Association d’un vecteur tangent dynamique et d’une équation différentielle (lien explicitement donné) équation différentielle (lien explicitement donné)

La conception de cette situation s’appuie sur les particularités du logiciel Cabri Géomètre. La manipulation directe d’un vecteur tangent dynamique associé à une équation différentielle rend compte des différentes propriétés graphiques des solutions. Les rétroactions visuelles du logiciel et les différents outils d’exploration qu’il offre, permettent que ces propriétés soient identifiées grâce à un travail exploratoire.

Dans cette situation d’association d’un représentant symbolique avec un représentant graphique, nous avons, explicitement, fourni tant l’expression symbolique de l’équation différentielle que le vecteur dynamique. L’enjeu est de faire interagir le registre graphique des solutions avec le registre symbolique de l’équation différentielle, de manière à ce que les faits graphiques identifiés soient liés directement avec les propriétés mathématiques de l’équation différentielle. Notre objectif est d’étudier dans quelle mesure le contexte informatique favorise la mise en relation des représentants en jeu.

La situation a été présentée de la manière suivante :

Ouvrez Cabri Géomètre sur votre ordinateur et le fichier VecteursEDConnues.fig. Les vecteurs Vecteur1, Vecteur2 et Vecteur3 sont associés respectivement aux équations différentielles 1), 2) et 3). Les vecteurs sont de norme constante (modifiable) et on peut les déplacer en bougeant leur origine : a) Justifier pourquoi chaque vecteur peut être un vecteur tangent associé à l’équation différentielle affichée ; b) Identifier les régions du plan où les vecteurs ont une pente nulle, dessiner ces régions et associer à celles-ci une expression algébrique ; c) Elaborer des arguments mathématiques pour justifier le comportement des courbes solutions

Pourquoi le Vecteur 1 peut être associé à l’équation différentielle y’=-y(4-y²) ?

Des régions du plan où le vecteur a une pente nulle. Expressions algébriques associées.

Des arguments mathématiques qui justifient le comportement des courbes solutions

Pourquoi le Vecteur 2 peut être associé à l’équation différentielle y’=(x+2)/(x²-1) ?

Des régions du plan où le vecteur a une pente nulle. Expressions algébriques associées.

Des arguments mathématiques qui justifient le comportement des courbes solutions

0.5 0.5 Les équations différentielles: 1) y' = - y(4-y^2) 2) y' = (x+2)/(x^2-1) 3) y' = (y^2+x)(x-y) Longueur du vecteur = 1,1 Vecteur1 Vecteur2 Vecteur3

Pourquoi le Vecteur 3 peut être associé à l’équation différentielle y’ = (y²+x)(x-y) ?

Des régions du plan où le vecteur a une pente nulle. Expressions algébriques associées.

Des arguments mathématiques qui justifient le comportement des courbes solutions

Les consignes ont été présentées, d’abord de façon générale et ensuite particularisées pour chaque couple (vecteur dynamique – équation différentielle).

La première consigne, de formulation floue, laisse les étudiants présenter librement leurs arguments. Nous supposons que les arguments seront fondés sur l’interprétation mathématique des propriétés graphiques repérées, grâce à l’exploration dynamique. Dans la partie sur les réponses attendues, nous décrirons les arguments mathématiques pouvant être mis en oeuvre.

La deuxième consigne se focalise sur l’isocline zéro. Elle considère deux phases : une phase exploratoire et une phase d’association entre une expression symbolique et ce lieu géométrique. Nous considérons également que cette consigne peut permettre la mise en

Méthodologie de recherche et analyse a priori fonctionnement des connaissances du cadre des fonctions et de l’analyse, pour interpréter les faits graphiques repérés.

La troisième consigne peut apparaître répétitive par rapport à la première. L’objectif est de centrer l’argumentation sur le domaine des mathématiques, afin d’éviter des réponses fondées seulement sur l’évidence graphique (qui pourraient être fournies dans la première consigne).

Variables didactiques

Lors de la conception de l’énoncé nous avons pris en compte quatre variables didactiques, décrites ci-dessous :

La variable didactique V-ED1

Cette variable concernant le choix de la forme générale de l’expression symbolique des équations différentielles, prend deux valeurs :

V-ED11 : équation de la forme g(x,y,y’)=0 ; V-ED1₂ : équation de la forme y’=f(x,y).

Dans le cas de la valeur V-ED11, pour établir un lien entre la pente des vecteurs dynamiques et l’expression symbolique des équations, il faut effectuer un traitement de l’expression dans le registre symbolique. Pour faciliter l’établissement de ce lien nous avons donc choisi la valeur V-ED12.

