Mise en équation différentielle d’une famille d’exponentielles en géométrie dynamique d’exponentielles en géométrie dynamique

Nous avons choisi une famille d’exponentielles car son étude commence dès le niveau du lycée. Donc on peut supposer que les étudiants de CAPES disposent des connaissances nécessaires pour obtenir l’équation différentielle de cette famille. Par ailleurs, comme il s’agit d’une famille de courbes prototypiques, nous considérons que les éventuelles difficultés des étudiants relatives à cette famille de courbes, seront révélatrices des effets de l’enseignement traditionnel privilégiant le travail sur le registre symbolique. La situation proposée est constituée de cinq consignes :

On considère une famille de courbes Ω. Le point C est déplaçable sur tout le plan. A chaque point C correspond une courbe ΩC.

1) La tâche consiste à chercher l'équation différentielle de premier ordre qui correspond à la famille de courbes Ω.

Quelle est selon vous l'équation différentielle associée à cette famille?

2) Comment avez-vous procédé pour déterminer l'équation différentielle de la famille de courbes Ω?

3) Quels éléments pourriez-vous indiquer pour vous convaincre que l'équation différentielle que vous avez trouvée correspond bien à la famille de courbes Ω?

4) Dans Cabri, pouvez-vous vérifier que l'équation différentielle que vous avez trouvée correspond bien à la famille de courbes Ω? Si oui, comment?

5) Pouvez-vous repérer des propriétés mathématiques de la courbe qui confirment que vous avez bien trouvé l'équation différentielle de la famille de courbes Ω? Si oui, lesquelles?

De manière générale, les consignes séparent la situation en deux étapes : la première, qui consiste en la recherche de l’équation différentielle (première et deuxième consignes) ; la deuxième, qui demande la validation de l’équation trouvée (trois dernières consignes). Les

Méthodologie de recherche et analyse a priori dernières consignes ont l’air très répétitives. L’objectif est de faire exprimer le plus d’informations possibles sur les liens établis entre les registres de représentation en jeu.

La première consigne place d’emblée les étudiants dans un contexte hors du commun dans l'étude traditionnelle des équations différentielles. La seule donnée dont ils disposent est la courbe dynamique. Il ne s’agit pas de résoudre une équation, mais de la trouver. Pour avoir des informations sur la famille de courbes, il faut explorer à l’aide du logiciel. La recherche de l'équation différentielle demande soit la reconnaissance, à partir de l’évidence visuelle, de la famille de courbes, soit l’identification des propriétés caractérisant la famille de courbes. Dans la partie consacrée aux réponses attendues, nous décrirons les différentes stratégies possibles pouvant conduire à l’équation recherchée.

La deuxième consigne demande aux étudiants un compte rendu de leur procédure pour arriver à l'équation différentielle recherchée. Elle a été proposée car il était possible, dans la première consigne, d’avoir des réponses brèves ; or nous voulons le plus d’informations possible sur les procédures suivies par les étudiants pour trouver l’équation différentielle.

La troisième consigne a pour objectif de faire exprimer des éléments de contrôle assurant d’avoir trouvé la bonne équation. Elle laisse ouverte la possibilité de présenter des arguments de différents types pour confirmer la réponse fournie. Nous nous attendons à ce que ces arguments révèlent des connaissances de divers cadres mises en fonctionnement pour arriver à la réponse.

La quatrième et la cinquième consignes ont pour objectif de solliciter des arguments dans un contexte plus précis. Elles tentent chacune de mettre l’accent sur un registre de représentation particulier :

• la quatrième consigne place les étudiants dans le registre graphique de Cabri pour valider l'équation différentielle trouvée. Il s’agit de les conduire à donner une interprétation graphique des propriétés mathématiques de l’équation différentielle obtenue, à l’aide des outils de Cabri ;

• la cinquième consigne place les étudiants dans le registre symbolique, et il s’agit d’interpréter mathématiquement les propriétés graphiques de la courbe dynamique.

