Etude descriptive des courbes solutions de l’équation différentielle y'=y2−1

x2+1en papier/crayon

L’objectif, dans la première partie, est d’étudier les connaissances mises en œuvre par des étudiants de niveau avancé (préparation CAPES) dans des tâches apparemment simples, telles que tracer des courbes à partir d’un champ de tangentes, ou tirer des informations de ce champ en termes de comportement des courbes solutions.

Pour avoir une idée des sources possibles de difficultés chez les étudiants, nous rappelons ci-dessous la procédure pour construire un champ de tangents et les compétences en jeu pour le tracé de courbes solutions.

Lors de la construction d’un champ de tangentes associé à l’équation différentielle y’=f(x,y), où f est une fonction numérique sur un ouvert U de ℜ2

, on prend en compte le fait que pour chaque point P(x,y) de U, la fonction f(x,y) fournit la pente de la droite tangente à la courbe solution qui passe par P. Pour le tracé, on utilise normalement une grille de points d’une certaine région du plan et en chaque point de la grille, on évalue la pente que l’on représente graphiquement par un petit segment centré sur le point. Une courbe solution est une courbe qui suit le champ de tangentes, et son graphe est tangent à chacun des petits segments qu’il touche.

Les informations sur les courbes solutions tirées d’un champ de tangentes peuvent être de deux types : des informations de nature locale ou des informations de nature globale. Donc, les courbes associées à un champ de tangentes peuvent s’examiner de deux points de vue :

• un point de vue global, qui permet de les voir compatibles avec l’ensemble de courbes qu’esquisse le champ de tangentes ;

• un point de vue local, qui permet de considérer les petits segments du champ de tangentes comme des approximations affines locales des courbes solutions.

D’autre part, le tracé des courbes associées à un champ de tangentes peut susciter des difficultés telles que :

• pour les points qui ne sont pas sur la grille, à partir de la vue globale du champ, il faut interpoler la direction des petits segments de tangentes non tracés ;

• lors du tracé d’une courbe, une fois qu’un point de la grille a été pris comme approximation locale de la courbe, le plus souvent on n’utilise pas les points voisins de la grille pour continuer le tracé et il faut continuer en prenant des points proches mais qui n’appartiennent pas à la grille ; dans tous les cas, on doit garder une certaine cohérence avec la vue globale de l’ensemble de courbes.

Les tâches proposées aux étudiants, en papier/crayon, sont les suivantes :

Le dessin ci-dessous montre le champ de tangentes de l'équation différentielle y'=^y2−1 x2+1

a) Dessiner quelques courbes solutions sur l'écran ci-dessus et décrire le comportement des courbes solutions.

b) Soit C1 la courbe solution qui passe par le point L(-2,-2). Décrire l'allure de la courbe C1 sur l'intervalle [-3,3]. Qu'arrive-t-il à la courbe C1 quand x tend vers l'infini? Justifier votre réponse.

L’équation différentielle choisie peut être résolue algébriquement, et pourtant le traitement dans le registre symbolique pour aboutir à une expression explicite des solutions, est coûteux. De plus, l’énoncé ne suggère pas la mise en œuvre d’une telle stratégie, donc nous considérons que les étudiants n’y ont pas recours.

La première question comprend deux consignes relatives au registre graphique : tracé de courbes solutions et description des comportements des courbes. Cette question présente volontairement un caractère un peu flou, l’objectif de la question étant de familiariser les étudiants avec les représentants graphiques en jeu (champ de tangentes, courbes solutions). Elle vise aussi à identifier d’éventuelles difficultés pour réaliser les passages entre ces représentants.

La deuxième question comprend trois consignes : décrire une courbe solution, prévoir le comportement de la courbe à l’infini, justifier la réponse. Ces consignes tendent à mettre en relation les représentants en jeu (champ de tangentes, courbe solution, équation différentielle) à un niveau différent de celui de la première question. La prévision du comportement de la courbe et sa justification mathématique requièrent la mise en fonctionnement de connaissances des cadres des fonctions, de l’analyse, etc., pour rendre compte, par exemple, du sens de variation de la solution dont C1 est la courbe représentative, etc.