La variable didactique V-ED2

Cette variable concerne le choix des variables à inclure dans l’expression symbolique y’=f(x,y) des équations différentielles ; elle a trois valeurs :

V-ED2₁ : y’=f(x) ; V-ED2₂ : y’=f(y); V-ED2₃ : y’=f(x,y).

Le choix du type d’expression symbolique pour l’équation différentielle privilégie certaines propriétés graphiques de la famille de courbes solutions. Les courbes solutions associées à la valeur V-ED21 peuvent se déduire par translation de vecteur vertical. Les courbes solutions associées à la valeur V-ED22 peuvent se déduire par translation de vecteur horizontal. Enfin, les courbes solutions associées à la valeur V-ED2₃, ne peuvent pas se déduire par les transformations précédentes. Comme nous avons proposé trois couples vecteurs–équations différentielles, nous avons choisi une équation différentielle pour chacune de ces valeurs.

La variable didactique V-ED3

Cette variable concerne la possibilité de résoudre algébriquement les équations différentielles. Le fait de connaître, ou non, l’expression explicite peut conduire à la mobilisation des différentes stratégies pour justifier le comportement des courbes solutions. Par exemple, l’absence d’une expression explicite des solutions oblige à interpréter les comportements des solutions en termes de la dérivée, et par conséquent à établir un lien direct avec l’équation différentielle. En revanche, l’interprétation des comportements des courbes à l’aide de l’expression symbolique des solutions peut se réduire au cadre des fonctions, sans forcément faire intervenir la dérivée. Cette variable prend deux valeurs :

V-ED3₁ : des équations différentielles non résolubles par des méthodes élémentaires ;

V-ED32 : des équations différentielles résolubles par des méthodes élémentaires. Comme nous avons proposé trois couples vecteurs – équations différentielles, nous avons fait le choix d’une équation du type V-ED31 et deux équations du type V-ED32.

La variable didactique V-ED4

Cette variable concerne la complexité de la forme graphique de l’isocline zéro. Elle prend en compte le fait que cette forme dépende de l’expression symbolique de l’équation différentielle choisie. Nous avons identifié deux valeurs :

V-ED41 : équation dont le représentant graphique associé à l’isocline zéro a une forme prototypique élémentaire, par exemple : droite, parabole, etc. ;

V-ED42 : équation dont le représentant graphique associé à l’isocline zéro n’a pas de forme prototypique élémentaire.

Dans les tâches proposées, nous supposons que la reconnaissance de l’isocline zéro sera le résultat d’un travail exploratoire à l’aide du logiciel. Donc, il s’imposait de faciliter aussi bien l’identification de ce lieu géométrique que sa conversion au registre symbolique. Pour ce faire, nous avons choisi la valeur V-ED41. De plus, nous avons choisi des équations différentielles pour lesquelles l’expression symbolique associée avec l’isocline zéro, était simple.

Le choix de la valeur V-ED42 risque de demander plus de temps et d’empêcher la réalisation des autres consignes. Une configuration graphique complexe de l’isocline zéro peut aussi bloquer le travail des étudiants.

Les réponses attendues et les connaissances en jeu Première consigne

Pour répondre à la consigne : Justifier pourquoi chaque vecteur peut être un vecteur tangent associé à l’équation différentielle affichée, nous identifions d’abord cinq types d’arguments possibles pour étayer les justifications (excepté les arguments du type ISC-0, les autre types d’arguments ont déjà été présentés dans les situations précédentes). Dans un premier temps, nous les présentons de façon générale et les utilisons ensuite pour décrire les réponses possibles afin de justifier les associations explicites Vecteur dynamique – Equation différentielle.

Des arguments de type VAL-NUM

Rappelons que les arguments de ce type s’appuient sur la confrontation des valeurs numériques de la pente du vecteur tangent dynamique (obtenues à l’aide du logiciel), et des valeurs de la fonction f(x,y) évaluées selon les coordonnées de l’origine de ce vecteur. La mise en relation de ces valeurs requiert des connaissances permettant d’interpréter la pente des vecteurs dynamiques en termes de la dérivée des solutions, telles que :

« soit une équation différentielle de la forme y’=f(x,y), la fonction f donne, en chaque point P(x,y), la pente de la droite tangente à la courbe solution passant par P » (C6)

Méthodologie de recherche et analyse a priori Nous considérons que l’accès aux outils, comme « Pente » et « Calculatrice » qu’offre le logiciel, pourraient favoriser le recours à cette stratégie.