Variables didactiques

Lors de la conception de l’énoncé, nous avons considéré deux variables didactiques que nous détaillons de la façon suivante :

Variable didactique ME1

Cette variable concerne le choix de la famille d'exponentielles, en considérant qu'une représentation symbolique de cette famille peut s'exprimer sous la forme y'=ky, où k est un nombre réel, et où la forme graphique de la famille d'exponentielles dépend du paramètre k. Nous avons identifié trois valeurs de cette variable didactique :

ME1₁ : k > 0 ; ME1₂ : k = 0 ; ME1₃ : k < 0.

Ces valeurs conduisent à la mobilisation de différentes stratégies pour arriver à l’équation différentielle cherchée. La valeur ME1₁ conduit à la forme prototype des exponentielles que 65

l’enseignement favorise. La reconnaissance de cette forme donne aux étudiants une stratégie de base pour obtenir l’équation différentielle, qui consiste à associer une expression symbolique à cette famille de courbes, et à partir de celle-ci à déduire l’équation différentielle cherchée. Pourtant, nous considérons que dans le cas particulier qui nous occupe, la déduction de l’équation différentielle n’est pas immédiate, à cause de la perturbation introduite par la manipulation directe de la courbe, ainsi qu’en raison du changement de sa forme lors de son déplacement. Il est possible que cette perturbation conduise à une étude ponctuelle de la courbe, pour identifier des propriétés de la famille de courbes à partir de propriétés graphiques ou numériques repérées sur des points de la courbe. Par exemple, des propriétés numériques qui lient la pente de la droite tangente aux coordonnées des points, etc.

La valeur ME1₂ conduit à une famille de droites horizontales, dans laquelle les liens entre les représentants graphiques et symboliques semblent être plus évidents que pour ME11. De plus, le déplacement d’une droite dynamique horizontale n’introduit pas le même niveau de perturbation que pour une courbe qui change de forme. Les propriétés graphiques ou numériques de la famille de droites peuvent être étudiées d’un point de vue global : par exemple, la valeur de la pente est la même en tous les points de la courbe, etc.

La valeur ME1₃ introduit la perturbation due au changement de la forme de la courbe lors de son déplacement, mais elle demande aussi plus de connaissances sur les formes graphiques des exponentielles. La mise en équation d’une famille de courbes de ce type peut aussi être réalisée par une stratégie de base, qui consiste à l’associer d’abord à une expression symbolique.

Compte tenu des difficultés identifiées chez des étudiants mexicains (Moreno et Laborde, 2003), lors de la mise en place d’une activité de ce type et pour faciliter le travail de recherche de l’équation différentielle, nous avons choisi la valeur ME11 et en particulier k=1.

Variable didactique ME2

La variable ME2 concerne la possibilité de rendre visible un invariant de la famille de courbes. La reconnaissance d’un tel invariant favorise a priori la mobilisation d’une stratégie pour la mise en équation de la famille de courbes. Nous avons identifié trois valeurs pour cette variable :

ME2₁ : rendre visible un invariant numérique de la famille de courbes ; ME22 : rendre visible un invariant graphique de la famille de courbes ; ME2₃ : ne pas rendre visible des invariants de la famille de courbes.

Lors de l’exploration dans le contexte informatique, la valeur ME21 favorise l’identification d’une propriété numérique de la famille de courbes. Par exemple, on pourrait afficher : une droite tangente à un point dynamique sur la courbe ; la pente de la droite tangente ou son équation ; les coordonnées du point de tangence ; etc. (cf. fig. 3, ci-contre).

Méthodologie de recherche et analyse a priori

Fig. 3 : Des données favorisant l’identification d’une propriété numérique de la famille d’exponentielles

Dans ce cas, les étudiants peuvent identifier (grâce à l’exploration dynamique) les liens numériques entre les données fournies et à partir de celles-ci, écrire l’équation différentielle demandée. Cette stratégie est décrite dans la partie relative aux réponses attendues.

La valeur ME22 favorise l’identification d’une propriété graphique de la famille de courbes. Par exemple, on pourrait afficher un triangle dynamique dont l’hypoténuse est tangente à la courbe (cf. fig. 4, ci-dessous). Le déplacement du triangle peut rendre visible la propriété graphique suivante : « la sous-tangente reste constante ».

Fig. 4 : Des données favorisant l’identification d’une propriété graphique de la famille d’exponentielles

Les données graphiques fournies dans ce cas peuvent aussi induire une autre stratégie d’obtention de l’équation différentielle, qui met en jeu des connaissances des cadres de la géométrie analytique et de l’analyse. Nous précisons cette stratégie dans la partie sur les réponses attendues, en pages suivantes.