Variables didactiques

Dans la conception de l’énoncé nous avons identifié deux variables didactiques, l’une concernant l’affichage du champ de tangentes et l’autre, le choix du point par lequel la courbe solution C₁ doit passer :

La variable EQ1

Cette variable rend compte du degré de complexité de la configuration graphique du champ de tangentes associé à une équation différentielle. Elle considère le fait qu’à chaque équation différentielle de la forme y’=f(x,y) on peut associer un champ de tangentes, dont la configuration dépend de l’équation. Nous avons distingué deux valeurs :

Méthodologie de recherche et analyse a priori EQ11 : équation différentielle dont le champ de tangentes a une configuration graphique simple ;

EQ12 : équation différentielle dont le champ de tangentes a une configuration graphique complexe.

La valeur EQ11 correspond au cas où la vue d’ensemble des courbes solutions fournie par le champ de tangentes permet d’identifier facilement des propriétés de la famille de courbes solutions, telles que : les courbes solutions peuvent être déduites les unes des autres par des translations de vecteur horizontal ou vertical ; etc.

La valeur EQ1₂ correspond au cas où la vue d’ensemble des courbes solutions fournie par le champ de tangentes est complexe, par exemple lorsqu’il s’agit de courbes sinueuses et que les différentes familles de solutions sont peu visibles. Le choix de cette valeur pourrait conduire à bloquer le travail de tracé des courbes.

Nous avons fait le choix de la valeur EQ11, en cherchant une équation différentielle dont la vue globale des courbes solutions fournie par le champ de tangentes ne soit pas trop complexe, et où des propriétés telles que la symétrie, le sens de variation des courbes, etc., puissent être facilement identifiées.

La variable EQ2

Cette variable concerne le choix de la courbe spécifique à étudier. Dans cette variable, on doit prendre en compte le fait qu’il y ait une infinité de courbes susceptibles d’être étudiées. Nous considérons que les stratégies mises en œuvre pour étudier le comportement de courbes solutions spécifiques, pour lesquelles on peut associer facilement une expression symbolique, réduisent les interactions entre les registres graphique et symbolique. Par exemple, l’étude des variations de ces solutions n’oblige pas à tirer de la lecture du graphique des informations relatives à la dérivée, car l’expression symbolique de la solution pourrait les leur fournir directement. Ces considérations nous amènent à identifier deux valeurs de la variable didactique (lorsqu’on ne dispose pas de l’expression symbolique des solutions) :

EQ21 : une courbe solution spécifique à laquelle on associe facilement une expression

symbolique ;

EQ22 : une courbe solution à laquelle il n’est pas possible d’associer une expression symbolique.

Nous avons fait le choix de la valeur EQ2₂ et de plus, nous avons choisi une courbe qui se trouve proche d’une solution constante. Dans ce dernier cas, comme le champ de tangentes donne un ensemble discret de segments, les informations explicites que l’on peut tirer de celui-ci ne sont pas suffisantes pour analyser le comportement de la courbe. Donc, ces choix problématisent le passage entre les deux représentants graphiques (champ de tangentes et courbes solutions), ce qui à notre avis pourrait favoriser la mise en relation des comportements graphiques avec des connaissances du domaine des équations différentielles.

Les réponses attendues et les connaissances en jeu Première question

La première question, Dessiner quelques courbes solutions sur l'écran ci-dessus et décrire le comportement des courbes solutions, met en relation explicite les deux représentants graphiques en jeu : le champ de tangentes et les courbes solutions. La première consigne est une tâche qui requiert seulement une lecture graphique du champ de tangentes. La deuxième consigne sollicite le registre discursif et on en attend une description mathématique du comportement des courbes.