Nous remarquons que dans ce type d’arguments, le registre graphique fonctionne dans un mode nomographique : en effet, il est utilisé comme moyen d’obtenir des résultats numériques locaux.

Des arguments du type RES-ED

Comme déjà présenté, les arguments de ce type recourent à la résolution algébrique de l’équation différentielle, lorsque c’est possible. Nous considérons que ces arguments peuvent donner lieu à des justifications basées sur des vérifications graphiques, telles que : le vecteur tangent dynamique reste toujours tangent aux courbes solutions (tracées à partir de l’expression symbolique des solutions).

Comme dans le cas précédent, nous considérons que dans la formulation des arguments du type RES-ED, le registre graphique fonctionne sous un mode nomographique, car il serait utilisé seulement pour vérifier des résultats locaux.

Des arguments du type VAR-ED

Rappelons que les arguments du type VAR-ED s’appuient sur la prise en compte des liens existant entre les variables qui interviennent dans l’expression symbolique de l’équation différentielle et dans le comportement graphique du vecteur dynamique. Pour la formulation de ce type d’arguments, l’exploration à l’aide du vecteur dynamique joue un rôle important, et elle permet d’identifier les propriétés graphiques des courbes solutions. L’établissement d’un lien entre la pente du vecteur tangent dynamique et la dérivée des solutions demande la mise en œuvre de connaissances comme C6, citées ci-dessus. De plus, l’interprétation mathématique du comportement du vecteur dynamique en fonction des variables qui interviennent dans l’expression symbolique de l’équation différentielle, nécessite des connaissances telles que :

« soit une équation différentielle de la forme y’=f(x,y), et soit V le représentant graphique d’un vecteur d’origine P(x,y) et de pente f(x,y). Si le vecteur reste inchangé lorsque P se déplace sur une droite verticale (resp. horizontale), il est associé à une équation différentielle dépendant uniquement de la variable x (resp. y). Dans le cas contraire, il est associé à une équation différentielle dépendant des variables x et y » (C17)

Nous supposons que même si les connaissances C17 ne sont pas disponibles chez les étudiants, l’exploration à l’aide du logiciel et les rétroactions du milieu pourraient conduire à les rendre mobilisables. En effet, il est possible que les variations du vecteur dynamique lors de son déplacement mettent en évidence l’aspect fonctionnel de y’. Par exemple, si l’on déplace le vecteur suivant une direction parallèle à l’un des axes, une des variables de la fonction f est fixée, donc l’inclinaison du vecteur pourrait être mise en relation avec l’autre variable de la fonction f.

Nous considérons que la formulation de ce type d’arguments attestera le développement d’une flexibilité pour articuler le registre graphique et le registre symbolique.

Des arguments du type ISC-0

Ce type d’arguments prend en compte l’identification des régions où le vecteur devient horizontal, ainsi que la mise en relation de ce fait graphique avec l’expression symbolique de l’équation différentielle. Cette articulation entre les registres graphique et symbolique présuppose d’interpréter la direction horizontale du vecteur en termes de la dérivée nulle, ce qui demande la mise en fonctionnement des connaissances C6 pour lier l’équation différentielle avec les pentes des droites tangentes.

Des arguments du type SENS-VAR

Dans ce type d’arguments nous considérons que l’exploration à l’aide du logiciel peut jouer un rôle important. Les rétroactions graphiques du logiciel peuvent permettre d’identifier des régions où le vecteur a des pentes de même signe. La mise en relation des changements de signe de la pente du vecteur dynamique avec l’expression symbolique de l’équation différentielle, requiert des connaissances sur le sens de variation des fonctions, telles que :

« pour une équation différentielle y’=f(x,y) où f est une fonction numérique en ℜ2

, si f(x_P,y_P)>0 (resp. f(x_P,y_P)<0), alors la courbe solution Γ_P qui passe par (xP,yP) est une courbe représentative d’une fonction croissante (resp. décroissante) » (C5)

Utilisation des différents types d’arguments pour justifier les associations explicites vecteur dynamique – équation différentielle

Les arguments du type VAL-NUM, pour justifier l’association des vecteurs tangents dynamiques avec les équations différentielles, peuvent être formulés pour les trois couples vecteur dynamique – équation différentielle, donnés. La mise en œuvre des connaissances C6, pour effectuer les validations numériques, demande seulement de connaître la pente du vecteur tangent dynamique (cette pente peut être obtenue en utilisant l’outil « Pente » de Cabri), et aussi d’identifier la fonction f(x,y) à partir de l’expression symbolique de chaque équation différentielle. Cette fonction devant être évaluée selon les coordonnées de l’origine du vecteur dynamique associé, le calcul des valeurs numériques de la fonction pouvant se faire à l’aide de l’outil « Calculatrice » de Cabri.

