Mise en équation différentielle de familles de courbes en papier/crayon

Cette situation s’est inspirée de la deuxième situation de l’année 2003. Elle présente deux familles de courbes (une famille d’exponentielles et une famille de tractrices), et la tâche consiste à trouver l’équation différentielle de ces familles et à justifier la réponse. Les informations graphiques sur les propriétés des familles pouvant conduire à l’équation différentielle, ont été fournies. Afin de faciliter la lecture, nous ferons la description des deux problèmes proposés, en deux parties comportant chacune un problème.

2.3.1.1 Mise en équation différentielle d’une famille d’exponentielles

Dans cette partie, nous avons proposé la mise en équation d’une famille d’exponentielles. Les informations graphiques fournies concernent la propriété graphique d’invariance des sous-tangentes. Le problème proposé a été présenté de la manière suivante :

0 .5

0 .5

ΩC

1) Les figures ci-contre correspondent à la même famille de courbes Ω, la tâche consiste à trouver l’équation différentielle de premier ordre associée à la famille Ω.

Une propriété de la famille de courbes Ω est la suivante : Pour une courbe quelconque de la famille, si TP est la tangente en un point P de la courbe, pour tout point P, la sous-tangente (segment QR) a toujours une longueur constante « k ». 0.5 0 .5 P TP Q R

Expliciter les étapes de calcul conduisant à l’équation différentielle

2) Quels éléments pourriez-vous indiquer pour vous convaincre que l'équation différentielle que vous avez trouvée correspond bien à la famille de courbes Ω ?

Méthodologie de recherche et analyse a priori Le problème est composé de deux consignes précises. La première requiert le procédé mis en œuvre pour arriver à l’équation différentielle, et la deuxième sollicite des arguments pour valider la réponse.

Dans ce problème le registre graphique a été privilégié, mais il fonctionne dans un mode idéogrammatique. Les représentants graphiques fournis ont pour objectif d’illustrer les propriétés graphiques de la famille de courbes.

Les réponses attendues et les connaissances en jeu Première consigne

Pour la consigne : Expliciter les étapes de calcul conduisant à l’équation différentielle, on attend la description de l’ensemble des étapes pour arriver à l’équation demandée. Nous supposons que la mise en œuvre de l’une des deux stratégies considérées dans l’environnement de géométrie dynamique peut conduire à l’équation différentielle y’=y/k recherchée. Rappelons que la stratégie EXP-GRAPH : ED-PEN permet d’obtenir l’équation différentielle à l’aide de la formule de la pente d’une droite, tandis que la stratégie EXP-GRAPH : ED-DT s’appuie sur l’équation de la droite tangente (cf. p. 105). Lors de la présentation de cette activité en environnement informatique, nous avons explicité les étapes pour obtenir l’équation différentielle.

Deuxième consigne

Dans la consigne : Quels éléments pourriez-vous indiquer pour vous convaincre que l'équation différentielle que vous avez trouvée correspond bien à la famille de courbes Ω ?, nous attendons l’explicitation d’argument validant la réponse fournie. Nous supposons que les étudiants pourraient formuler le même type d’arguments que ceux présentés lors de la situation de l’année 2003 (du type RES-ED, fondés sur la résolution algébrique de l’équation différentielle trouvée ; des arguments du type VAL-NUM, fondés sur la confrontation des valeurs numériques de la pente de la droite tangente à la courbe dynamique ; des arguments du type SENS-VAR, fondés sur la mise en relation du sens de variation des solutions et du signe de la dérivée ; des arguments du type VAR-ED, fondés sur l’établissement de liens entre les variables de l’expression symbolique de l’équation différentielle et certaines propriétés graphiques des courbes solutions ; cf. pp. 100-101).

En ce qui concerne les arguments du type VAR-ED, pour l’équation différentielle y’=y/k, il s’agit de prendre en compte la non dépendance de y’ par rapport à la variable x. Ce qui pourrait amener à considérer que pour de points des courbes avec la même ordonnée, la pente de la droite tangente est la même. Cependant, vu les limitations des données graphiques, nous considérons que ce type d’arguments a de faibles probabilités d’apparaître.

2.3.1.2 Mise en équation différentielle d’une famille de tractrices

Dans la deuxième partie de la situation introductoire, nous avons proposé la mise en équation d’une famille de tractrices. Les informations graphiques fournies concernent des propriétés graphiques relatives au segment tangent constant qui caractérise cette famille. Le problème a été formulé dans le même style que dans la première partie :

0 .5 0 .5 P

Q

Une tractrice 3) Soit PQ un segment de longueur

constante « k ». On place le point Q sur l’axe des abscisses d’un repère orthonormé. La courbe décrite par P lorsque Q décrit l’axe des abscisses s’appelle tractrice.

Déterminez l’équation différentielle de la famille de tractrices et explicitez ci-dessous toutes les étapes conduisant à cette équation

0.5 0.5

B

La famille de tractrices

Les étapes conduisant à l’équation différentielle

4) Quels éléments pourriez-vous indiquer pour vous convaincre que l'équation différentielle que vous avez trouvée correspond bien à la famille de tractrices ?

Les réponses attendues et les connaissances en jeu Première consigne

Nous considérons que la mise en œuvre d’une des deux stratégies TRAC-GRAPH : ED-PEN+PITH ou TRAC-GRAPH : ED-DT+PITH (décrites lors de la mise en équation de la famille de tractrices en géométrie dynamique, cf. p. 107) peut conduire à l’équation différentielle 2 2 ' y k y y − − = de la famille de courbes. Deuxième consigne

Concernant la justification de l’équation différentielle trouvée, nous supposons que les mêmes arguments prévus pour l’activité en géométrie dynamique pourraient être formulés (des arguments des types : RES-ED, VAL-NUM, SENS-VAR, VAR-ED, cf. pp. 100-101). Nous considérons aussi que les arguments fondés sur la résolution algébrique sont moins probables, en raison de la complexité de l’expression symbolique des solutions. Par ailleurs, nous prévoyons la formulation d’arguments liant d’autres propriétés graphiques avec l’expression symbolique seulement pour la première famille, comme le fait que la famille soit comprise dans la région du plan limitée par les droites y= -k et y= k.

Méthodologie de recherche et analyse a priori

2.3.2. Association d’un vecteur tangent dynamique et d’une