Les manuels des derniers programmes

Nous avons analysé les manuels de 6^ème et de 5^ème correspondant au dernier programme en vigueur (2008), mais pour les manuels de 4^ème et 3^ème nous nous somme limitée à analyser les manuels de la même collection pour les programmes de 2006 (pour la classe de 4^ème) et de 2007 (pour la classe de 3^ème), parce que les nouveaux programmes pour ces deux niveaux n’étaient pas encore mis en œuvre dans les manuels au moment où nous avons conduit cette étude. Les manuels choisis sont : Hatier collection Triangle, Hachette éducation collection Phare. Sésamath collection Mathenpoche.

- Manuels de 6^ème, édition 2009, pour les trois manuels. - Manuels de 5^ème, édition 2010, pour les trois manuels. - Manuels de 4^ème, édition 2007, pour les trois manuels. - Manuels de 3^ème, édition 2008, pour les trois manuels.

Pour étudier l’habitat de l’arithmétique tout au long du collège, nous allons présenter le lieu où l’arithmétique se trouve dans les manuels analysés :

- En classe de 6^ème : l’arithmétique se trouve dans deux chapitres dans les manuels : le premier chapitre propose la division euclidienne et la divisibilité comme objet d’étude et le deuxième chapitre traite l’arithmétique comme outil dans le travail sur les fractions. L’arithmétique fait l’objet d’un chapitre indépendant sous le titre « Division » chez Hachette et un autre chapitre intitulé « Fractions ». Les deux chapitres sont intitulés chez Hatier : « Division et

Problèmes », « Fractions et problèmes ». Le manuel Sésamath propose un chapitre « Opérations et nombres entiers » et un autre chapitre intitulé « Nombres fractionnaires ».

- En classe de 5^ème : deux chapitres sont proposés chez Hachette et Hatier portant sur la divisibilité et les critères de divisibilité pour simplifier des fractions. Un chapitre intitulé

« Nombres en écriture fractionnaire : sens » et l’autre intitulé « Nombres en écriture fractionnaire : Opérations » chez Hachette, alors que Hatier propose un chapitre intitulé « Fractions – Quotients » et l’autre sous le titre « Opérations sur les fractions ». Concernant

Sésamath, il propose un seul chapitre « Nombres en écriture fractionnaire ».

- En classe de 4^ème : l’arithmétique se trouve dans le calcul fractionnaire avec la notion de multiple commun, dans un chapitre intitulé « Nombres relatifs en écriture fractionnaire » chez Hachette, sous le titre « Ecritures fractionnaires » chez Hatier. Concernant Sésamath, il propose un seul chapitre intitulé : « Nombres en écriture fractionnaire ».

- En classe de 3^ème : l’arithmétique occupe une place indépendante dans les manuels. Elle est présente chez Hatier dans un chapitre intitulé « Arithmétique et fractions », et chez Hachette dans un chapitre intitulé aussi « Arithmétique ». Concernant Sésamath, il propose un seul chapitre « Nombres entiers et rationnels ».

Nous trouvons que l’habitat de l’arithmétique avec les fractions permet de faire vivre la niche « Calcul numérique » de l’arithmétique.

Notons que Hatier propose au début du chapitre une introduction en soulignant l’intérêt de travail sur les entiers de la manière suivante :

« A l’école, au collège, on apprend à calculer avec les nombres entiers afin d’avoir des outils pour résoudre des problèmes de la vie courante. En 3°, on ira plus loin dans l’étude de ces objets mathématiques que sont les nombres entiers. On s’intéressera en particulier à leurs diviseurs. » (Hatier, 2008, p.7)

Il donne ensuite un aperçu historique sur l’algorithme d’Euclide, ce qui permet de vivre la niche culturelle de l’arithmétique dans ce manuel, alors que les deux autres manuels ne donnent aucune introduction à propose de l’arithmétique.

Pour identifier les autres niches que l’arithmétique occupe dans les manuels, nous allons étudier les notions d’arithmétique tout au long du collège selon l’organisation proposée au début de l’analyse.