Les arguments du type RES-ED pour justifier l’association des équations différentielles et les vecteurs tangents dynamiques, peuvent être formulés seulement pour les deux premiers couples, vecteur dynamique – équation différentielle (la dernière équation différentielle n’étant pas résoluble algébriquement) :

Equation différentielle y’=-y(4-y²)

Pour cette équation différentielle, les solutions peuvent être exprimées sous la forme :

C x y y + = − 8 4 ln ₂ 2

, où C est un nombre réel. Dans ce cas, le tracé des courbes solutions demande un traitement de l’expression symbolique pour l’écrire : soit sous la forme y=f(x), soit sous la forme x=g(y). Rappelons que la justification de l’association par des arguments RES-ED consiste à tracer certaines courbes solutions et à vérifier perceptivement que le vecteur dynamique reste tangent à ces courbes. La vérification graphique à l’aide du logiciel

Méthodologie de recherche et analyse a priori dans ce cas-là, pourrait amener à faire face à des difficultés comme : en Cabri, il est possible seulement de tracer de manière directe les représentants graphiques de fonctions de la forme y=f(x), tandis que pour des fonctions de la forme x=g(y) il faudrait construire un point générique et tracer ensuite son lieu géométrique.

Equation différentielle y’=(x+2)/(x²-1)

Pour l’équation différentielle y’=(x+2)/(x²-1) (deuxième couple), les solutions peuvent être

exprimées sous la forme : C

x x y + + − = 1 1 ln 2 1 ³

. Dans ce cas, le tracé des courbes solutions à l’aide du logiciel pourrait donc devenir plus facile que pour la première équation différentielle.

Nous considérons que pour cette équation différentielle, les arguments du type RES-ED seront plus probablement formulés, en raison de ce que l’obtention des primitives est possible directement à partir de l’expression symbolique de l’équation (l’équation différentielle est de la forme y’=f(x)).

Afin de faciliter le suivi des arguments justifiant l’association des vecteurs dynamiques et les équations différentielles, nous montrons ci-après, des représentants graphiques des champs de vecteurs associés à ces équations différentielles :

y’= -y(4-y²) 0.2 0.2 1) y' = - y(4-y^2) Vecteur1 y’=(x+2)/(x²-1) 0.2 0.2 y' = (x+2)/(x^2-1) Vecteur2 y’ = (y²+x)(x-y) 0.2 0.2 y' = (y^2+x)(x-y) Vecteur3

Fig. 10 : Champs de vecteurs associés aux équations différentielles (association explicite vecteurs dynamiques et équations différentielles)

Les arguments du type VAR-ED, pour justifier l’association des équations différentielles et des vecteurs dynamiques, peuvent être formulés pour les trois couples : vecteur dynamique – équation différentielle, donnés. Le recours à ce type d’arguments repose sur un travail important dans le registre graphique, de manière à pouvoir mettre en relation les faits graphiques repérés, lors du déplacement des vecteurs dynamiques, avec les propriétés algébriques des expressions symboliques. Nous développons ci-après quelques arguments qui pourraient être formulés, justifiant l’association Vecteur dynamique – Equation différentielle :

Equation différentielle y’=-y(4-y²)

Pour cette équation différentielle, le Vecteur 1 reste inchangé lorsque son origine se déplace sur une droite horizontale. Ce qui signifie que la valeur de la pente du vecteur ne dépend pas de la valeur x de l’abscisse de son origine. Donc l’expression symbolique de y’ est seulement fonction de y. Le comportement du vecteur dynamique Vecteur 1 est caractéristique des équations différentielles de la forme y’=f(y) (C17).

Equation différentielle y’=(x+2)/(x²-1)

Pour cette équation différentielle, le Vecteur 2 reste inchangé lorsque son origine se déplace le long d’une droite verticale. Ce qui signifie que la valeur de la pente du vecteur ne dépend pas de la valeur y de l’ordonnée de son origine. Donc l’expression symbolique de y’ est seulement fonction de x. Alors, le comportement du vecteur dynamique Vecteur 2 est caractéristique des équations différentielles de la forme y’=f(x) (C17).

