La mise en place du dispositif expérimental
3.1.4. Quatrième partie du questionnaire
Dans la dernière partie du questionnaire, nous cherchons à savoir si les étudiants sont capables de tirer des informations sur le comportement d’une courbe solution, à partir de l’expression symbolique explicite d’une équation différentielle, ainsi que d’approcher numériquement l’ordonnée d’un point. La question posée aux étudiants a été :
4) On considère l'équation différentielle y'=y2-x. Si C est la courbe associée à la solution de l'équation qui passe par le point M(-2,1), décrire le comportement de C au voisinage du point M. Donner une valeur approchée de l'ordonnée du point N de C qui a comme abscisse x=-1,5.
Le Tableau 10, en page suivante, donne un aperçu général des réponses de l’ensemble des étudiants :
Type de réponse Effectif Commentaires
Sans réponse 43/56 E25 : trace seulement le point M Essai de résolution
algébrique de l’équation différentielle
6/56 E1, E18, E24, E25, E54 : résolution algébrique (fausse) incomplète
E19 : résolution algébrique (fausse) complète, avec essai d’approcher l’ordonnée de N par substitution de la valeur de l’abscisse dans la solution
Description acceptable de la courbe (sans dessin ni valeur approchée de l’ordonnée de N)
2/56 E5 écrit : « au voisinage de M, y2
-x>0 => y’>0 donc y va être croissante au voisinage de M »
E31 écrit : « M(-2,1), xM = -2, yM=1, yM 2
-xM=1+2=3=y’≥0 dc C croissante en le voisinage. N x=-1,5 »
Dessin acceptable avec l’ordonnée approchée (sans commentaire et sans expliciter la procédure pour approcher l’ordonnée)
2/56 E8 trace une courbe avec un vecteur tangent d’origine M et il écrit « en M, y’=1-(-2)=3 ; yN=2.5 »
E9 trace une courbe avec un vecteur tangent d’origine M et il écrit « au point M(-2,1), on a y’=y2
-x =3 donc N(-1,5 ;2.5) »
Réponses isolées 3/56 E20 écrit : « y’=1-2=-1, pente -1 » (sans dessin ni valeur approchée de l’ordonnée de N)
E22 écrit : « M est solution de (E) donc yM ’
=(1)2-(-2)=1+2=3 »
(sans dessin ni valeur approchée de l’ordonnée de N) E37 écrit : « yM
’
=1-(-2)=3 Æ C a pour pente +3 en (-2,1). Au voisinage de N, C a à peu près +3 pour pente dc 3=y2+1.5 => y2=1,5 => y2=±√1,5. Après, il faut voir que C est croissante près de M et que yN=1 dc y≈+√1,5 » (sans dessin)
Tableau 10 : Réponses de l’ensemble des étudiants sur la description locale d’une courbe solution
à partir de l’expression symbolique de l’équation différentielle
La plupart des étudiants (43 sur 56) ne répondent pas à la question. De façon générale on peut dire que les étudiants ne disposent pas des connaissances C6, ces connaissances permettant de lier l’expression symbolique de l’équation différentielle avec les pentes des droites tangentes. Une petite partie des étudiants (13 sur 56) essaye de répondre à la question. Parmi les étudiants, presque la moitié de ce groupe (6 sur 13) mobilisent une stratégie de résolution algébrique pour l’équation différentielle. Il semblerait que ces derniers considèrent que toute équation différentielle est résoluble par l’approche algébrique. Nous remarquons que deux étudiants seulement font intervenir le registre graphique.
Nous avons classifié les quatre réponses jugées acceptables, en deux types :
• le premier type (réponses des étudiants E5 et E31) contient seulement la description du comportement de la courbe en termes de sens de variation de la solution qu’elle représente. Cette description est faite dans le registre discursif et n’inclut ni dessin de la courbe, ni valeur approchée de l’ordonnée du point N.
Ce type de réponse met en œuvre les connaissances C6 pour obtenir la pente de la droite tangente au point M, ainsi que les connaissances C5 pour interpréter le sens de variation de la solution à partir du signe de la dérivée. En revanche, l’absence de réponse de la valeur approchée de l’ordonnée de N témoigne de la non- disponibilité
L’expérimentation année 2003 des connaissances C7, ces connaissances permettant d’envisager l’approximation affine locale d’une courbe par sa droite tangente ;
• Le deuxième type de réponse acceptable (réponses des étudiants E8 et E9) contient le dessin d’une courbe représentative d’une fonction croissante ainsi que la valeur approchée de l’ordonnée du point N.
