a, b), the gcd of a and b.

Proof: There is a stage at which r_n+1 = 0 because ther_iare decreasing and nonnegative. The last relation, r_n−1 = r_n q_n shows that r_n/r_n−1.The next to last show r_n/r_n−2. By induction we see that r_ndivides eachr_i. In particular r_n/r₁= b and r_n/r₀= a, so r_n is a common divisor of a and b.

Now let d be any common divisor of a and b. The definition of r₂ shows that d/r₂. The next relation shows that d/r₃.By induction, d divides each r_i so d/r_n. Hence r_n is the required gcd.” (Apostol, 1976, p.20)

1.1.2 Une deuxième manière de définir le PGCD consiste à proposer un théorème-définition

ou une proposition-définition qui permet de traiter l’aspect existence et unicité du PGCD. Nous sommes ici en présence de l’ordre divisibilité et de l’ordre naturel. Voici l’énoncé de cette définition telle qu’elle est proposée dans Andrew (1971) :

Definition: « if a and b are integers, not both Zero, then an integer d is called the greatest

common divisor of a and b if

(i) d > 0,

(ii) d is a common divisor of a and b, and

(iii) each integer f that is a common divisor of both a and b is also a divisor of d. Theorem: « If a and b are integers, not both zero, then g.c.d exists and is unique. “

La démonstration de ce théorème est proposée plus loin.

Comme nous l’avons dit, les deux définitions précédentes sont équivalentes, ce qui diffère c’est que la première définition repose sur l’ordre naturel et peut nous assurer l’aspect existence et l’unicité du pgcd. A ce propos, nous pouvons lire ce que Nägeli (1998) explicite sur l’ordre naturel et l’ordre divisibilité :

« Pour définir ce « plus grand » commun diviseur, nous pourrions envisager deux relations : la relation ≤ et la relation de divisibilité. La première présente l’avantage d’être une relation

d’ordre total, ce qui garantit tant l’existence que l’unicité du plus grand élément de l’ensemble des diviseurs communs de deux nombres non tous deux nuls : cet ensemble est en effet fini puisque, par (si x | y ∧ y≠ 0, alors | x| ≤ | y| [Z]), un diviseur d’un entier non nul ne

saurait le dépasser en valeur absolue. Dans ce contexte, il parait plus naturel de considérer “ le plus grand “ au sens de la relation de divisibilité : il s’agit de la borne inférieure, (..,) sur la relation de divisibilité » (Nägeli, 1998, p.146).

D’un point de vue technologique, et dans certains cas, chacun de ces ordres est au service de l’autre comme nous le montre Battie (2003) ; un lien entre les deux ordres peut être précisé à partir de deux relations :

• a | b ⇒ a ≤ b

• a |b et b|a ⇔ a = b ⇔ a ≤ b et b ≤ a

« C’est l’ordre divisibilité qui a priori est au service de l’ordre naturel puisque la réciproque n’est pas vraie. Ce dernier interviendra pour établir des résultats de divisibilité lorsque l’égalité sera en jeu, comme en atteste le deuxième lien.(…).Avec le fait donc que, dans Z, le plus grand commun diviseur au sens de l’ordre naturel soit aussi le plus grand au sens de l’ordre divisibilité, on peut penser que, dans le cas des problèmes où la notion de PGCD est en jeu, l’ordre naturel puisse aussi être au service de l’ordre divisibilité au niveau de la composante opératoire. » (Battie,2003, p.80-81)

Ainsi, la troisième condition (iii) dans la définition précédente du PGCD peut se traduire par : « d est, pour la relation de divisibilité, « le plus grand » diviseur commun ».

D’après Perrin⁴, le résultat suivant : « Si d est le pgcd de a et b et si δ est un diviseur de a et b, alors δ divise d » est « le cœur de l’arithmétique » car avec lui on a facilement le théorème de Gauss et donc l’unicité de la décomposition en facteurs premiers.

Nous revenons maintenant au théorème qui affirme l’existence et l’unicité du PGCD de deux entiers (‘’ If a and b are integers, not both zero, then g.c.d exists and is unique’’).

La démonstration de ce théorème proposée par Andrew (1971) repose sur l’algorithme d’Euclide, qui fait appel à l’application répétée de la division euclidienne :

« Proof: Clearly g.c.d.(a, b) is not affected by the signs of a and b. We have asserted that not both a and b are zero; however, if either is zero, say b = 0, then g.c.d.(a, 0) is clearly equal to | a|. In the following proof, we may therefore assume that a ≥ b > 0.

By Theorem 2-1⁵, there exist q₁ and r₁ (0 ≤ r₁ < b) such that a = bq₁+r . ₁ If r₁ > 0, there exist q₂ and r such that b = ₂ r₁q₂+r , where 0 ₂ ≤ r < ₂ r₁. If r > 0, there exist ₂ q₃ and r₃ such that r = ₁ r₂ q₃+r₃, where 0 ≤ r₃ <r . ₂ This process may be continued as long as the newly arising r_idoes not equal zero.

Since b>r₁>r >₂ r₃>….>0,

We see, by mathematical induction, that 0 ≤ r_i < b- i . Therefore, in at most b steps, we shall obtain an r_nthat is zero.

Thus the last application of Theorem 2-1 in our procedure leads to the result r_n−2= r_n−1 q_n +0; That is, r_n= 0.

(…) We have constructed the r_i so that r_n−1 > 0. By working backward from the final equation, we may establish successively that r_n−1 dividesr_n−2, r_n−3, …r ,₂ r₁,b, and a. Finally, if f divides both a and b , we may proceed successively from the initial equation to deduce that f divides

1

r r …₂ r_n−2, and r_n−1. (Mathematical induction is tacitly used in both of these procedures). Thus

1 −

n

r satisfies the requirements of Definition 2-1⁶; therefore, r_n−1= g.c.d.(a, b).

Each pair of integers has only one greatest common divisor; for, if both d1 and d2 are greatest common divisors of some pair a and b, it follows from (iii) of Definition 2-1 that

g d1 = d2 and h d2 = d1, where h and g are positive integers; hence, d2= ghd2; thus 1 = gh, and so g=h=1. We conclude that d1 =d2. » (Andrews, 1971, p.17)

4

Ceci est extrait d’une correspondance entre Perrin et Battie, mis en ligne par Daniel Perrin sur son site dans la rubrique « Documents pour la préparation au CAPES » : le fichier correspondant à ce document intitulé « Sur quelques questions d’arithmétique » a pour nom Battie.pdf.

5 Theorem 2-1 : (Euclide division Lemma) : For any integers k (k > 0) and j, there exist unique integers q and r such that 0 ≤ r < k and j = q k + r.