Tracé des courbes solutions

En ce qui concerne le tracé des courbes solutions, nous envisageons la stratégie suivante : • choisir un point quelconque du plan (sur le champ de tangentes fourni). Nous

considérons que le choix le plus probable se fera sur la grille (qui supporte les segments du champ de tangentes) ;

• tracer la courbe, à partir du point choisi, en suivant le champ de tangentes de manière à ce que la courbe soit tangente à chacun des petits segments qu’elle touche ;

• pour les cas où la courbe ne touche aucun des segments du champ (des régions du plan où il n’y a pas de segments des tangentes), il faudra interpoler à partir de la vue globale du champ la direction des petits segments de tangentes non tracés ;

• la courbe tracée doit être un trait continu. D’un point de vue global, elle doit être cohérente avec l’ensemble des courbes esquissées par le champ de tangentes.

Le contrôle du tracé des courbes, dans cette consigne, est perceptif. Il est basé sur la position de la courbe par rapport aux segments tangents. Nous considérons que le lien entre les segments et les courbes solutions peut être établi, en faisant fonctionner des connaissances qui prennent les petits segments comme tangents aux courbes :

« si une courbe solution passe par un point Q de la grille qui supporte le champ de tangentes, alors la courbe est tangente au segment centré en Q » (C9)

Nous considérons qu’en s’appuyant sur les données graphiques, les étudiants pourraient aussi considérer les segments comme des petits morceaux de courbes. Ce qui réduirait l’activité du tracé de courbes solutions à une tâche où il s’agirait de relier le plus possible les petits segments entre eux, sans contrôle de connaissances.

Nous remarquons que dans ces tâches de tracé des courbes solutions, le registre graphique pourrait fonctionner selon les modes idéogrammatique ou opératoire. Le tracé de courbes en s’appuyant seulement sur les données graphiques, sans mettre en jeu des connaissances telles que C9, serait distinctif d’un mode idéogrammatique.

Description du comportement des courbes solutions

En ce qui concerne la description des courbes, nous nous attendons à la voir s’effectuer en vocabulaire mathématique sur le sens de variation des fonctions. Nous considérons que les étudiants pourraient identifier les solutions constantes, ainsi que les régions où les fonctions

Méthodologie de recherche et analyse a priori associées aux courbes solutions sont croissantes ou décroissantes. Dans ce dernier cas, il est possible que les étudiants identifient les solutions constantes y=±1 et les trois régions : y<1, -1<y<1, y>1 où les solutions sont respectivement croissantes, décroissantes, croissantes. La description des courbes pourrait aussi inclure l’identification de propriétés telles que la symétrie du champ de tangentes.

Nous considérons qu’une éventuelle interprétation mathématique des comportements des courbes solutions, qui ferait intervenir des connaissances du cadre de l’analyse sur le sens de variation des fonctions, sur le régionnement du plan selon le signe de la dérivée, etc., donnerait des indices d’une certaine flexibilité pour articuler les registres de représentation en jeu.

Deuxième question

La question : Soit C1 la courbe solution qui passe par le point L(-2,-2). Décrire l'allure de la courbe C1 sur l'intervalle [-3,3]. Qu'arrive-t-il à la courbe C1 quand x tend vers l'infini? Justifier votre réponse, se centre sur l’étude d’une courbe particulière. Les trois consignes qui composent cette question mettent en relation les représentants en jeu (le champ de tangentes, la courbe C1, l’expression symbolique de l’équation différentielle). Cette question, à la différence de la première, ne reste pas seulement au niveau descriptif, et la justification du comportement de la courbe requiert la mise en oeuvre de connaissances des cadres des fonctions et de l’analyse pour interpréter les faits graphiques.

Description de l'allure de la courbe C₁

Cette consigne se trouve au même niveau que les consignes de la question précédente. Nous considérons que la description de la courbe peut être précédée par son tracé, en utilisant la stratégie présentée dans la première question. Par rapport à la description de la courbe, nous attendons des étudiants qu’ils s’appuient sur l’information graphique pour conclure qu’il s’agit d’une courbe représentative d’une fonction croissante.