Ce type de réponse met en œuvre les connaissances C6 pour obtenir la pente de la droite tangente au point M. Il fait intervenir aussi les connaissances C5 pour tracer une courbe solution représentative d’une fonction croissante, même si cela n’est pas explicité dans le registre discursif.
En ce qui concerne l’obtention de la valeur approchée de l’ordonnée du point N, compte tenu du fait que les étudiants n’ont pas explicité une procédure pour l’obtenir, nous supposons qu’ils se sont appuyés sur l’information graphique tirée des dessins tracés. Cette lecture de graphique demande la mise en fonctionnement des connaissances C7, qui permettent de percevoir localement une courbe comme approchée par sa droite tangente au voisinage d’un point.
En ce qui concerne les réponses isolées :
• l’étudiant E20 met en œuvre les connaissances C6 pour obtenir la pente de la droite tangente (la valeur qu’il obtient est erronée). Pourtant, il n’arrive pas à l’interpréter en termes de sens de variation de la solution. Ce qui démontre qu’il ne dispose pas des connaissances C5 ;
• l’étudiant E22 paraît supposer que la question posée concerne le cadre de l’algèbre. Pour cet étudiant, l’équation différentielle est une équation où les inconnues sont des points. Dans ce cas, il considère que le point M donné est une solution de l’équation, alors ses coordonnées satisfont à l’équation différentielle. Selon toute apparence, l’étudiant ne trouve pas de lien entre la valeur numérique obtenue par la substitution des coordonnées dans l’équation, et la dérivée ;
• l’étudiant E37 mobilise les connaissances C6 et C5, il obtient la pente de la droite tangente et interprète le comportement de la solution en termes de sens de variation de celle-ci, à partir du signe de la dérivée. Pourtant, pour obtenir la valeur approchée de l’ordonnée du point N, il utilise directement l’expression symbolique de l’équation différentielle. Ce qui montre que la dernière expression est perçue comme s’il s’agissait de l’expression symbolique des solutions. L’étudiant n’arrive pas à différencier ces deux expressions symboliques.
Conclusion
L’analyse a posteriori du questionnaire, dans sa mise en rapport avec l’analyse a priori, nous apporte des informations intéressantes sur la disponibilité des connaissances des étudiants sur les équations différentielles, ainsi que sur les difficultés rencontrées pour faire les liens inter- cadre et inter- registre dans ce champ conceptuel.
Dans la première partie, nous avons demandé l’avis des étudiants de CAPES sur des notions générales concernant les équations différentielles. Nous avons prévu dans l’analyse a priori que même si les étudiants ne se rappelaient pas les définitions précises, ils pourraient mettre en relation ces notions avec des notions voisines. Les réponses fournies nous montrent qu’ils ont des connaissances générales sur les équations différentielles :
• environ 52% des étudiants (29 sur 56) arrivent à définir une équation différentielle comme une équation faisant intervenir une fonction inconnue et ses dérivées ;
• environ 66% des étudiants (37 sur 56) identifient les solutions d’une équation différentielle avec des fonctions. Pourtant, seulement 35% de ces étudiants (13 sur 37) considèrent que les solutions d’une équation différentielle constituent une famille de fonctions ;
• environ 77 % des étudiants (43 sur 56) savent que les équations différentielles servent à modéliser des phénomènes divers.
Dans les trois dernières parties du questionnaire, nous cherchions à étudier les capacités des étudiants de mettre en œuvre spontanément des connaissances élémentaires des cadres des fonctions et de l’analyse, pour effectuer des passages entre registres de représentation. Nous avons trouvé les résultats suivants :
• la presque totalité des étudiants (52 sur 56) n’a pas été capable d’établir un lien du registre graphique vers le registre symbolique, dans le cas de l’association d’une équation différentielle au champ de vecteurs parallèles donné. Cela atteste que des connaissances comme celles permettant d’interpréter la pente des vecteurs en termes de dérivée (connaissances C6), ne sont pas disponibles chez ces étudiants ;
• la presque totalité des étudiants (51 sur 56) n’arrive pas à déduire la valeur numérique de y’ à partir de y’=f(x,y) lorsqu’une valeur numérique de f(x,y) est donnée (sans que l’expression symbolique f(x,y) soit donnée) pour tracer un dessin local d’une courbe solution. Des connaissances sur le sens de variation d’une fonction à partir du signe de la dérivée (connaissances C5) ne sont pas disponibles chez ces étudiants ;
• la presque totalité des étudiants (52 sur 56) ont été incapables de décrire localement, à partir de l’expression explicite d’une équation différentielle, le comportement d’une courbe solution en un point de coordonnées données et d’approcher l’ordonnée d’un point de cette courbe. Ils ne sont même pas arrivés à évaluer, en ce point donné, l’expression symbolique de l’équation différentielle.