La valeur ME23 consiste à fournir seulement la courbe dynamique, et à laisser à la charge des étudiants la recherche des propriétés adéquates qui conduisent à l’équation différentielle cherchée. La seule stratégie de base est alors la reconnaissance graphique perceptive des exponentielles et qui débouche sur une stratégie algébrique.

Nous avons choisi la valeur ME2₃ et bien qu’elle permette la mise en œuvre de la stratégie algébrique de base, les caractéristiques dynamiques de la courbe peuvent être des éléments déstabilisants pour son fonctionnement. De plus, même si une stratégie algébrique est mobilisée, les différentes questions proposées obligent à faire interagir les différents registres de représentation en jeu (graphique, symbolique et numérique).

Les réponses attendues et les connaissances en jeu Première question

La consigne Quelle est, selon vous, l'équation différentielle associée à cette famille ? suppose un travail exploratoire préalable. Nous attendons une recherche des propriétés de la famille, à l’aide des outils de Cabri, dans le but de mettre en relation la famille de courbes avec les équations différentielles. Pour établir le passage du registre graphique vers le registre symbolique, nous envisageons quatre stratégies possibles :

La stratégie EXP-ALG (Obtention de l’équation à partir d’une expression symbolique des solutions)

La stratégie EXP-ALG consiste à associer d’abord aux représentants graphiques (courbe dynamique et/ou famille de courbes) un représentant du registre symbolique (cette stratégie est illustrée dans la figure 5, ci-après). Ensuite elle passe par le traitement de ce représentant symbolique pour obtenir l'équation différentielle demandée (mise en œuvre des connaissances C2 : l’équation différentielle peut être déduite par dérivation de l’expression symbolique des solutions). Dans cette stratégie, l'association de l’expression symbolique avec les représentants graphiques est fondée seulement sur la reconnaissance graphique globale des formes des courbes. L’exploration dynamique, se réduit alors à confirmer perceptivement que la famille de courbes est bien une famille d’exponentielles. Dans cette même stratégie, le fonctionnement du graphique est dans le mode idéogrammatique. Les représentants graphiques sont pris seulement comme signes associés aux fonctions exponentielles.

Méthodologie de recherche et analyse a priori

Fig. 5 : Mise en équation de la famille d’exponentielles à partir d’une expression symbolique des solutions

Dans la stratégie EXP-ALG, le passage du registre graphique au registre symbolique requiert des connaissances du cadre des fonctions, telles que :

« une famille de courbes de forme exponentielle peut être exprimée dans le registre symbolique par une expression de la forme y=Ce^x » (C14)

Le traitement de l’expression symbolique proposée, par dérivation (connaissances C2) pourrait permettre d’arriver à l'équation différentielle y’=y cherchée.

La stratégie EXP-ALG-VER (Obtention de l’équation à partir d’une expression symbolique des solutions avec une phase de vérification)

Cette stratégie est une légère variante de la stratégie EXP-ALG, et passe par une phase de vérification de l’expression symbolique associée à la famille de courbes (stratégie illustrée dans la figure 6 en page suivante). Pour cette vérification on peut avoir recours au logiciel pour tracer des courbes particulières de la famille, et ensuite au déplacement de la courbe dynamique pour vérifier qu’elle peut bien se superposer à la courbe tracée. Une autre possibilité de validation met en œuvre une stratégie numérique (sans passer par le tracé des courbes) qui consiste à : prendre quelques points de la courbe dynamique ; afficher leurs coordonnées ; et substituer ces coordonnées dans l’expression symbolique candidate. Si l’expression est vérifiée, alors elle correspond à la famille de courbes.

Symbolique Equation différentielle Famille d’exponentielles Exploration dynamique Graphique

Registres : ^{Exponentielle} _dynamique

Reconnaissance graphique perceptive Expression symbolique ^Traitement 69

Fig. 6 : Mise en équation de la famille d’exponentielles à partir d’une expression symbolique des solutions, avec une phase de vérification

Dans cette stratégie, le fonctionnement du graphique est plutôt dans un mode nomographique. Il est utilisé seulement comme moyen effectif d’obtenir des résultats numériques par des procédures locales.