1. La relation de divisibilité

Comme nous l’avons vu la relation de divisibilité prend une place importante dans les programmes de cette période.

- En classe de 6^ème : le programme en vigueur (2008) met la notion de multiple et de diviseur dans la colonne Connaissances. Nous prévoyons ainsi d’avoir des définitions dans les manuels pour ces deux notions. Mais l’analyse des manuels montre que le choix des manuels pour

définir la divisibilité est différent. Les trois manuels définissent la divisibilité à partir de la division euclidienne dans le cas où le reste est nul.

Hatier donne une définition de multiple en langage naturel :

« Un multiple d’un nombre est obtenu en multipliant ce nombre par un entier ». (Hatier, P.53)

Hachette propose les vocabulaires : « être multiple de », « être divisible par », « être diviseur de », en termes de multiplication (a = b c) en montrant par un exemple que dans ce cas le reste de la division euclidienne est nul.

Le programme recommande que les différentes significations du mot diviseur soient explicitées. Les manuels traduisent cette exigence de manière différente. Hatier montre sous l’intitulé « Propriété » que les expressions suivantes ont la même signification : b est un diviseur de a ; a est multiple de b ; a est divisible par b. C’est aussi le cas de Sésamath qui propose ces expressions sur un exemple. Hachette utilise ces expressions équivalentes pour définir sur un exemple la relation de divisibilité ; il met en place l’exigence du programme en montrant que le terme diviseur a deux sens : diviseur d’un nombre entier (le reste de la division est zéro), et diviseur d’une division (le reste n’est pas nécessairement zéro).

Hachette se singularise des autres manuels par la définition des nombres pairs et impairs qu’il propose à l’aide de la divisibilité par 2:

« Les nombres entiers divisibles par 2 sont appelés nombres pairs. »

« Les nombres entiers qui ne sont pas divisibles par 2 sont appelés nombres impairs. » (Hachette, P.81)

Les critères de divisibilité apparaissent chez Hachette et Hatier sous le titre « Propriétés ». - En classe de 5^ème, la divisibilité occupe également une place privilégiée dans les programmes. Cependant, elle n’est plus objet d’étude dans les manuels. Seul Hachette rappelle les critères de divisibilité dans la partie Cours pour le travail sur les fractions.

- En classe de quatrième, les critères de divisibilité sont utilisés comme outil pour simplifier les fractions et pour réduire les nombres en écriture fractionnaire au même dénominateur. - En classe de troisième, les manuels reprennent la divisibilité pour traiter le PGCD. Hachette et Sésamath proposent dans la partie ‘’Cours’’ les quatre expressions de la divisibilité :

• a est multiple de b. • a est divisible par b. • b est un diviseur de a. • b divise a.

Hachette propose une propriété en annonçant que tout entier supérieur strictement à 1 admet au moins deux diviseurs : 1 et lui-même. Il rappelle les critères de divisibilité.

Par contre, aucun lieu n’est réservé à la divisibilité dans le Cours chez Hatier. Elle est uniquement proposée dans la partie « Activités ».

2. La division euclidienne

Le dernier programme ne mentionne plus la division euclidienne. Ainsi, aucune place n’est réservée pour la division euclidienne dans la partie Cours chez Hatier en classe de 6^ème.

Au contraire, Hachette et Sésamath, en 6^ème, donnent une place relativement importante pour la division euclidienne dans la partie Cours. Ils proposent le vocabulaire sur un exemple d’encadrement d’un nombre entre deux entiers multiples consécutifs du diviseur. Hachette propose la relation a = bq + r en langage naturel sous l’intitulé « Propriété » :

« Le dividende est égal au produit du quotient entier et du diviseur, auquel on ajoute le reste. Le reste est inférieur au diviseur. » (Hachette, p.80)

En classe de 3^ème, Hachette et Sésamath proposent une définition de la division euclidienne dans partie réservée au Cours d’arithmétique :

