La justification de l’équation différentielle par les binômes E22/E23, E3/E4 et E1/E2

Nous présentons dans les paragraphes suivants, les arguments proposés par les binômes E22/E23, E3/E4 et E1/E2 pour valider l’équation différentielle trouvée.

Binôme E22/E23

Le binôme E22/E23 élabore des arguments des types RES-ED (fondés sur la résolution algébrique de l’équation différentielle), VAR-ED (fondés sur l’identification de propriétés liées aux courbes solutions par rapport aux variables qui interviennent dans l’expression symbolique de l’équation différentielle) et BRCH-INF-S (fondés sur l’étude des branches infinies des solutions à partir de l’expression symbolique des solutions), pour valider l’équation différentielle trouvée. Nous présenterons par la suite le cheminement suivi par les étudiants pour élaborer ces arguments.

D’abord, dans les échanges ci-après, nous trouvons que le binôme trace la courbe représentative de la solution y=ex et nous remarquons que l’étudiant E22 essaie de la faire bouger. Il semblerait que cet étudiant suppose que toutes les courbes qu’on trace à l’aide du logiciel sont dynamiques. L’étudiant E23 se rend compte que la courbe dynamique semble pouvoir se superposer à cette courbe. Cet essai pour formuler des arguments justifiant l’équation différentielle conduit l’étudiant à mettre en oeuvre une stratégie fondée sur des arguments du type VAR-ED :

E22 : on peut même (… ?) … on pourrait peut-être tracer la courbe « ex

»… et voir si C

passe par la courbe… non ?

(ligne : 273)

E23 : si l’équation… ça veut dire c’est « y = quelque chose fois ex »… Comment on fait, déjà, pour tracer une courbe ? … Je sais plus comment on fait. Il faut montrer les axes… … Attend. Il faut créer un point, je sais pas ... … Comment on fait pour tracer une équation, une droite… si on veut tracer la droite « ex » (… ?)

(ligne : 278) E22 : mais, le problème c’est qu’elle peut pas bouger …

E23 : ah non, c’est bon… on peut trouver, euh … la même courbe E22 : on n’est pas sûr, quoi … …

E23 : eh ben, il faut montrer… On peut faire une … une tangente en un point… et les tangentes seront parallèles… justement

(ligne : 287-290)

E23 : et tu vois, je voudrais faire la tangente, là, et voir si les deux droites, là, sont parallèles…

E22 : mais je sais pas… autant dire que si C appartient à cette droite, c’est bon, quoi… (lignes : 300-301)

Dans les échanges suivants, nous remarquons que l’étudiant E23 conjecture le parallélisme des droites tangentes à des courbes solutions pour les points de la même ordonnée (des arguments du type VAR-ED). L’étudiant E22 ne comprend pas la raison de la stratégie suggérée par E23, ce qui conduit E23 à expliciter plus en détail l’interprétation graphique qu’il fait de l’expression symbolique de l’équation différentielle :

L’expérimentation année 2003

E22 : ça me paraît bizarre de prendre deux points à peu près situés dans le même endroit… et voir si la tangente est parallèle…tu vois ce que je veux dire…

E23 : ah y’=y… l’équation différentielle, donc pour les mêmes points sur « y » tu peux trouver la même pente de la tangente… Tu comprends ? C’est pour ça que je parle de parallèle et du coup, les tangentes devraient être égales…

(lignes : 333-334) Pour s’assurer de l’efficacité de cette stratégie, E23 demande l’avis du professeur :

E23 : on essaie de montrer que les tangentes sont parallèles, pour un même point d’ordonnée égale ou pas ?

