La mise en place du dispositif expérimental
3.2.2. Etude descriptive des courbes solutions de l’équation différentielle y'=y2−1différentielle y'=y2−1
x2+1 en géométrie dynamique
L’objectif de cette deuxième partie est d’étudier les apports du logiciel Cabri, dans cette situation d’association de représentants d’objets du domaine des équations différentielles. Nous nous sommes intéressés à identifier si l’environnement de géométrie dynamique permet d’éventuelles évolutions dans l’établissement des liens, entre les représentants en jeu.
Rappelons les tâches que nous avons proposées :
Ouvrir la figure "Activité 1". Sur l'écran s'affiche le champ de tangentes de l'équation différentielley'=y2−1
x2+1. Le vecteur d'origine Q est déplaçable.
a) Déplacer le point Q et écrire les informations complémentaires sur l'allure de la courbe C1 à partir de ce que vous voyez à l'écran. C1 est la courbe solution qui passe par le point L(-2,-2).
b) Le vecteur peut laisser sa trace lorsqu'il se déplace. Comment l'utiliser pour avoir l'idée d'une courbe solution passant par un point donné?
c) Classer les solutions par paquets, selon leur comportement. Combien de paquets différents peut-on obtenir? Justifier la réponse.
d) Pour chaque paquet de courbes solutions, décrire leur comportement quand x tend vers plus l'infini. Justifier la réponse.
Nous présentons dans les pages suivantes, l’analyse des productions des trois binômes. Ces analyses ont été réalisées autour des observables obtenus dans les réponses aux consignes : Les informations complémentaires sur le comportement de la courbe C1 ; L’outil Trace comme une aide pour avoir une idée de l’allure des courbes solutions ; Le classement des courbes solutions par paquets et sa justification ; Prévision du comportement des courbes solutions en plus l’infini et sa justification.
Première question : Les informations complémentaires sur le comportement de la courbe C1
Binôme E22/E23
D’abord, les étudiants considèrent que le fait d’avoir un ordinateur leur permettra de connaître directement les courbes solutions de l’équation différentielle. Le professeur leur explique qu’il s’agit de faire presque le même travail qu’en papier/crayon, mais qu’à la différence de celui-ci on dispose dans cet environnement d’un vecteur dynamique, qui devra être déplacé pour avoir des informations complémentaires sur la courbe.
Le premier constat des étudiants est que le vecteur tangent dynamique donne un sens pour parcourir la courbe C1 :
E23 : … ah, mais là… l’info complémentaire, c'est le sens… parce que tout à l'heure, on ne savait pas si elle venait de là et qu'elle faisait comme ça …
(ligne : 303)
Le déplacement du vecteur dynamique leur permet d’identifier les différents comportements des courbes solutions, et de confirmer ou invalider perceptivement quelques conjectures formulées lors du travail en papier/crayon. Par exemple, les étudiants se rendent compte que la courbe C1 qu’ils ont tracée en papier/crayon (cf. fig. 11) n'était pas correcte, qu'elle ne
L’expérimentation année 2003 coupait pas la droite y=-1 et qu'elle s’approchait asymptotiquement de la courbe mais au-dessous :
E23 : donc, tu vois là … ce qu’on a mis, c’était faux
(ligne : 309) E23 : ça converge pas, ça fait comme ça, en fait
E22 : voilà !
E23 : là, ça fait comme ça et là ça fait bien comme ça E22 : ah ouais, tu l’as de ce côté
E23 : ça par là…
(lignes : 311-315)
L’exploration de la courbe C1 à l’aide du vecteur dynamique confirme aux étudiants la conjecture « la courbe admet par asymptote la droite y=-1 » :
E23 : ça nous indique…comme tout à l'heure qu’en fait … elle admet y = -1 comme asymptote, puisque elle va bien dans ce sens-là
E22 : oui, mais on voit … même, si on allait dans ce sens-là, la courbe serait aussi l'asymptote, ça dépend pas du sens, l'asymptote, ça dépend …
E23 : oui, mais ça convergerait pas, ça divergerait
(lignes : 335-337)
Dans la figure 21 ci-dessous, nous montrons un extrait de la fiche de réponses des étudiants. Nous remarquons qu’ils ne différencient pas courbe et fonction :
Fig. 21 : Des informations complémentaires sur le comportement de la courbe C1 identifiées par le binôme E1/E2, grâce à l’exploration en géométrie dynamique
Binôme E3/E4
Ce binôme, presque dès le début du travail en géométrie dynamique, a utilisé l’outil « Trace » de Cabri. Des difficultés concernant l’instrumentation de cet outil sont apparues2 et ont pris beaucoup de temps, donc les étudiants sont passés très rapidement sur cette question. Cependant, quelques explorations effectuées à l’aide du vecteur dynamique leur permettent de se rendre compte que quelques courbes tracées ne sont pas correctes :
E3 : oui, on voit déjà qu’elles ne sont pas toutes horizontales …
(ligne : 213)
Les étudiants confirment aussi certaines de leurs conjectures sur le comportement des courbes :
E3 : … on voit que ce qu’on a fait c’est pas trop bête, en fait, si tu regardes… tu montes, tu montes, tu montes… et là c’est bien ça, regarde … parce que là … tu fais tourner là … tu continues un peu à monter… mais quand tu descends, euh … tu montes aussi mais (… ?) pas
E4 : et là … elles font (… ?)