La stratégie EXP-DT-NUM (Obtention de l’équation passant par l’identification d’un invariant numérique de la famille de courbes)

La stratégie EXP-DT-NUM consiste à obtenir l'équation différentielle de la famille de courbes, par exploration dynamique à l’aide d’une droite tangente (la stratégie est illustrée dans le schéma nº 7, ci-après). Cette exploration peut permettre l’identification de l’invariant numérique de la famille de courbes, « la pente de la droite tangente est égale à l’ordonnée du point de tangence ». Pour l’identification de cet invariant, il faut construire une droite tangente qui passe par un point dynamique de la courbe ; et recourir aux outils « Coordonnées ou équation » et/ou « Pente » pour afficher les coordonnées du point dynamique, l'équation de la droite tangente et/ou sa pente. Nous considérons que la prise en compte de la droite tangente, lors de la recherche de l’équation différentielle, peut être suggérée par le fait que l’équation cherchée fait intervenir des dérivées. Le lien entre la pente de la droite tangente à la courbe dynamique et la dérivée des solutions, peut être établi en mettant en œuvre des connaissances du cadre de l’analyse, comme :

« soit ΓP la courbe représentative d'une fonction numérique, continue et différentiable f qui passe par un point P(x_P,y_P), la pente de la droite tangente à ΓP en P est donnée par f’(x_P)» (C3)

Symbolique Equation différentielle Famille d’exponentielle Exploration dynamique Graphique

Registres : ^{Exponentielle} _dynamique

Expression symbolique Reconnaissance perceptive Vérification Traitement

Méthodologie de recherche et analyse a priori

Famille d’ex

Fig. 7 : Mise en équation de la famille d’exponentielles à partir de l’identification d’un invariant numérique de la famille de courbes

Le travail exploratoire peut conduire à l’identification de l’un des deux constats suivants : • le coefficient directeur, dans l’équation de la droite tangente dynamique, est toujours

égal à l'ordonnée du point de tangence ;

• la pente de la droite tangente est toujours égale à l'ordonnée du point de tangence.

Nous considérons que l’identification de la propriété numérique invariante de la famille de courbes, et la mise en œuvre des connaissances C3 peut permettre d’arriver à l’équation différentielle y’=y recherchée.

Dans cette stratégie, l’usage du graphique est notamment dans un mode opératoire. En effet, les propriétés numériques de la famille de courbes sont mises en évidence par l’exploration dynamique, mais la réponse demande la mise en fonctionnement des connaissances du cadre des fonctions et de l’analyse en interaction avec le graphique.

La stratégie EXP-GRAPH (Obtention de l’équation passant par l’identification d’un invariant graphique de la famille de courbes)

La stratégie EXP-GRAPH consiste à obtenir l'équation différentielle de la famille de courbes, grâce à l’exploration dynamique à l’aide d’une construction auxiliaire rendant visibles les sous-tangentes (stratégie décrite dans le schéma nº 8, ci-après). Cette exploration peut permettre l’identification de l’invariant graphique de la famille de courbes, « les sous-tangentes de la famille de courbes sont constantes ». L’identification de cet invariant requiert, par exemple, la construction un triangle dynamique dont l’hypoténuse est tangente à la courbe dynamique, ainsi que le recours aux outils tels que : « Distance », ou bien « Coordonnées ou équation ». Nous considérons que la prise en compte d’une propriété graphique caractérisant

Symbolique Equation différentielle ponentielles Exploration dynamique Graphique Registres : Exponentielle dynamique Identification d’invariant numérique et obtention de l’équation différentielle Construction Droite Tangente dynamique Exponentielle dynamique avec une droite tangente

la famille d’exponentielles, pourrait s’inspirer d’éventuels rappels des définitions de cette famille de courbes concernant la « sous-tangente » ³.