« Définition : a et b désignent deux nombres entiers positifs avec b ≠ 0. Effectuer la division euclidienne de a par b signifie déterminer deux nombres entiers positifs q et r tels que :

a = b × q + r et r < b.

q s’appelle le quotient entier et r s’appelle le reste. » (Hachette, p.55)

3. Les nombres premiers

Les programmes de 2007 introduisent les nombres premiers en classe de 3^ème permettant de décomposer les nombres en facteurs premiers afin d’avoir une fraction irréductible. Deux des manuels analysés (Hachette et Hatier) introduisent cette notion dans le cours en proposant une définition des nombres premiers, alors que Sésamath ne réserve aucune place aux nombres premiers.

Comme nous l’avons déjà dit, les programmes de 2009 ne mentionnent plus les nombres premiers. Nous constatons cependant que Hachette et Hatier font l’étude des nombres premiers dans la partie réservée au Cours avant l’étude du PGCD.

Depuis 2009, les nombres premiers sont proposés en Seconde ; nous y reviendrons donc dans l’étude des manuels de seconde.

4. La décomposition en facteurs premiers

La décomposition en facteurs premiers a été proposée par les programmes de 2007 en classe de 3^ème pour rendre irréductible les fractions dans des cas simples. En conformité avec les programmes, les manuels ne réservent aucune place dans la partie Cours à la décomposition en facteurs premiers comme objet. Hatier met en place cette nouvelle technique dans la partie « Méthode » en montrant qu’on peut simplifier une fraction en essayant de diviser mentalement la fraction par des nombres premiers 2, 3, 7,... .Hachette souligne que le calcul du PGCD n’est pas utile dans le cas où la décomposition en facteurs premiers peut être faite à l’aide des critères de divisibilité.

A la différence de Hachette et Hatier, Sésamath donne sur un exemple la décomposition en facteurs premiers de deux nombres pour simplifier ensuite les fractions par les facteurs communs entre le numérateur et le dénominateur.

5. Le Plus Petit Multiple Commun (PPCM)

La notion de PPCM n’occupe aucune place privilégiée ni comme objet d’étude ni comme outil dans les programmes. La recherche de multiples communs est proposée en classe de 4^ème pour additionner deux nombres relatifs en écritures fractionnaires. Les manuels introduisent également la notion de multiple commun de deux entiers comme outil pour réduire les fractions au même dénominateur, mais ils font référence implicitement au plus petit multiple commun de deux entiers. C’est le choix de Hachette qui souligne par un exemple dans la partie Cours que la réduction au même dénominateur nécessite de trouver un multiple commun de deux entiers, il propose le plus petit multiple commun sans expliciter de méthode pour la recherche d’un multiple commun.

Par contre, Hatier et Sésamath montrent sur un exemple dans la partie « Méthodes » la recherche de multiple commun. Ils identifient la liste des premiers multiples de deux entiers, et choisissent le premier multiple rencontré qui soit commun aux deux listes.

En classe de 3^ème, l’addition et la soustraction des nombres en écriture fractionnaire est reprise dans les manuels. C’est l’occasion de la reprise de la notion de multiple commun, mais Hachette et Hatier ne donnent aucun lieu pour traiter explicitement la notion de multiple commun. Hachette rappelle dans la partie Cours sous l’intitulé « Règles » :

« Pour additionner deux nombres relatifs en écritures fractionnaire qui n’ont pas le même dénominateur, on doit d’abord les réduire au même dénominateur ». (Hachette, p.18)

6. Le Plus Grand Diviseur Commun (PGCD)

Conformément aux programmes de 3^ème, les manuels proposent le PGCD comme objet d’étude. Il prend une place relativement importante pour simplifier les fractions.

Dans la partie « Activités », les auteurs des manuels Sésamath et Hachette proposent de démonter les propriétés relatives au PGCD, nous citons par exemple :

« Démontrer la propriété : Si un nombre d divise a et b, alors d divise b et a – b ». (Hachette, p.53)

La démonstration de ces propriétés permet de vivre la niche raisonnement de l’arithmétique. Les manuels proposent tout d’abord une définition du PGCD en donnant seulement le nom.

