Les principaux choix effectués

Nous présentons ici les principaux choix que nous avons effectués lors de la conception du dispositif expérimental.

Organisation générale

L’ingénierie didactique que nous avons conçue est composée d’un ensemble de situations à réaliser par les étudiants dans deux environnements différents : papier/crayon et géométrie dynamique. Dans ces situations, compte tenu de l’existence de rétroactions de l’environnement Cabri, les interventions prévues de l’enseignant sont en nombre faible. Par ailleurs, soulignons que les contraintes de préparation au concours du CAPES ont obligé à mettre en place une ingénierie sur un temps court.

Les analyses a priori des situations proposées portent sur la mise en relation entre les représentants d’objets du champ des équations différentielles, du point de vue des connaissances en jeu et des procédures possibles à mettre en œuvre.

Les situations

Lors de la conception des situations nous avons essayé de promouvoir la mise en fonctionnement des niveaux mobilisables et disponibles des connaissances concernant les notions élémentaires de l’analyse. Pour cette raison, nous avons proposé des questions inhabituelles aux étudiants, mais que nous considérons a priori comme accessibles. Compte tenu de leur niveau (des étudiants préparant le CAPES), on peut attendre d’eux qu’ils arrivent à transférer des connaissances d’un domaine mathématique à un autre, même s’ils ne l’ont jamais fait explicitement. A propos du transfert de connaissances lors des apprentissages scientifiques, Johsua et Dupin (2003) remarquent :

« A plusieurs reprises […] est revenu le thème du transfert, ou du moins de la généralisation des savoirs et aptitudes acquises dans un domaine, à d’autres domaines a priori distincts. […] La grande complexité de ces savoirs rend à jamais impossible le projet de les dominer tous un à un, et il est a priori raisonnable de supposer que des mécanismes de généralisation se produisent, qui conduisent à savoir certaines choses sans les avoir explicitement apprises. » (pp. 103-104)

Les contenus mathématiques dans les situations que nous avons conçues se sont inspirés des sujets ci-dessous, tirés du programme du CAPES de mathématiques :

« Recherche de solutions approchées d’une équation différentielle scalaire d’ordre 1 par la méthode d’Euler.

Exemples d’étude qualitative des courbes intégrales d’une équation différentielle. Exemples de recherche des courbes intégrales d’un champ d’éléments de contact ou d’un champ de vecteurs dans le plan. »¹ (p. 15)

Les situations qui composent les deux expérimentations ont été conçues de manière à problématiser la mise en relation entre représentants d’objets du champ des équations différentielles. Ces mises en relation se font à ces deux niveaux : descriptif et justificatif. Nous avons fait le choix de proposer des situations qui du point de vue mathématique, n'exigent pas de connaissances complexes. En revanche, nous avons décidé de restreindre la mise en oeuvre des connaissances en ce qui concerne le niveau technique.

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Programme du CAPES Externe de Mathématiques 2005 (le document comprend le texte du Bulletin Officiel spécial n° 8 du 24 Mai 2001, incluant la modification parue au B.O. spécial n° 5 du 20 Mai 2004)

Méthodologie de recherche et analyse a priori Lors de la conception des expérimentations, nous avons pris en compte les deux types de situations envisagées, dans l’environnement de géométrie dynamique, pour problématiser l’articulation des registres graphique et symbolique des équations différentielles : des situations d’association de représentants de ces registres ; des situations de construction de l’un des représentants. Nous considérons que ces deux types de situations permettent de mettre à l’épreuve nos hypothèses de recherche. Les spécificités des situations conçues seront présentées en détail plus loin.

Dans la première expérimentation (année 2003), nous avons proposé une situation d’association de représentants d’objets du domaine des équations différentielles (champ de vecteurs et expression symbolique d’une équation différentielle), et deux situations de construction d’un représentant symbolique (mise en équation différentielle de familles de courbes). Dans la deuxième expérimentation (année 2004), nous avons proposé, en papier/crayon, une situation de construction d’un représentant (mise en équation différentielle de familles de courbes) et deux situations, en géométrie dynamique, d’association d’un représentant graphique avec un représentant symbolique (association explicitant le lien entre les représentants donnés d’une part, et association n’explicitant pas le lien entre les représentants donnés d’autre part). Lors de la conception de la deuxième expérimentation, nous avons pris en compte quelques résultats préliminaires de la première expérimentation. Ces résultats montraient de nombreuses difficultés chez les étudiants, concernant notamment la faiblesse de connaissances sur des notions telles que fonction, tangente, dérivée. Donc, nous avons accordé un rôle plus important aux situations d’association.