2
Des difficultés relatives au choix de l’objet dont on veut obtenir la trace. Au lieu de choisir le vecteur, ils choisissaient l’origine du vecteur. Des difficultés pour annuler l’outil « Trace ».
E3 : là, c’était … euh … (… ?) elle doit y avoir un point d’inflexion (… ?) là tu (… ?) … donc… alors, à partir de (… ?) … là, tu montes, tu montes …
(ligne : 217-219)
L’exploration est faite rapidement et les étudiants ne trouvent pas d’autres informations sur la courbe C1. Finalement, dans la fiche de réponses (fig. 22 ci-dessous) ils écrivent :
Fig. 22 : Des informations complémentaires sur le comportement de la courbe C1 identifiées par le binôme E3/E4, grâce à l’exploration en géométrie dynamique
Binôme E1/E2
Pour ce binôme, le travail exploratoire à l’aide du logiciel confirme seulement ce qui a été fait en papier/crayon. Ils ne trouvent pas d’autres informations relatives au comportement de la courbe C1 :
E2 : est-ce que la courbe C1… est-ce qu’elle va vraiment en … est-ce qu’elle va finir là-bas, quoi… essaye de voir ça
E1 : par exemple, oui … si elle devient affine pour commencer … ben, si c’est bien … (lignes : 276-277) P : vous avez le même résultat qu’à la main …
E1 : ah oui … ça se voit pas, la différence …
(ligne : 324-325)
E1 : comme ça on fait des courbes… alors je vois la confirmation de ce qu’on a vu … de ce qui a été tracé à la main …
(ligne : 342) Dans la fiche de réponses (fig. 23 ci-dessous) le binôme écrit :
Fig. 23 : Des informations complémentaires sur le comportement de la courbe C1 identifiées par le binôme E1/E2, grâce à l’exploration en géométrie dynamique
Conclusion
De façon générale, dans cette première confrontation des étudiants avec le logiciel, l’exploration dynamique confirme ce qu’ils ont trouvé en papier/crayon. Dans l’analyse a priori, nous avons supposé que pour les étudiants ayant eu des difficultés pour décrire la courbe C1 en papier/crayon, le déplacement du vecteur dynamique pouvait les conduire à mettre en cause des conjectures fausses. Pour ces étudiants-là, nous avons trouvé qu’effectivement le recours au logiciel pouvait aider à une meilleure reconnaissance perceptive du comportement de la courbe. Le binôme E22/E23 a identifié que la courbe C1 ne coupait pas la droite y=-1 et qu’elle se trouvait au-dessous de celle-ci. En ce qui concerne le binôme E3/E4, les rétroactions graphiques du logiciel semblent mettre en cause quelques-unes des courbes tracées, mais en raison du temps limité, il n’a pas passé plus de temps à l’exploration.
L’expérimentation année 2003
Deuxième question : L’outil « Trace » comme aide pour avoir une idée de l’allure des courbes solutions
Dans la deuxième question, nous nous attendions à ce que le recours à l’outil « Trace » de Cabri apporte des informations graphiques liées au comportement des courbes solutions, permettant d’une part, de favoriser le développement du lien entre les variations du vecteur dynamique et la nature fonctionnelle de l’expression symbolique de l’équation différentielle et d’autre part, de favoriser le développement d’un point de vue local sur les courbes solutions.
