Le travail de l’ensemble de binômes

A la mise en équation des familles de courbes ont participé 23 binômes et une équipe de trois étudiants. Nous présentons leurs réponses à l’aide de tableaux, ces réponses ayant été tirées des fiches que les étudiants ont remplies.

La recherche de l’équation différentielle

Dans le Tableau 11, en page suivante, nous présentons les stratégies mises en œuvre par les binômes pour arriver à l’équation différentielle de la famille d’exponentielles :

Type de stratégie Effectifs Commentaire

EXP-ALG

(ED obtenue à partir d’une expression symbolique des solutions)

1/24

E32/E33

EXP-ALG-VER

(même que EXP-ALG mais avec vérification)

7/24

E34/E35, E36/E37, E38/E39, E42/E43, E44/E45, E46/E47, E54/E55

EXP-DT-NUM

(ED obtenue par l’identification de l’invariant numérique de la famille, à

l’aide d’une droite tangente et de sa pente)

16/24

E1/E2, E3/E4, E22/E23 : nous analyserons ci-après le travail de ces binômes

E5/E6/E7, E8/E9, E14/E15, E18/E19, E20/E21, E24/E25, E28/E29, E26/E27, E40/E56, E48/E49, E50/E51, E52/E53

E12/E13 : première stratégie « intuitivement, la

famille […] est une famille d’exponentielles, on peut conjecturer que l’ED […] est de la forme ay’+by+c=0 »

Tableau 11 : Stratégies mises en œuvre par l’ensemble des étudiants pour arriver à l’équation différentielle

La totalité des binômes a réussi à mettre en équation la famille d’exponentielles. Deux tiers des binômes (16 sur 24) ont mis en œuvre la stratégie EXP-DT-NUM qui consiste à identifier, par exploration dynamique, une propriété numérique de la famille de courbes (pente de droite tangente = ordonnée du point de tangence) et à partir de celle-ci, à obtenir l’équation différentielle demandée. Le reste des binômes (8 sur 24) a associé a priori une expression symbolique à la famille de courbes, et à partir de son traitement par la dérivée (connaissances C2) ils sont arrivés à l’équation de la famille de courbes.

La justification de l’équation différentielle

Dans le Tableau 12, ci-après, nous présentons les justifications fournies par l’ensemble des binômes selon le type d’arguments mis en oeuvre. Très souvent, les binômes ont donné plus d’un argument pour justifier l’équation différentielle :

L’expérimentation année 2003

Type d’arguments Effectifs Commentaire

RES-ED

(Résolution de l’ED ; tracé de courbes solutions et vérification

par superposition)

20/24 E1/E2, E18/E19, E20/E21 : sans prendre en compte la superposition

E3/E4, E5/E6/E7, E8/E9, E12/E13, E14/E15, E22/E23, E26/E27, E28/29, E32/E33, E36/E37, E38/E39, E42/E43, E44/E45, E48/E49, E50/E51, E52/E53, E54/E55

VAL-NUM (fondés sur la validation

numérique de l’ED)

7/24 E1/E2, E18/E19, E32/E33, E34/E35, E36/E37, E40/E56, E46/E47

CHAMP- TGTS

(reconnaissance de la cohérence graphique de la famille de courbes avec le champ de

tangentes)

8/24 E40/E56, E42/E43, E44/E45, E48/49, E50/E51, E52/E53, : courbe dynamique tangente au champ E46/E47, E54/E55 : le champ décrit une famille d’exponentielles

(ces binômes appartiennent au même groupe. La construction du champ a été guidée par le professeur) BRCH-INF-S

(étude des branches infinies à partir de l’expression symbolique

des solutions)

6/24 E22/E23, E28/E29 : courbes tendent vers 0 en moins l’infini comme ex

E1/E2, E14/E15, E18/E19 : kex tend vers 0 en moins l’infini

E48/E49, E50/E51 : kex tend vers 0 en moins l’infini et vers ±∞ en +∞

ISC-0 (fondés sur l’isocline zéro) 2/24 E24/E25, E40/E56 SENS-VAR

(étude du sens de variation à l’aide du signe de la dérivée)

9/24 E8/E9, E14/E15, E34/E35, E40/E56, E42/E43, E44/E45, E46/E47, E52/E53, E54/E55 SOL-SYM

(fondés sur la symétrie des courbes solutions)

4/24 E3/E4 (sans justifier), E5/E6/E7, E18/E19, E50/E51

VAR-ED

(fondés sur l’identification de propriétés dues à la forme de l’expression symbolique y’=f(y))

1/24 E22/E23

Réponses isolées 1/24 E24/E25 : « pour C placée en (0, 1), on obtient la

courbe exp. qui vérifie y’=y »

Tableau 12 : Des arguments formulés par l’ensemble des étudiants justifiant l’équation différentielle

Nous constatons que la presque totalité des binômes (20 sur 24) élabore des arguments reliant de façon indirecte le registre graphique et le registre symbolique (des arguments du type RES-ED) pour justifier l’équation différentielle. Cependant, nous remarquons que tous les binômes sauf trois (E12/E13, E26/E27, E38/E39) fournissent au minimum deux types d’arguments. Nous constatons que trois des sept binômes (E1/E2, E18/E19, E40/E56) qui donnent des arguments du type VAL-NUM mettent en œuvre un raisonnement circulaire, et qu’ils sont arrivés à l’équation différentielle recherchée en mobilisant la stratégie EXP-DT-NUM qui passe par l’identification de l’invariant numérique de la famille de courbes ; cependant, ces trois binômes justifient l’équation différentielle en utilisant, au retour, des arguments numériques.

Nous remarquons que les arguments du type CHAMP-TGTS, non prévus dans l’analyse a priori, sont apparus suite à la demande faite au professeur, par quelques binômes d’un même groupe, au sujet de la procédure pour construire le champ de tangentes de l’équation

différentielle trouvée. Nous supposons que la mise en œuvre d’arguments du type BRCH-INFI-S pour l’étude des branches infinies des solutions, à l’aide de l’expression symbolique des solutions, a été facilitée par le fait de disposer de cette expression. Finalement, nous trouvons qu’un peu plus d’un tiers des binômes (9 sur 24) utilisent des arguments du type SENS-VAR, qui relient directement le registre graphique des solutions et le registre symbolique de l’équation différentielle. La formulation de ce dernier type d’argument témoigne de la disponibilité des connaissances telles que C6, qui permettent de faire le lien entre la dérivée et la pente des droites tangentes, et C5, qui permettent d’interpréter le sens de variations des solutions à l’aide du signe de la dérivée.

Conclusion

La totalité des étudiants a obtenu l’équation différentielle associée à la famille d’exponentielles. Nous remarquons que le recours au travail exploratoire à l’aide du logiciel semble favoriser la réussite des tâches proposées. Par exemple, le binôme E12/E13, qui supposait au début que l’équation différentielle était ay’+by+c=0 , arrive finalement à l’équation attendue. En ce qui concerne la justification de l’équation différentielle trouvée, presque tous les binômes ont mis en œuvre des arguments du type RES-ED (fondés sur la résolution algébrique de l’équation différentielle). La justification a été faite, de façon générale, par le tracé de courbes à partir de l’expression symbolique des solutions et par la superposition de la courbe dynamique à celles-ci.

Nous présenterons dans les développements suivants, une analyse plus détaillée du travail des trois binômes choisis.

3.3.4. La recherche de l'équation différentielle des exponentielles par