Mise en équation différentielle d’une famille de tractrices en géométrie dynamique tractrices en géométrie dynamique

Cette situation, comme celle des exponentielles, s’appuie sur les spécificités du logiciel qui rendent possible la construction d’une courbe qui peut être déplacée par manipulation directe. Elle a été conçue de manière à utiliser les différents outils qu’offre l’environnement de géométrie dynamique pour explorer les propriétés graphiques de la famille de tractrices. La situation cherche à identifier des évolutions possibles concernant d’éventuelles difficultés trouvées lors de la mise en équation des exponentielles. Elle cherche aussi à tester l’efficacité des liens construits entre les registres graphique et symbolique des équations différentielles. La famille de tractrices se caractérise par la propriété graphique invariante d’avoir un « segment de tangente constant ». Pour cette famille, la seule stratégie pour obtenir l’équation différentielle passe par l’identification de cette propriété. Nous avons appelé cette stratégie TRAC-GRAPH (Mise en équation de la famille de tractrices par l’identification d’un invariant graphique de la famille de courbes), et l’identification de l’invariant graphique de la famille requiert une construction auxiliaire qui rend visible cet invariant.

Nous avons organisé la mise en équation de la famille de tractrices dans l’environnement de géométrie dynamique, en trois phases :

• une première phase, où l’on propose la famille de tractrices sans rendre visible l’invariant graphique de la famille (valeur ME2₃ de la variable didactique ME2). Dans cette phase, nous voulons tester la mise en œuvre spontanée de la stratégie TRAC-GRAPH. Le cas échéant, les binômes passeront aux phases suivantes ;

• une deuxième phase, où les binômes reviennent à la famille d’exponentielles. Nous proposons aux étudiants l’exploration de la famille d’exponentielles à l’aide d’une construction auxiliaire qui rend visible la propriété graphique caractérisant la famille

Méthodologie de recherche et analyse a priori de courbes : « des courbes à sous-tangente constante ». L’objectif est de faire émerger la stratégie EXP-GRAPH (mise en équation de la famille d’exponentielles passant par l’identification d’un invariant graphique de la famille) ;

• une troisième phase, où les binômes reviennent à la famille de tractrices. Nous attendons dans cette phase, que la mise en œuvre de la stratégie TRAC-GRAPH, permette d’obtenir l’équation différentielle de la famille de courbes.

Nous présentons ci-après chacune de ces trois phases :

Première phase

D’abord nous avons proposé la mise en équation différentielle de la famille de tractrices, gardant la même structure que celle utilisée pour la famille d’exponentielles. Elle a été présentée aux étudiants de la manière suivante :

On considère une famille de courbes Γ. Le point M est déplaçable sur tout le plan. A chaque point M de la bande 0<y<2 correspond une courbe ΓM.

1) La tâche consiste à chercher l'équation différentielle de premier ordre qui correspond à la famille de courbes Γ.

Quelle est selon vous l'équation différentielle associée à cette famille ?

2) Comment avez-vous procédé pour déterminer l'équation différentielle de la famille de courbes Γ ?

3) Quels éléments pourriez-vous indiquer pour vous convaincre que l'équation différentielle que vous avez trouvée correspond bien à la famille de courbes Γ ?

4) Pouvez-vous repérer des propriétés mathématiques de la courbe qui confirment que vous avez bien trouvé l'équation différentielle de la famille de courbes Γ ? Si oui, lesquelles ?

Deuxième phase

Dans cette phase du retour à la famille d’exponentielles, les tâches ont été présentées de la manière suivante :

On considère une famille de courbes Γ. Le point M est déplaçable sur tout le plan. A chaque point M de la bande 0<y<2 correspond une courbe ΓM.

1) La tâche consiste à identifier des propriétés géométriques invariantes associées à l'équation différentielle de premier ordre de la famille de courbes Ω.

Quelles propriétés géométriques invariantes pouvez-vous associer à cette famille de courbes?

2) Est-il possible de déduire l'équation différentielle de la famille de courbes Ω à partir des propriétés invariantes repérées? Si oui, comment?

Les questions posées cherchent à favoriser la mise en œuvre de la stratégie EXP-GRAPH. La première question fait appel seulement à l’identification de l’invariant graphique de la famille de courbes, par l’exploration dynamique. Dans la deuxième question s’on attend à ce que la mise en œuvre de la stratégie EXP-GRAPH conduise à obtenir l’équation différentielle de la famille d’exponentielles.

Les réponses attendues et les connaissances en jeu

D’abord, nous attendons de l’exploration à l’aide de la géométrie dynamique qu’elle amène à identifier la propriété graphique invariante de la famille de courbes : segment RQ de longueur constante égale à l’unité. Ensuite, la mise en œuvre de la stratégie EXP-GRAPH peut permettre d’obtenir l’équation différentielle recherchée. Cette stratégie nécessite des connaissances du cadre de l’analyse permettant d’interpréter la pente de la droite tangente en termes de la dérivée (connaissances C3).