Binôme E22/E23
De la part des étudiants, un premier constat est que pour avoir une idée de la courbe solution qui passe par un point donné, il faut déplacer et suivre soigneusement le vecteur d’origine Q, et aussi qu'on ne peut pas déplacer le vecteur n’importe comment :
E23 : (… ?) tu fait pas comme il faut, regarde, (… ?) tu mets là, la flèche elle va là, donc, tu vas jusqu'à là…stop, non mais arrête-toi là… petit à petit, après tu viens jusqu'à mon doigt, avec ton origine de Q au sommet… enfin, voilà, après tu vois à chaque fois, si tu veux tout faire, euh … ton origine du vecteur tu le places à chaque fois sur la flèche… et à chaque fois
(ligne : 365) E22 : non, mais regarde, c’est (… ?) regarde… alors je vais où ?
E23 : en haut… à la flèche là, après à la flèche …
(lignes : 368-369) E22 : le vecteur d'origine Q nous donne … (… ?) on va mettre direction
E23 : et un sens… c’est important de le mettre là, je pense
E22 : et un sens, que l'on suit au fur et à mesure que le vecteur progresse E23 : voilà, très bien …
(lignes : 394-397)
Nous remarquons que même si les descriptions des courbes continuent d’être très dépendantes des données graphiques disponibles, l’usage de l’outil « Trace » pour esquisser une courbe solution requiert la prise en compte des variations du vecteur lors de son déplacement, ainsi que le besoin de suivre sa direction pour avoir un trait fin. Ces constats perceptifs amènent les étudiants à faire des petites évolutions qui permettent de relier les courbes solutions avec la droite tangente, comme les échanges ci-dessous en témoignent. L’exploration à l’aide du vecteur dynamique et de l’outil « Trace » conduit à ce que la tangente soit vue localement comme une approximation affine de la courbe. Rappelons que ce binôme, lors du tracé des courbes en papier/crayon, ne considérait pas les petits segments de droite tangente comme un élément de contrôle :
E23 : parce qu’en fait, le vecteur, ça donne la tangente à la courbe et comme c’est très près … on a tangente
E22 : voilà
E23 : ça (… ?) on voit bien
E22 : la tangente s'approche de la courbe …
(lignes : 401-404)
Finalement, dans la fiche de réponses (fig. 24 suivante), le binôme décrit son utilisation de l’outil « Trace » permettant d’avoir une idée d’une courbe solution associée à l’équation différentielle :
Fig. 24 : L’utilisation de « Trace », par le binôme E22/E23, pour tracer des courbes solutions
Binôme E3/E4
Après quelques explorations, à l’aide du déplacement du vecteur dynamique et de l’outil « Trace », les étudiants trouvent la question très simple, et ils ne discutent pas beaucoup là-dessus. Dans la fiche de réponses (fig. 25 ci-dessous), ils explicitent la procédure qu’ils ont identifiée pour tracer les courbes. Cette procédure n’est pas très différente de celle que le binôme a mise en œuvre en papier/crayon. Le binôme n’arrive pas à interpréter localement les rétroactions graphiques du logiciel :
Fig. 25 : L’utilisation de « Trace », par le binôme E3/E4, pour tracer des courbes solutions
Binôme E1/E2
Le binôme E1/E2 s’aperçoit qu’en géométrie dynamique, le tracé des courbes doit prendre en compte la sensibilité du vecteur aux variations de x et de y :
E1 : ben, on essaie de faire, euh … de tracer une courbe là qu’on (… ?) dans la (… ?) la plus ... la plus fine possible… fine, quoi
E2 : la plus … euh … oui, voilà … … en suivant le … en essayant de respecter le … le moindre … la moindre variation de … la variation la plus légère des tangentes …
E1 : oui, oui
(lignes : 350-352)
Nous remarquons que pour ces étudiants, les rétroactions de l’environnement informatique permettent d’élaborer des arguments à partir des données graphiques qui sont liées aux connaissances du domaine des équations différentielles. Par exemple, le binôme estime que pour esquisser une courbe solution, le déplacement du vecteur doit se faire en prenant en compte certains éléments de contrôle :
E2 : … en évitant en fait de générer des vecteurs parallèles, c’est ça E1 : ouais
(lignes : 355-356)
E2 : là par exemple, tu peux déplacer … un petit peu par là … donc (… ?) un peu, je dirais, on peut faire revenir et puis … parce que normalement il n’y a pas de vecteur parallèle … euh … enfin, du point donné parce que sinon ça veut dire que … t’as… t’as quelque chose de courbe … forcément … (… ?) tend vers ça … parce que si on a d’autres courbes …
(ligne : 359)