Prévision du comportement de la courbe C₁ en plus l’infini

Cette consigne demande une anticipation du comportement de la courbe. La réponse, dans un premier temps, pourrait être fournie au niveau discursif, en s’appuyant seulement sur les données graphiques. Nous nous attendons à ce que les étudiants considèrent que la courbe C₁ est représentative d’une fonction majorée, donc qu’elle a une limite finie. Il est possible que la prévision du comportement de la courbe à l’infini, appuyée sur l’évidence graphique, amène à conclure que la courbe C₁ s’approche de la droite y=-1, et par conséquent à supposer (de manière erronée) que la limite en +∞ de la fonction solution, dont C1 est la courbe représentative, est -1.

Justification

Nous considérons que suite aux constats graphiques perceptifs, la demande de justification peut favoriser la mise en œuvre de connaissances du domaine des équations différentielles. Ces connaissances pourraient être liées au sens de variation des fonctions ou à la convergence des fonctions majorées. Nous présentons ci-dessous quelques connaissances qui pourraient être mobilisées :

• pour le sens de variation des fonctions :

« pour une équation différentielle y’=f(x,y), où f est une fonction numérique en ℜ2

, si f(x_P,y_P)>0 (resp. f(x_P,y_P)<0), alors la courbe solution

Γ_P qui passe par (x_P,y_P) est une courbe représentative d’une fonction croissante (resp. décroissante) » (C5)

• pour la convergence de fonctions monotones bornées :

« soit f une numérique continue définie sur ]a, +∞[, si f est décroissante et minorée (resp. croissante et majorée) sur ]a, +∞[, alors f a une limite finie quand xÆ +∞ » (C10)

Le recours aux connaissances C5 et C10 peut permettre l’élaboration des arguments de justification qui prennent en compte des éléments comme :

• la courbe C1 est représentative d’une fonction croissante ; • y=-1 est une solution constante ;

• les courbes solutions ne se croisent pas, car dans l’équation différentielle étudiée y’ s’exprime sous la forme y’=f(x,y), ce qui ne permet pas d’avoir en un même point du plan deux valeur différentes de la pente de la droite tangente ;

• la solution, dont C1 est la courbe représentative, est majorée par la solution constante y=-1, alors elle a une limite finie.

Bien évidemment, comme nous l’avons déjà signalé, nous n’attendons pas des étudiants des formulations très élaborées. Par contre, nous considérons que leurs arguments peuvent apparaître très fortement liés aux données issues de leur perception graphique.

Nous prévoyons que la demande de justification puisse devenir laborieuse pour les étudiants. Des sources possibles de difficultés pourraient reposer d’une part, sur le fait que la courbe C1

doive être associée à une fonction numérique d’une variable réelle dont on ne dispose pas de l’expression algébrique, et d’autre part, sur la justification qui doit se faire à l’aide de la dérivée, car on ne dispose pas que de l’expression algébrique de l’équation différentielle. Pour justifier le comportement de C1, on a besoin de parler de « y » mais on ne connaît que « y’ ».

2.2.2.2 Etude descriptive des courbes solutions de l’équation différentielle y'=^y2−1

x2+1 en géométrie dynamique

Dans cette deuxième partie, nous voulons étudier les apports du logiciel Cabri dans l’étude des courbes solutions d’une équation différentielle. Nous cherchons à identifier d’éventuelles évolutions des étudiants dans l’établissement des liens entre les représentants en jeu. Nous supposons que les rétroactions rendues possibles par l’environnement peuvent permettre d’obtenir une description plus fine des courbes solutions, ou d’invalider des conjectures fausses faites en papier/crayon. Nous avons mis en place cette deuxième partie tout de suite après la première partie, sans faire de bilan entre les deux.