« Le PGCD de deux entiers naturels est leur Plus Grand Diviseur Commun. » (Sésamath, p.19) « a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs. Le plus grand des diviseurs commun à a et b s’appelle le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) des nombres a et b et se note PGCD (a ;b). (Hachette, p.56)

La définition du PGCD dans ces deux manuels est proposée au sens de l’ordre naturel. Sésamath met l’accent sur la propriété caractéristique que le PGCD vérifie.

Le choix d’Hatier pour définir le PGCD est différent de deux derniers manuels. Il propose d’abord la définition de diviseur commun au sens de l’ordre de divisibilité, ensuite il présent une définition « abréviation » du PGCD :

« Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui est un diviseur de chacun d’eux. » (Hatier, p.12)

« Le Plus Grand Diviseur Commun à deux ou plusieurs nombres entiers est appelé le PGCD de ces nombres. » (Hatier, p.12)

Nous faisons l’hypothèse que la définition « abréviation » proposée chez les manuels peut induire chez les élèves une reformulation de la définition.

Hachette donne des propriétés sur le PGCD :

« a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs.

• PGCD (a ; a) = a.

• PGCD (b; a) = PGCD (a; b).

• Si b est un diviseur de a, alors PGCD (a ; b) = b. » (Hachette, P.56) Trois techniques sont proposées dans les manuels pour la recherche du PGCD :

- Technique qui consiste à identifier la liste des diviseurs communs à deux entiers, et à choisir le plus grand.

- Technique de l’algorithme d’Euclide.

- Technique de l’algorithme des soustractions successives.

La première technique est proposée sur un exemple dans la partie réservée au Cours dans les trois manuels.

Dans la partie Cours, Hachette et Sésamath explicitent les deux techniques qui donnent une démarche algorithmique sous le titre « Propriété » de la manière suivante :

Propriété : a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs avec a > b. PGCD (a; b) = PGCD (b; a – b ».

Propriété : a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs avec a > b.

PGCD (a; b) = PGCD (b; r) où r est le reste de la division euclidienne de a par b ». (Hachette, P.56)

Dans la partie Méthodes, Hatier montre sur un exemple les démarches algorithmiques des soustractions successives et de l’algorithmique d’Euclide, en proposant une programmation des deux algorithmes.

7. Nombres premiers entre eux

Les manuels définissent les nombres premiers entre eux à la suite de l’étude du PGCD pour définir ensuite les fractions irréductibles. En accord avec les programmes, les fractions irréductibles prennent une place très importante dans les manuels.

Hachette et Hatier proposent d’abord une définition d’une fraction irréductible :

« Définition : On dit qu’une fraction est irréductible lorsque elle ne peut plus être simplifiée » (Hachette, P.57)

Ils proposent ensuite deux propriétés dont une pour reconnaître une fraction irréductible et l’autre pour rendre irréductible une fraction :

« Propriété : si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont premiers entre eux, alors cette fraction est irréductible.

« Propriété : si l’on divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction par leur PGCD, alors la fraction obtenue est irréductible. » (ibid, P.57)

Notons que Hatier dans la partie « Activités » propose une propriété montrant que si deux nombres premiers entre eux, la fraction est irréductible. Il est demandé d’énoncer la réciproque de cette propriété et de la démontrer. Cet exercice permet de faire vivre la niche raisonnement dans cette partie du chapitre.

Sésamath se limite quant à lui à proposer une définition de la fraction irréductible.

Ainsi, la niche algorithmique est fortement viable dans le cours, et le la niche calcul numérique se trouve dans le cours des manuels. Par contre, la niche raisonnement ne se trouve que dans la partie « Activité » pour prendre sa place ensuite dans la partie « Exercices ». En fin, la niche culturelle ne se trouve que chez Hatier.