Dans la figure 26 ci-contre, nous montrons ce que le binôme tente d’éviter : lorsqu’on déplace le vecteur sans suivre une courbe solution, la trace laissée par le vecteur dynamique semble être constituée par des vecteurs parallèles :
L’expérimentation année 2003
(y^2-1)/(x^2+1) Equation différentielle :
y'=
Taille Vecteur Tangent = 0,8
0.5 0.5
Q
L
Fig. 26 : Un élément de contrôle du binôme E1/E2 pour le tracé de courbes
Les rétroactions graphiques du logiciel permettent au binôme de conclure que l’affichage de vecteurs parallèles est un constat perceptif de l’existence de courbes différentes. Dans ce cas, une connaissance théorique sur l’unicité des solutions d’une équation différentielle permet aux étudiants de contrôler le comportement graphique des courbes solutions :
E1 : sont deux courbes différentes … tu as raison, tu as raison … parce qu’on a le dessin, tu vois, le tableau là … M0 et M1 appartiennent à deux courbes différentes …
E2 : M0 et M1 ? oui … mais on peut imaginer que … on peut imaginer que … on est … regarde… on va voir si ce serait pas vrai … ça c’est pas … ça change toujours, la pente … elle change toujours …
(lignes : 376-377)
E2 : et c’est (… ?) c’est … ce qu’on voit là … c’est que le fait de déplacer en « x » … en fait, si je déplace uniquement en « x » … je peux pas avoir autre chose qu’une pente … une pente nulle … en fait c’est ça … ben, parce que … si la courbe … si par exemple deux points sont sur … si on me déplace comme ça latéralement… et que je passe d’un point à l’autre … et que j’ai les vecteurs qui sont comme ça … euh … c’est forcément deux courbes différentes
E1 : oui, c’est ça
E2 : en revanche … la seule possibilité qui soit sur la même courbe solution, c’est que … la tangente soit … [phrase inachevée]
(lignes : 383-385)
Finalement, dans la fiche de réponses (fig. 27, ci-dessous) les étudiants explicitent comment se servir de l’outil « Trace » pour esquisser des courbes solutions. Nous identifions les traces de la mise en œuvre de connaissances théoriques relatives à l’unicité des solutions :
Fig. 27 : L’utilisation de « Trace », par le binôme E1/E2, pour tracer des courbes solutions
Conclusion
Dans l’analyse a priori, nous avons prévu que l’exploration des courbes solutions à l’aide de l’outil « Trace » pouvait conduire à la prise en compte des informations locales de celles-ci comme un élément de contrôle pour le tracé et la description des solutions. Nous avons supposé que les rétroactions visuelles du logiciel, lors du déplacement du vecteur dynamique, pourrait favoriser la mise en œuvre des connaissances des cadres en jeu (fonctions, analyse, équations différentielles, etc.) pour interpréter mathématiquement les faits graphiques, comme celles qui permettent d’interpréter une droite tangente comme une approximation affine locale des courbes (connaissances C7). A partir du travail des binômes E22/E23 et E1/E2, nous trouvons que le recours à l’outil « Trace » de Cabri peut permettre des apports à différents niveaux :
• pour les étudiants ayant eu des difficultés lors du tracé de courbes en papier/crayon : le recours à l’outil « Trace » peut susciter des petites évolutions pour relier les représentants graphiques en jeu. L’exploration faite par le binôme E22/E23 l’amène à établir un lien entre les droites tangentes et les courbes solutions, où les droites tangentes sont considérées comme des approximations affines locales (connaissances C7) des courbes solutions, ce qui n’a pas été le cas en papier/crayon ;
• pour les étudiants sans difficulté en papier/crayon : il peut favoriser la mise en relation des faits graphiques avec des connaissances sur les équations différentielles. Le binôme E1/E2 met en œuvre des connaissances théoriques sur l’unicité des solutions pour contrôler le comportement graphique des courbes solutions.
Troisième question : Le classement des courbes solutions par paquets et sa justification
Dans l’analyse a priori, nous avons identifié deux classifications possibles pour le comportement des courbes solutions : la première qui prend en compte le sens de variation des fonctions solutions, et la deuxième qui considère la courbure.
Binôme E22/23
Le binôme arrive à la même classification que celle faite en papier/crayon. Il identifie trois paquets de courbes solutions, celles comprises dans les régions : y>1, -1<y<1 et y<-1. La description de ces paquets a lieu dans le registre discursif, en s’appuyant seulement sur les données graphiques disponibles.