Nous envisageons deux voies possibles pour l’obtention de l’équation différentielle:

• la stratégie EXP-GRAPH : ED-PEN, qui consiste à déduire l’équation différentielle à l’aide de la formule de la pente d’une droite. Cette stratégie requiert des connaissances sur la formule de la pente, telles que :

« si A(xA,yA) et B(xB,yB BB) sont deux points distincts quelconques d’une droite D, alors A B A B x x y y m − −

= est la pente de la droite D » (C16)

En utilisant cette stratégie, l’équation différentielle de la famille d’exponentielles pourrait être obtenue de la manière suivante : Soient P(xP,yP), Q(xP,0), et R(xR,0), comme RQ a une longueur constante égale à 1, alors R(x_P - 1,0). La pente de la droite passant par P et R est donnée par m = (yP-0)/(xP-(xP-1))=yP, donc y’(P)=y(P) est la

Méthodologie de recherche et analyse a priori pente de la droite tangente pour tout point P d’une courbe quelconque de la famille. Alors l’équation différentielle de la famille est donnée par y’=y ;

• la stratégie EXP-GRAPH : ED-DT, consiste à déduire l’équation différentielle à l’aide de l’équation de la droite tangente. Nous remarquons que le recours à l’équation de la droite tangente n’est pas absolument nécessaire, cependant les données graphiques pourraient suggérer de l’utiliser. Cette stratégie requiert des connaissances sur l’équation de la droite tangente, telles que :

« l’équation de la droite tangente dans un point P(xP,yP) d’une courbe ΓP, représentative d’une fonction continue et différentiable f, peut être exprimée sous la forme y-yP= f’(xP)(x-xP)» (C8)

L’équation différentielle pourrait être obtenue, dans ce cas, de la manière suivante : l’équation de la droite tangente passant par P est donnée par y-yP= f’(xP)(x-xP) ; RQ a une longueur constante égale à 1, donc R(xP - 1,0). Le point R est l’intersection de la droite tangente avec l’axe des abscisses, 0-y_P= f’(x_P)(x_P-1-x_P), donc la pente de la droite tangente pour tout point P d’une courbe quelconque de la famille est de la forme f’(xP)=yP= f(xP). Alors l’équation différentielle de la famille est donnée par f’(x) = f(x) ou par y’=y.

Troisième phase

Dans la dernière phase, nous proposons de revenir à la famille de tractrices et de reprendre les questions proposées en première phase. Nous avons prévu, pour le cas où les étudiants auraient des difficultés à réaliser la construction auxiliaire, de leur fournir un fichier contenant la tractrice dynamique avec la construction faite (cf. figure 9, ci-dessous) :

Fig. 9 : Courbe tractrice dynamique rendant visible la propriété graphique invariante de la famille de courbes

Les réponses attendues et les connaissances en jeu

Nous nous attendons à ce que l’exploration dynamique conduise à identifier la propriété graphique invariante de la famille de tractrices : « le segment PR de longueur constante égale à 2 ».

Première question

Dans la première consigne : Quelle est, selon vous, l'équation différentielle associée à cette famille ? nous attendons des étudiants qu’ils réinvestissent la stratégie mobilisée (stratégie EXP-GRAPH), lors de la mise en équation de la famille d’exponentielles dans la deuxième phase. Nous espérons que grâce à la mise en œuvre de la stratégie TRAC-GRAPH, les étudiants puissent arriver à l’équation différentielle

2 4 ' y y y − − = de la famille de tractrices.

De la même manière que pour la famille d’exponentielles, l’équation différentielle de la famille de tractrices peut s’obtenir en s’appuyant sur la formule de la pente d’une droite ou sur l’équation d’une droite tangente. Dans le cas de la famille de tractrices, le recours au théorème de Pythagore est indispensable. Les deux stratégies que nous envisageons pour arriver à l’équation différentielle recherchée, sont les suivantes :

• la stratégie TRAC-GRAPH : ED-PEN+PYTH, qui consiste à déduire l’équation différentielle en utilisant la formule de la pente d’une droite et le théorème de Pythagore. En utilisant cette stratégie, l’équation différentielle pourrait être obtenue de la manière suivante : soient P(x,y), Q(x,0), comme PR a une longueur constante égale à 2, alors la pente de la droite tangente passant par P est donnée par y’ = -y/QR. Selon Pythagore, QR= 4− y² . Donc l’équation différentielle de la famille de tractrices est donnée par 2 4 ' y y y − − = ;

• la stratégie TRAC-GRAPH : ED-DT+PYTH, qui passe par l’équation de la droite tangente pour obtenir l’équation différentielle de la famille de tractrices. En utilisant cette stratégie l’équation différentielle pourrait être obtenue, dans ce cas, de la manière suivante : l’équation de la droite tangente passant par P est donnée par y-yP= f’(xP )(x-xP) ; PR a une longueur constante égale à 2 ; R(xR,0) est l’intersection de la droite tangente avec l’axe des abscisses, alors 0-y_P= f’(x_P)(x_R-x_P) d’où f’(x_P)=-y_P/(x_R-x_P). D’après Pythagore, x_R−x_P = 4− y_P² , donc f'(x_P)=−y_P/ 4−yP² . Alors on peut en déduire que l’équation différentielle de la famille de tractrices est donnée par

2 4 ' y y y − − = . Deuxième question

Dans la consigne : Comment avez-vous procédé pour déterminer l'équation différentielle de la famille de courbes Γ ?, nous attendons une explicitation de toutes les étapes conduisant à l’équation différentielle de la famille de courbes.

Troisième question

Dans la consigne : Quels éléments pourriez-vous indiquer pour vous convaincre que l'équation différentielle que vous avez trouvée correspond bien à la famille de courbes Γ ?, nous attendons l’explicitation d’arguments mathématiques justifiant les réponses fournies. Nous considérons que des arguments du même type que ceux développés pour la famille d’exponentielles (des types : RES-ED, VAL-NUM, SENS-VAR, VAR-ED, cf. pp. 100-101),

Méthodologie de recherche et analyse a priori pourraient aussi être formulés pour justifier l’équation différentielle de la famille de tractrices. Nous considérons que les arguments du type RES-ED (fondés sur la résolution algébrique) ont moins de probabilités d’apparaître, en raison de la complexité de l’expression symbolique des solutions. Par contre, les caractéristiques de l’expression symbolique de l’équation différentielle