Nous avons constaté que les difficultés rencontrées par les étudiants de CAPES ont été principalement : la compréhension de la consigne mais aussi la non disponibilité de connaissances pour articuler les représentants des objets du champ des équations différentielles en jeu. En ce qui concerne le premier point, les situations proposées étaient en rupture avec le contrat habituel à l’Université (car ne permettant pas la mise en œuvre d’un mode de pensée associatif) où normalement, la demande est de résoudre une équation différentielle à partir de l’expression symbolique. De plus, les questions faisaient amplement appel à des connaissances anciennes des étudiants. Ces difficultés ont en partie contribué à bloquer le travail des étudiants. En ce qui concerne le deuxième point, l’analyse révèle que pour la mise en œuvre des connaissances sur des notions élémentaires comme pente, dérivée, fonctions, ces connaissances ne sont pas disponibles chez les étudiants. Et quand il s’agit de les mettre en œuvre, normalement ils le font de façon inadéquate. Ces résultats confirment ceux trouvés par Pian (1999) : les étudiants de CAPES ont peu de connaissances disponibles. D’autres recherches (Artigue 1989, Saglam 2004, Arslan 2005, Rasmussen, etc.) ont mis en évidence les nombreuses difficultés des étudiants en cours d’apprentissage des équations
L’expérimentation année 2003 différentielles. Notre travail montre que finalement, on ne trouve pas de grandes différences entre les difficultés des étudiants débutants et des lycéens, et les difficultés des étudiants de quatrième année d’université qui vont devenir enseignants en mathématiques.
Les éléments issus de cette première analyse nous montrent que l’établissement de liens inter-cadre et inter-registre dans le champ conceptuel des équations différentielles ne va pas de soi, qu’il s’avère intéressant d’essayer de chercher des moyens qui facilitent la mise en relation entre objets et notions du champ conceptuel des équations différentielles.
Intervention du professeur : Un bref rappel de certaines notions sur les équations différentielles
Tout de suite après le questionnaire initial, le professeur a présenté une brève introduction aux équations différentielles (en 15 minutes à peu près). Dans cette introduction, il a défini la notion d’équation différentielle et les solutions d’une équation différentielle. Le professeur a demandé aux étudiants des idées pour connaître la pente de la droite tangente à la courbe solution passant par un point donné. A partir des idées proposées, le professeur a expliqué le lien entre la pente de la droite tangente et une expression symbolique de la forme y’=f(x,y). Il a aussi défini la notion d’isocline, et en particulier le rôle important de l’isocline zéro pour régionner le plan.
3.2. ETUDE DESCRIPTIVE DES COURBES SOLUTIONS DE L’EQUATION
DIFFERENTIELLE y'=y2−1 x2+1
Comme présenté au chapitre 2, cette situation correspond à une situation d’association de représentants d’objets du champ des équations différentielles. Nous cherchons à étudier le fonctionnement des connaissances des étudiants lors des passages entre deux représentants du registre graphique : un champ de tangentes et les courbes solutions qu’il esquisse. La situation est composée de deux parties : la première destinée à être travaillée en papier/crayon, et la deuxième à être travaillée dans un environnement de géométrie dynamique.
L’analyse des productions des trois binômes choisis s’appuie sur les échanges verbaux et sur les fiches de travail. Nous l’avons décomposée selon les consignes de chaque partie de la situation. Pour faciliter sa lecture, nous la scindons donc en deux parties.
3.2.1. Etude descriptive des courbes solutions de l’équation
différentielle y'=y2−1
x2+1 en papier/crayon
Rappelons les tâches proposées :
Le dessin ci-dessous montre le champ de tangentes de l'équation différentielle y'=y2−1 x2+1
a) Dessiner quelques courbes solutions sur l'écran ci-dessus et décrire le
comportement des courbes solutions.
b) Soit C1 la courbe solution qui passe par le point L(-2,-2). Décrire l'allure de la courbe C1 sur l'intervalle [-3,3]. Qu'arrive-t-il à la courbe C1 quand x tend vers l'infini? Justifier votre réponse.