Les étudiants essaient de justifier le comportement des courbes solutions, mais ils se heurtent à plusieurs difficultés. Comme nous l’avions prévu, il y a une source de difficultés dans le fait de ne pas compter avec l’expression symbolique de l’équation différentielle. Le binôme ne trouve pas le moyen d’interpréter les comportements des courbes en termes de dérivée des fonctions solutions. Les échanges ci-dessous montrent que l’absence d’expressions symboliques pour les solutions est un obstacle considérable pour les étudiants. Par contre, ceux-ci font appel à des connaissances du cadre de l’analyse liées à ce type de comportements lorsqu'on connaît explicitement les fonctions :
E23 : une asymptote euh … déjà une asymptote, ça dit pas si c’est dessous ou au-dessus pour savoir si « f » est au-dessous ou au-au-dessus « g » tu fais la limite
L’expérimentation année 2003 E22 : non, tu fais (… ?), tu regardes le signe de (… ?) g
E23 : oui, voilà … là on sait que c’est y=-1 mais là, tu sais pas les équations des solutions (lignes : 462-464)
Le binôme se trouve démuni pour justifier ces comportements avec les données disponibles. Donc il tente de mettre en œuvre une autre stratégie, qui essaie de faire fonctionner des connaissances du cadre des systèmes différentiels :
E22 : attend, pourquoi ça serait… … pourquoi c’est (… ?) elle resterait au-dessous ? Pourquoi est-ce que toutes les autres resteraient au-dessous… au dessus et au milieu ? E23 : (… ?) c’est pas assez simple (… ?) la dérivée, et c’est les points (… ?) d’équilibre, parce que c’est des points d’équilibre… c’est ça, tu te rappelles, on pourrait avoir … les points, on cherchait des points qui annulent la dérivée
(lignes : 473, 474)
E22 : en plus … en plus (… ?) pourquoi, parce là on cherche pas un point, c’est une fonction y=1, c’est pas un point (… ?) que je (… ?)
E23 : dans tous les points, quel que soit x E22 : ouais, qui font y=-1
E23 : on peut avoir des droites d’équilibre ?
(lignes : 491-494)
Finalement, les étudiants n’arrivent pas à élaborer une justification du comportement des courbes solutions de l’équation différentielle. Dans la fiche de réponses, ils décrivent les différents paquets de courbes solutions repérés, sans justification. De plus, ils répondent à la question posée par le professeur sur la possibilité pour les courbes de se croiser :
Fig. 28 : Classement des courbes solutions par paquets, d’après le binôme E22/E23
Binôme E3/E4
Lors du travail en papier/crayon, ce binôme a eu de réelles difficultés pour tirer des informations sur le comportement des courbes solutions. Comme nous le constaterons, le travail dans l’environnement informatique a permis à ce binôme de faire de légers progrès par rapport à la description du comportement des courbes solutions, cependant qu'au niveau de la justification de nombreuses difficultés persistent.
Dans un premier temps, les informations graphiques tirées de l’exploration à l’aide du logiciel permettent aux étudiants de classer les solutions en quatre paquets (les solutions constantes et les solutions comprises dans les régions : y<-1, -1<y<1, y>1), et d'identifier aussi des points d’inflexion pour certaines courbes :
E4 : alors, y supérieur à 1… y entre -1 et 1
(lignes : 306)
E4 : …moi je vois 2 points d’inflexion … un par là E3 : et elles font ça …
E4 : je ne sais pas, je vois pas un truc comme ça, moi, je (… ?) mais … … alors, elles sont très, très loin… en plus, ça
E4 : (… ?) là, il y a des plus comme ça … …
(lignes : 311-314) E4 : on a 4 …
P : c’est quoi, les paquets ?
E4 : on a des trucs de forme exponentielle, comme ça, au-dessus P : oui
E4 : (… ?) y=1 … ensuite y=1 et y=-1 (… ?) droites … (… ?) au milieu on a des … avec 2 points d’inflexion … et puis au-dessous, on a des trucs avec un point d’inflexion, en fait …
(lignes : 322-326)
Alors que les étudiants explorent les différentes formes des courbes à l’aide du vecteur dynamique, les descriptions qu’ils en font sont pourtant très fortement liées aux données tirées de l’exploration graphique. Le rapport avec les connaissances du domaine des équations