Méthodologie de recherche et analyse a priori Equation différentielle y’ = (y²+x)(x-y)

Pour cette équation différentielle, le Vecteur 3 ne reste pas inchangé lorsque son origine se déplace le long d’une droite verticale ou sur une droite horizontale. Ce qui signifie que la valeur de la pente du vecteur dépend bien des coordonnées (x,y) de son origine. L’expression symbolique de y’ est donc fonction de x et de y. Alors le comportement du vecteur dynamique Vecteur 3 est typique des équations différentielles de la forme y’=f(x,y) (C17).

Les arguments du type ISC-0 pouvant être formulés pour justifier l’association des vecteurs tangents dynamiques avec les équations différentielles seront présentés plus loin, dans la partie des réponses attendues concernant la deuxième consigne.

Les arguments du type SENS-VAR, pour justifier l’association des vecteurs tangents dynamiques avec les équations différentielles, peuvent être formulés aussi pour les trois couples vecteur tangent – équation différentielle, donnés. Nous considérons que la mise en relation des registres graphique et symbolique concernant les changements du signe de la pente, s’appuie également sur un travail exploratoire important, à l’aide du logiciel, ainsi que sur la mise en œuvre des connaissances C5 pour interpréter mathématiquement les faits graphiques identifiés. Nous présentons, ci-dessous, quelques arguments qui pourraient être formulés pour chaque couple Vecteur tangent dynamique – Equation différentielle :

Equation différentielle y’=-y(4-y²)

Pour cette équation différentielle, l’exploration dynamique peut permettre l’identification des régions : y < -2, -2 < y < 0, 0 < y < 2, y > 2 où la dérivée garde un signe constant. La mise en œuvre des connaissances C5 peut permettre d’établir un lien entre ces faits graphiques et l’expression symbolique de l’équation différentielle. Ce qui pourrait conduire à conclure que : les solutions dans la région y < -2 sont décroissantes ; les solutions comprises dans la région -2 < y < 0 sont croissantes ; les solutions comprises dans la région 0 < y < 2 sont croissantes ; et les solutions dans la régions y>2 sont décroissantes.

Equation différentielle y’=(x+2)/(x²-1)

Pour cette équation différentielle, l’exploration à l’aide du vecteur dynamique peut permettre d’identifier les régions : x<-2, -2<x<-1, -1<x<1, x>1, où la dérivée a un signe fixe. L’exploration des propriétés graphiques associées à cette équation particulière peut conduire à formuler des arguments d’un autre type que nous appelons « arguments du type DISC ». Ces arguments consistent à identifier les régions de discontinuité de la fonction f. Dans ce cas, les droites d’équation x=±1. Le travail exploratoire pourrait faire constater qu’au voisinage des discontinuités, le vecteur tangent dynamique change brusquement de signe pour sa pente, et qu’il est donc possible que ce phénomène graphique conduise à établir un lien avec l’expression symbolique de l’équation différentielle.

La mise en œuvre des connaissances C5 peut conduire à conclure que : les solutions de la région x<-1 sont décroissantes pour x<-2 et croissantes pour -2<x<-1; les solutions comprises dans la région -1<x<1 sont décroissantes ; les solutions dans la région x>1 sont croissantes.

Equation différentielle y’ = (y²+x)(x-y)

En ce qui concerne l’équation différentielle y’ = (y²+x)(x-y), la formulation d’arguments du type SENS-VAR peut devenir plus difficile. En effet, l’isocline zéro partage le plan en cinq

régions, c'est-à-dire les régions délimitées par les courbes d’équations x=-y² et x=y : région I, x>-y², y>x, y>0 ; région II, x<-y², y>x ; région III, x<-y², y<x ; région IV, x>-y², y>x, y<0 ; région V, x>-y², y<x (cf. figure ci-dessous). L’éventuelle mise en œuvre des connaissances C5 pourrait permettre de conclure que : les solutions de la région I sont décroissantes ; les solutions de la région II sont croissantes ; les courbes de la région III sont décroissantes ; les solutions de la région IV son décroissantes, les solutions de la région V sont croissantes.

0.2 0.2 x = - y^ 2 Région II : x < - y^ 2, y>x y=x Région I : x > - y^ 2, y > x, y > 0 Région V : x > - y^ 2, y < x Région III : x<- y^ 2, y<x x > - y^ 2, y > x, y < 0 Région IV :

Fig. 11 : Régionnement du plan selon le signe de la dérivée pour l’équation différentielle y’ = (y²+x)(x-y)

Deuxième consigne

La consigne : Identifier les régions du plan où les vecteurs ont une pente nulle, dessiner ces régions et les associer à une expression algébrique, demande explicitement un travail exploratoire dans le registre graphique pour identifier l’isocline zéro. Nous présentons ci-dessous les réponses attendues pour cette consigne :