Dans chaque expérimentation, l’ordre des activités suppose une progression dans le développement des liens entre les divers représentants en jeu. De manière générale, nous avons privilégié le passage du registre graphique vers le registre symbolique.

Les expérimentations

Sur les sites de Grenoble et de Chambéry, l’IUFM de Grenoble offre une formation de six heures où l’on aborde les équations différentielles. Cette formation est répartie en deux séances de trois heures. Pour les expérimentations faites durant les années 2003 et 2004, nous avons disposé de ces deux séances auprès des étudiants.

Dans la partie suivante, nous décrivons brièvement les situations qui composent chaque expérimentation :

Expérimentation de l’année 2003 :

Pour la première expérimentation, nous avons conçu un questionnaire initial (papier/crayon) et deux types de situations dans l’environnement de géométrie dynamique :

• le Questionnaire initial a comme objectif un panorama global de l’état initial des connaissances des étudiants de CAPES sur les équations différentielles. En particulier, notre intérêt est d’examiner si ces étudiants arrivent à faire fonctionner spontanément leurs connaissances pour établir des liens entre divers représentants d’objets mathématiques dans ce champ d’étude. Il sera alors possible de mettre éventuellement en relation ces connaissances (dans leur état initial) avec une évolution probable des connaissances des étudiants au cours de l’expérimentation ;

• la situation Etude descriptive des courbes solutions de l’équation différentielle y'=^y2−1

x2+1 est composée d’une phase de travail en papier/crayon, et d’une phase dans l’environnement informatique. Il s’agit d’une situation du type « association de représentants » d’objets du champ des équations différentielles. Elle propose un travail de mise en relation entre les représentants suivants : un champ de tangentes donné ; la famille de courbes solutions qui devra être étudiée à partir du champ de tangentes ; l’expression symbolique de l’équation différentielle associée au champ de tangentes. La situation cherche à étudier le fonctionnement des connaissances des étudiants lors de l’établissement des liens entre ces représentants : Quelles sont les difficultés rencontrées par les étudiants ? Quels sont les liens qu’ils établissent entre les objets mathématiques en jeu ? L’incorporation de l’outil informatique apporte-t-elle des évolutions éventuapporte-t-elles par rapport à de possibles difficultés identifiées en papier/crayon ? Ce type d’activité permet de tester principalement la première et la troisième hypothèses de recherche ;

• les situations de Mise en équation différentielle d’une famille de courbes sont du type construction d’un représentant du champ des équations différentielles. Elles s’appuient sur les caractéristiques de la géométrie dynamique pour proposer une tâche inhabituelle (passer du registre graphique vers le registre symbolique). Nous proposons une courbe dynamique, et l’enjeu des situations est d’obtenir l’équation différentielle de la famille de courbes. Ces situations comportent deux phases, la première qui se focalise sur la construction du représentant symbolique demandé, et la deuxième centrée sur la vérification du résultat obtenu. Les situations proposées ont pour but d'étudier le fonctionnement des connaissances des étudiants ainsi que les apports possibles de la géométrie dynamique pour établir des liens entre les registres en jeu : Quelles sont les difficultés rencontrées par les étudiants ? Quels sont les liens qu’ils établissent entre les objets mathématiques en jeu ? Quel est le rôle du logiciel dans la construction de ces liens ? Ces situations de mise en équation de familles de courbes nous permettent de mettre à l’épreuve, notamment, la deuxième hypothèse de recherche.

Expérimentation de l’année 2004 :

Le dispositif expérimental de l’année 2004 est composé d’une situation, en papier/crayon, de mise en équation de familles de courbes (situation du type construction d’un représentant) et de deux situations, en géométrie dynamique, d’association entre représentants d’objets du champ des équations différentielles :

• la situation de Mise en équation différentielle de familles de courbes, en papier/crayon, a une certaine ressemblance avec ce type de situation de la première expérimentation. Comme un travail exploratoire en papier/crayon était moins accessible sur le registre graphique, nous avons fourni explicitement les propriétés graphiques des familles permettant d’obtenir leur équation différentielle. L’objectif de cette situation est d’obtenir des éléments de comparaison dans les deux environnements : papier/crayon et géométrie dynamique : quelles sont les difficultés que les étudiants rencontrent en papier/crayon ? quels sont les liens qu’ils établissent ? y-a-t-il des relations entre les difficultés rencontrées en géométrie dynamique (expérimentation 2003) et les éventuelles difficultés éprouvées en papier/crayon ?