Famille d’ex

Fig. 8 : Mise en équation de la famille d’exponentielles à partir de l’identification d’une propriété graphique invariante de la famille de courbes

Dans cette stratégie, le travail exploratoire peut conduire à constater que la famille d’exponentielles étudiées concerne des courbes à sous-tangente constante (égale à l’unité). Nous considérons que l’identification de cette propriété graphique invariante de la famille de courbes, et la mise en œuvre de connaissances du cadre de la géométrie analytique sur la formule de la pente d’une droite, ainsi que des connaissances du cadre de l’analyse permettant de lier la pente de la droite tangente avec la dérivée (connaissances C3), peut permettre d’arriver à l’équation différentielle y’=y recherchée (description détaillée de la mise en œuvre de la stratégie EXP-GRAPH présentée dans la prochaine situation).

De la même manière que dans la stratégie précédente, l’usage du graphique est dans un mode opératoire. Nous considérons que cette dernière stratégie sera la moins utilisée par les étudiants, car elle requiert tant le rappel des propriétés graphiques de la famille d’exponentielles que des constructions spécifiques à l’aide du logiciel.

Deuxième question

Dans la consigne : Comment avez-vous procédé pour déterminer l'équation différentielle de la famille de courbes Ω ? nous attendons une explicitation de toutes les étapes pour trouver l’équation. L’intérêt est de disposer de toutes les informations possibles sur le travail des étudiants. Il est possible que ceux qui ont déjà exprimé la façon d’obtenir l’équation différentielle dans la question précédente, ne répondent pas à cette question.

Troisième question

Dans la consigne : Quels éléments pourriez-vous indiquer pour vous convaincre que l'équation différentielle que vous avez trouvée correspond bien à la famille de courbes Ω ?,

3

Dans les documents d’accompagnement des programmes (2002) du Ministère de la Jeunesse, de l’Education Nationale et de la Recherche, concernant des problèmes géométriques de recherche de courbes conditionnées par la sous-tangente et la sous-normale.

Symbolique Equation différentielle ponentielles Exploration dynamique Graphique Registres : Exponentielle dynamique Identification d’invariant graphique et obtention de l’équation différentielle Construction permettant de

rendre visible les sous tangentes

Exponentielle dynamique (sous-tangentes visibles)

Méthodologie de recherche et analyse a priori nous attendons l’explicitation d’arguments mathématiques justifiant les réponses. Nous présentons ci-dessous différents types d’arguments qui pourraient être proposés :

• des arguments fondés sur la résolution algébrique de l’équation différentielle trouvée, que nous avons appelés : arguments du type RES-ED. Il est possible que ce type d’arguments inclue une phase de vérification, telle que la superposition de la courbe dynamique avec des courbes obtenues à partir de l’expression symbolique des solutions. Les arguments du type RES-ED pourraient éventuellement être formulés sans forcément mettre en jeu le logiciel. Par exemple, vu l’expression symbolique des solutions (après la résolution algébrique), on pourrait affirmer qu’elle correspond aux courbes dynamiques étudiées ;

• des arguments du type VAL-NUM, fondés sur la confrontation des valeurs numériques de la pente de la droite tangente à la courbe dynamique (obtenus à l’aide du logiciel) et des valeurs de la fonction f(x,y), évaluées selon les coordonnées de l’origine du vecteur où y’= f(x,y) est l’équation différentielle trouvée ;

• des arguments du type SENS-VAR, fondés sur la mise en relation du sens de variation des solutions et du signe de la dérivée. Les arguments de ce type peuvent être élaborés en faisant fonctionner des connaissances du cadre de l’analyse, telles que :

« pour une équation différentielle y’=f(x,y), où f est une fonction numérique en ℜ2, si f(xP,yP)>0 (resp. f(xP,yP)<0), alors la courbe solution ΓP qui passe par (xP,yP) est une courbe représentative d’une fonction croissante (resp. décroissante) » (C5)

Les connaissances C5 peuvent amener à conclure, à partir de l’équation différentielle y’=y, que pour y>0 (resp. y<0) on a y’>0 (resp. y’<0), les solutions sont croissantes (resp. décroissantes) dans la région y>0 (resp. y<0) ;

• éventuellement, la forme de l’expression symbolique de l’équation différentielle y’=y (elle dépend seulement de la variable y) pourrait conduire à formuler des arguments fondés sur l’interprétation graphique de propriétés, telles que le parallélisme des droites tangentes aux points de la même ordonnée de courbes différentes (des arguments du type VAR-ED).

Quatrième question