Comme nous l’avons explicité au chapitre 1, l’environnement informatique offre différents outils pour l’exploration d’un champ de tangentes, tels que : la manipulation directe et l’outil

Méthodologie de recherche et analyse a priori « Trace ». La manipulation directe permet de montrer de façon perceptible les variations d’un vecteur tangent dynamique. L’inclinaison de ce vecteur rend visible la direction des droites tangentes aux courbes solutions. La possibilité de déplacer continûment le vecteur dynamique sur tout l’écran ne nécessite pas d’interpolations pour connaître la direction des vecteurs tangents (comme c’était le cas en papier/crayon). Par ailleurs, l’utilisation de l’outil « Trace » permet d’avoir un aperçu des courbes solutions. Pour tracer une courbe solution à l’aide de l’outil « Trace », il faut déplacer le vecteur soigneusement. La densité affichée des vecteurs dépend de la vitesse du déplacement du vecteur. Nous considérons que ces rétroactions graphiques du logiciel pourraient contribuer à mettre en évidence l’aspect fonctionnel de y’, de manière à ce que y’ soit identifiée comme dépendante des deux variables x et y. Rappelons que d’après les caractéristiques de l’enseignement traditionnel des équations différentielles, l’on constate que l’approche algébrique ne met en évidence que la nature fonctionnelle de la variable y, en laissant de côté l’étude des caractéristiques fonctionnelles de y’.

Dans cette deuxième partie de la situation, nous avons repris la même équation différentielle, étudiée dans la première partie. Nous avons aussi fait le choix de fournir le champ de tangentes comme fond d’écran, ainsi qu’un vecteur tangent dynamique :

Ouvrir la figure "Activité 1". Sur l'écran s'affiche le champ de tangentes de l'équation différentielley'=^y2−1

x2+1. Le vecteur d'origine Q est déplaçable.

a) Déplacer le point Q et écrire les informations complémentaires sur l'allure de la courbe C1 à partir de ce que vous voyez à l'écran. C1 est la courbe solution qui passe par le point L(-2,-2). b) Le vecteur peut laisser sa trace lorsqu'il se

déplace. Comment l'utiliser pour avoir une idée d'une courbe solution passant par un point donné ?

c) Classer les solutions par paquets, selon leur comportement. Combien de différents paquets on peut obtenir ? Justifier la réponse.

d) Pour chaque paquet de courbes solutions, décrire leur comportement quand x tend vers plus l'infini. Justifier la réponse.

L’objectif des deux premières consignes est de familiariser les étudiants avec l’environnement informatique. Dans ces cas-là, le graphique pourrait fonctionner selon un mode idéogrammatique, s’il est considéré seulement comme un moyen d’obtenir des idées sur le comportement des courbes solution. En revanche, dans les deux dernières consignes nous nous attendons à un usage du graphique sur un mode opératoire. En effet, la demande de justification faite dans les consignes c) et d) rend insuffisantes les informations obtenues à l’aide de l’exploration avec le vecteur dynamique, pour répondre aux questions. Il faut mobiliser des connaissances du domaine des équations différentielles pour interpréter et justifier les comportements graphiques repérés.

La première consigne reprend la dernière question posée en papier/crayon, et elle a pour objectif d’introduire le nouvel environnement de travail. Nous demandons explicitement de déplacer l’origine du vecteur tangent dynamique, et de tirer des informations complémentaires sur les comportements de la courbe C1. La réponse fait appel seulement au registre discursif. La deuxième consigne se trouve aussi dans la phase de familiarisation avec le logiciel, et elle sollicite le recours à l’outil « Trace » pour esquisser des courbes solutions. Elle fait jouer, sous un contrôle perceptif, les aspects locaux/globaux des courbes solutions. Le vecteur dynamique peut être considéré comme une approximation affine locale de la courbe, mais pour avoir un aperçu global de celle-ci, il faut suivre le vecteur dynamique et le déplacer de manière à ce que le trait de la courbe soit fin.

La troisième consigne demande le classement des solutions par paquets, ainsi que sa justification. La réponse à cette consigne requiert la prise en compte de la vue d’ensemble de