Méthodologie de recherche et analyse a priori • la situation Association d’un vecteur tangent dynamique et d’une équation

différentielle (lien entre le vecteur dynamique et l’équation différentielle explicitement donné), propose un travail d’articulation entre un vecteur dynamique et l’équation différentielle qui lui est associée. Il s’agit de relever les propriétés des graphiques produits lors du déplacement du vecteur, et de faire la mise en relation entre ces faits graphiques et les propriétés mathématiques de l’expression de l’équation différentielle. L’objectif est d’étudier si l’exploration graphique des propriétés des courbes solutions de l’équation différentielle contribue au développement de liens entre les représentants en jeu : quels types de liens les étudiants établissent-ils dans ce contexte ? quelles sont les difficultés rencontrées par eux ? quels sont les apports de l’environnement dynamique dans la construction de ces liens ?

• la situation Association d’un vecteur tangent dynamique avec une équation différentielle (lien entre le vecteur dynamique et l’équation différentielle explicitement non donné), propose l’association d’un vecteur tangent dynamique avec une équation différentielle : il s’agit d’identifier, dans une liste, l’équation différentielle associée au vecteur dynamique. L’enjeu est de mettre en relation les faits graphiques issus du déplacement des vecteurs dynamiques avec les propriétés mathématiques des expressions symboliques des équations différentielles. L’objectif de cette situation est de tester l’efficacité des liens construits par les étudiants entre les représentants en jeu (nous avons prévu de proposer ce type de situation après l’association explicite).

L’organisation du travail des étudiants

Le questionnaire initial de l’expérimentation de l’année 2003 et l’activité de mise en équation des familles de courbes de l’année 2004 ont été traités par les étudiants de façon individuelle. Ce choix a été effectué principalement pour limiter le temps consacré à cette activité. En revanche, pour les autres situations on a demandé aux étudiants de travailler par binômes avec un seul ordinateur, l’objectif étant de favoriser les échanges entre eux.

Le rôle du professeur

En ce qui concerne les interventions du professeur, nous avons considéré quatre types de participation :

• procéder à un rappel des notions élémentaires sur les équations différentielles de premier ordre ;

• introduire le logiciel Cabri Géomètre II Plus ; • établir un bilan à la fin de chaque activité ;

• aider les étudiants ayant des problèmes d’utilisation du logiciel, ou des problèmes concernant les consignes relatives aux situations.

De manière générale, les situations ont été conçues pour fonctionner de manière quasi-isolée par rapport à l’enseignant, néanmoins celui-ci pourra apporter sa contribution à la dévolution du problème à résoudre.

Les données et leur traitement

Les données seront constituées des productions écrites des étudiants et de l’enregistrement audio de leurs échanges discursifs lors du travail en binômes. Bien que l’expérimentation ait

eu lieu en classe entière, sauf pour le questionnaire initial de l’année 2003 et l’activité de mise en équation de familles de courbes en papier/crayon, l’analyse a posteriori que nous en ferons est centrée sur le travail de trois binômes d’étudiants pour chaque expérimentation, compte tenu de l’importance en volume des échanges verbaux au sein de chaque binôme.

Dans les pages suivantes nous ferons la présentation détaillée des situations composant les expérimentations, et aussi de leur analyse a priori. Nous présenterons les choix mathématiques et didactiques effectués, ainsi que les connaissances et les procédures pouvant être mises en œuvre par les étudiants dans chacune des situations.

Quant à l’analyse a priori de chaque situation, nous l’avons scindée en trois étapes :

• en première étape, une description générale est faite des questions proposées, de ses objectifs ;

• en deuxième étape sont explicitées les variables didactiques sur lesquelles on a joué (sauf pour le questionnaire initial 2003 et la mise en équation de famille de courbes en papier/crayon) ;

• en troisième étape sont présentées les réponses attendues.