P : oui, par exemple

E23 : d’accord… c’est comme ça que… P : ah si, il y a plein de manières

(lignes : 345-348)

Dans les échanges ci-dessous, nous remarquons que le recours au logiciel joue un rôle très important pour vérifier la conjecture formulée par E23. Le lien entre le registre graphique et le registre symbolique semble être favorisé par l’exploration dynamique. Les étudiants cherchent aussi à utiliser l’outil « Appartient ? » de Cabri pour vérifier si le point C de la courbe dynamique appartient aussi aux courbes tracées à partir de l’expression symbolique des solutions. Dans ce cas, cet outil de Cabri ne peut pas être utilisé :

E23 : ah, parce que … ou alors… puisqu’on n’arrive pas à se servir de la commande C « Appartient ?» à la droite… on essaie de montrer que C appartient à ex… Enfin, ou que les deux droites sont confondues, en fait

(ligne : 349)

Comme les étudiants ne trouvent pas à l’aide du logiciel la manière de vérifier que les courbes se superposent, alors ils se limitent à affirmer que les courbes se confondent (cf. fig. 39 ci-dessous). Nous trouvons aussi que le binôme partage avec ses voisins étudiants leur stratégie, fondée sur la vérification des droites parallèles. L’étudiant E22 semble avoir compris cette stratégie :

E22 : tu choisis le point où t’as tracé la tangente. Ensuite tu traces la parallèle à l’axe des abscisses…

E23 : en fait, tu donnes un point qui a la même ordonnée que la (… ?) à la tangente… Voisin : ah (… ?) d’accord

E23 : (… ?) T’as le point sur la courbe, et il faut que les tangentes soient parallèles à la (… ?)

Voisin : d’accord

(lignes : 420-424)

Finalement, dans la fiche de réponses (fig. 39 ci-après) le binôme explicite les arguments (des types RES-ED et VAR-ED) qui valident l’équation différentielle trouvée :

Fig. 39 : Des arguments justifiant l’équation différentielle (binôme E22/E23)

La quatrième question requiert explicitement d’utiliser le logiciel pour valider l’équation différentielle obtenue. Pour le binôme, il s’agit de la même question que précédemment, et ils explicitent un peu plus la stratégie mise en œuvre dans l’élaboration des argument des types RES-ED et VAR-ED lors de la question précédente (cf. fig. 40 suivante) :

Fig. 40 : Des arguments justifiant l’équation différentielle (binôme E22/E23)

La dernière question demandait d’expliciter des propriétés mathématiques de la courbe dynamique, permettant de confirmer qu'on avait trouvé la bonne équation. Pour E22, un argument pour confirmer la validité de l’équation est la cohérence graphique perceptive entre le comportement en moins l’infini de la courbe représentative de la solution ex

, et le comportement graphique de la courbe dynamique. Le lien établi dans ce cas, entre le registre graphique des solutions et le registre symbolique de l’équation différentielle, passe par l’expression symbolique des solutions; il s’agit d’un argument du type BRCH-INFI-S (étude des branches infinies, à l’aide de l’expression symbolique des solutions) :

L’expérimentation année 2003 E22 :… on peut dire que la limite d’exponentielle en moins l’infini, c’est 0… et ça se voit, alors…

(ligne : 464)

Finalement, dans la fiche de réponses (fig. 41 ci-dessous) nous trouvons que la solution ex est prise par le binôme comme représentative de toute la famille de solutions :

Fig. 41 : Des arguments justifiant l’équation différentielle (binôme E22/E23)

Binôme E3/E4

Dès que le binôme a obtenu l’équation différentielle y’=y, il la résout. Dans la fig. 42 ci-dessous, nous présentons la procédure mise en œuvre par ce binôme pour obtenir la solution. Nous remarquons aussi les traces de la mise en œuvre du théorème en acte TA2 (les courbes d’une famille ont toutes une même forme graphique), ce qui amène les étudiants à conclure qu’il s’agit de deux familles d’exponentielles :

Fig. 42 : Résolution algébrique de l’équation différentielle par le binôme E3/E4

En ce qui concerne l’explicitation d’arguments prouvant que la bonne équation a été trouvée, le binôme tente de les formuler selon deux types différents. L’un, concernant des arguments du type RES-ED (fondés sur la résolution algébrique de l’équation différentielle), mais sans faire de vérifications à l’aide du logiciel. L’autre, fondé sur l’association erronée entre une propriété de parité et l’expression symbolique de l’équation différentielle. Pour ces étudiants, l’expression symbolique de l’équation différentielle y’=y correspond aux fonctions paires. Nous trouvons dans les échanges ci-dessous les traces de ces deux types d’arguments :

E4 : alors, [en lisant] « quels éléments pourriez-vous indiquer pour vous convaincre que l’équ... »… bah

(ligne : 440) E4 : qu'elle est paire …

E3 : si tu fais mon raisonnement là, selon le cas, ça marche … E4 : ça te dit qu'elle est paire, déjà ?