Première question
L’analyse prend en compte les principaux observables obtenus dans les sujets suivants : le tracé à la main des courbes solutions ; la description des comportements des courbes solutions.
Le tracé à la main des courbes solutions Binômes E22/E23 et E3/E4
Les courbes solutions tracées par les binômes E22/E23 et E3/E4 (cf. figures 11 et 12, ci-contre) montrent que les segments du champ de tangentes n’ont joué aucun rôle de contrôle lors du tracé des courbes. La stratégie suivie par ces binômes repose sur deux actions : « suivre le champ de tangentes » et « relier les points » :
Binôme E22/E23 :
E22 : … alors, donc tu prends un truc… tu suis, non? E23 : ça c'est les tangentes…
(lignes : 1-2)
E23 : ce sont les tangentes aux points, donc ouais, tu peux tracer euh… tu traces en reliant les points…
E22 : tu me fais confiance…
(lignes : 4-5)
Binôme E3/E4 :
E3 : … donc tu en dessines une, tu prends un point et puis, ah, tu suis, euh … tu essayes de trouver à … les points qui se correspondent…
L’expérimentation année 2003
Fig. 11 : Courbes tracées par le binôme E22/E23 Fig. 12 :Courbes tracées par le binôme E3/E4
On remarque qu’il y a une certaine cohérence globale entre la vue d’ensemble et les courbes tracées et pourtant, au niveau local, il est évident que les petits segments n’ont pas été considérés comme tangents aux courbes solutions, ce qui atteste la non-disponibilité des connaissances C9 qui permettraient d’interpréter les courbes comme tangentes aux segments du champ qu’elles touchent.
Les incohérences entre le champ de tangentes et les courbes solutions tracées pourraient aussi s’expliquer par les difficultés prévues dans l’analyse a priori, pour le tracé des courbes. En effet, le champ a été dessiné sur un ensemble discret de points, et pour les espaces vides il faut interpoler la forme des segments de tangentes à partir de la vue d’ensemble. Lors du tracé d’une courbe, une fois qu’un segment a été pris comme approximation locale de la courbe, pour continuer normalement on n’utilise pas les segments voisins ; mais il faut se laisser guider par l’allure globale du champ et aussi vérifier, à chaque étape du tracé, que ce dernier est localement cohérent avec les petits segments. Ces difficultés font peut-être partie des écueils rencontrés par les binômes lors du tracé des courbes. Pourtant, nous retrouvons quelques indices d’autres types de difficultés qui ont peut-être joué un rôle lors du tracé des courbes. Pour le binôme E22/E23, nous trouvons dans les échanges suivants, ayant eu lieu un peu plus loin, qu’E22 (l’étudiant qui a tracé les courbes) considère que les tangentes n’ont d’intérêt que lorsque la dérivée s’annule. On peut donc faire l’hypothèse que pour cet étudiant, il n’est pas très important que les petits segments de droite tangente soient tangents aux courbes :
Binôme E22/E23 :
E22 : moi je croyais que la tangente en un point… si la dérivée s’annulait en ce point… on a une tangente en un point quand la dérivée s'annule en ce point
E23 : ah ben non ! E22 : ah ben si !
E23 : nous, on a la tangente en un point… et ah ! pourquoi (… ?)1 faire la dérivée en ce point…
E22 : alors j'ai une question … hum, pourtant… moi, j'ai cru que tu avais une tangente… tu sais que quand on a un maximum ou un minimum … tu as forcément une tangente nulle… oui
E23 : oui mais bon, la pente d’une courbe comme ça E22 : ah oui…
1 Nous avons utilisé le symbole « (… ?) » pour indiquer des morceaux inaudibles de conversations des étudiants
E23 : la tangente en ce point-là… elle a pour coefficient directeur la dérivée dans ce point-là, et la dérivée-là est pas nulle, puisque le coefficient directeur de la tangente est pas nul, par contre, en ce point-là …
(lignes : 71-78)
Les premières lignes soulignent clairement que pour l'étudiant E22 les tangentes sont réduites aux extrema, alors que E23 envisage des tangentes de coefficient directeur non nul. Autrement dit, pour E22 les tangentes à la courbe représentative d’une fonction f sont définies par l’expression f’(x)=0. Cet épisode révèle une difficulté de cet étudiant relative à la notion de tangente à la courbe représentative d’une fonction, qui a pu jouer un rôle important lors du tracé des courbes demandées.
Par ailleurs, en ce qui concerne le binôme E3/E4, nous identifions quelques conjectures qui ont peut-être eu quelques effets sur le tracé des courbes. Au début, le binôme se trouve très déstabilisé par les formes des courbes solutions. Il s’attendait à trouver des courbes d’une même forme graphique, où les étudiants considèrent qu’il s’agit d’une famille d’hyperboles :
E4 : en fait, c’est … c’est des …des trucs comme ça E3 : c’est des hyperboles
E4 : c’est des hyperboles, ouais, dans tous les cas !
(lignes : 4 – 6)
Pour les étudiants, la conjecture de l'invariance de la forme des courbes solutions est très dominante. La mise en œuvre de ce type de raisonnement a été faite à plusieurs reprises par ce binôme, et nous avons formulé ce raisonnement sous la forme d’un théorème en acte :
« les courbes représentatives d’une famille de solutions d’une équation différentielle sont des courbes de même forme graphique » ( TA2)
Nous trouvons un peu plus loin, dans les échanges de E3 avec le professeur, les traces d’un argument fondé sur le théorème en acte TA2 :
E3 : je me souviens que si on avait une courbe comme ça, on arrivait à translater tout le (… ?), c’était une famille de courbes qu’on translatait, quoi
P : ça dépend…
(lignes : 179-180)
Nous observons aussi, à partir des courbes tracées, que les étudiants s’étonnent de ne pas trouver un même type de forme pour les courbes :
E4 : elle n’est plus hyperbole … …
E3 : hum … puisqu’en fait celle-là … là tu n’as pas … parce que celle-là elle ne va pas faire ça apparemment … donc c’est peut être ça, en fait … c’est un peu bizarre, mais … E4 : donc ça fait un truc comme celle-là …
(lignes : 30-32)
La stratégie du tracé des courbes par le binôme E3/E4 est, semble t-il, de ne pas chercher à extrapoler les courbes à partir des segments tangents, mais de faire des trajets reliant le plus grand nombre de segments.
L’expérimentation année 2003
Binôme E1/E2
En ce qui concerne le binôme E1/E2, il n’a pas trop de problèmes pour tracer les courbes solutions. Le champ de tangentes lui fournit des informations tant au niveau global qu’au niveau local des courbes. La figure 13 suivante montre les courbes solutions tracées par ces étudiants :
Fig. 13 : Courbes tracées par le binôme E1/E2
Lors du tracé, les étudiants donnent un rôle d’élément de contrôle aux segments du champ de tangentes. Les extraits ci-dessous montrent que même si l’étudiant E1 hésite, lui, l’autre étudiant considère que les courbes à tracer doivent avoir en chacun de leurs points les segments du champ comme tangentes. Cela veut dire qu’ils disposent des connaissances C9, qui permettent d’interpréter les courbes comme tangentes aux segments du champ qu’elles touchent :
E1 : (… ?) essayer de tracer les courbes avec ça… de façon à ce que ce soit tangent (… ?) je sais pas beaucoup … j’essaie de faire un truc, quoi … ben, c’est (… ?) équation … voilà (… ?) voilà, qu’est-ce que tu en penses?
(ligne : 3)
E1 : moi, j’ai trouvé une courbe qui va … dans les pentes, là … euh, ben qui serait tangente à toutes ces pentes-là … je sais pas, maintenant je ne sais pas comment faire cette courbe, ici … euh … j’ai l’impression que c’est quelque chose comme ça, quoi … elle va juste comme ça, non ? Mais je ne suis pas sûre
(ligne : 7) E1 : mais il faut que toutes les petites pentes soient tangentes à la courbe
(ligne : 35)
La description du comportement des courbes solutions Binôme E22/E23
Une première stratégie des étudiants, pour décrire les comportements des courbes solutions, consiste à essayer de mettre en oeuvre des connaissances sur les systèmes différentiels, pour identifier dans le registre graphique des foyers, des centres, des cols. Mais finalement le binôme n’arrive pas à les utiliser :
E22 : « comportement des courbes solutions » … en fait, tu vois… c’est euh… si j’avais un truc de… … si tu avais un truc comme ça, par exemple … on aurait dit que ça, c’était