E3 : ouais

E4 : tu dis qu'elle est paire et puis aussi, si tu veux … on l'a résolue, on l'a résolue … on avait la forme générale des solutions, et on voit bien que la forme générale des solutions correspond avec l'ensemble des courbes

E3 : ouais

E4 : on met les deux trucs ? E3 : ouais...

(lignes : 442-449)

Pour vérifier la parité supposée de l’expression symbolique de l’équation différentielle, les étudiants la traitent algébriquement comme s’il s’agissait de l’expression symbolique d’une fonction numérique d’une variable. Le binôme ne s'aperçoit pas que les informations fournies par l’expression symbolique de l’équation différentielle, sont des informations sur la dérivée des solutions :

E4 : ah, non, mais c'est la solution qui est paire, pas l'équation... il n'y a que les solutions qui sont paires

E3 : ouais

E4 : tu laisses, euh, on peut vérifier qu'elle est paire, que les solutions sont paires... (lignes : 455-457) E4 : si, on a y' (-x) = …

(ligne : 461) E4 : en fait, ouais... on joue spécialement avec la parenthèse, on voit plus avec…

(ligne : 463)

Les étudiants n’arrivent pas à gérer les difficultés apparues lors du traitement de l’expression symbolique de l’équation différentielle. Ils essaient d’avoir l’avis du professeur sur ce sujet :

E3 : ah … moi, j'en (… ?) pour montrer qu'elle était paire, en fait y'=y, enfin que quand on a y'=y alors, ça donne une équation paire. En disant que si on a y'(-x) ça fait pas supposer que y'(-x) = y(-x)

P : hum…

E3 : si on suppose y(x), et ça y(x) ça c'est bien... y'(x) P : oui, mais en fait, ici …

E4 : moi, ça me pousse à dire qu’on sait résoudre une équation de cette forme-là P : oui.

E4 : donc, on a les solutions P : voilà !

E4 : et on a les solutions... et on (parle des) solutions

P : voilà, je pense que tu n’avais pas raison parce qu'ici, et en plus, c'est pas vrai, ça… (lignes : 476-484)

Suite aux remarques du professeur, le binôme abandonne cette stratégie. Dans la fiche de réponses, les arguments fournis pour justifier l’équation différentielle de la famille de courbes ne concernent que la vérification graphique perceptive de la superposition des courbes (arguments du type RES-ED) :

L’expérimentation année 2003

Fig. 43 : Des arguments justifiant l’équation différentielle (binôme E3/E4)

La dernière question demandait d’expliciter des propriétés mathématiques de la courbe dynamique confirmant avoir trouvé la bonne équation. Le binôme identifie la symétrie de la famille de courbes par rapport à l’axe Ox. Nous trouvons dans les échanges ci-dessous que les étudiants relient la parité supposée de l’expression symbolique de l’équation différentielle à la symétrie de la famille de courbes :

E4 : (…?) plutôt la symétrie par rapport à l'axe...

E3 : ah, ouais, mais il n'y a pas de signe... ah, oui, on avait dit que l’on aurait en... euh (…?) …

E4 : il y a encore ? qu'est-ce que je peux mettre (…?) propriété mathématique ? E3 : ouais... la parité

E4 : et à part ça ?

E3 : mais, c'est même pas la parité, en plus E4 : je mets symétrie, par rapport à Ox E3 : oui, voilà

E4 : on ne met que ça ?

E3 : ah, oui, c’est ça... … ça, tu l'aimes pas trop?

(lignes : 512-521)

Finalement, le binôme abandonne l’idée de la parité et se limite à écrire que la famille de courbes est symétrique par rapport à l’axe des abscisses (cf. fig. 44 ci-dessous), sans le justifier :

Fig. 44 : Des arguments justifiant l’équation différentielle (binôme E3/E4)