Deuxième partie du questionnaire

Dans la deuxième partie, nous nous sommes intéressés particulièrement aux passages du registre graphique des solutions au registre symbolique des équations différentielles. Compte tenu du niveau des étudiants de CAPES, nous pouvons attendre d’eux, dans des cas simples où les connaissances à faire fonctionner sont des connaissances élémentaires du lycée, qu’ils soient capables de réaliser le passage du registre graphique au registre symbolique.

Dans cette partie, nous avons fait le choix de proposer aux étudiants un champ de vecteurs très simple, car il s’agit d’un champ dont les solutions associées sont représentées graphiquement par des droites parallèles. Nous prévoyons que les étudiants seront capables d’associer l’équation différentielle qui correspond au dessin fourni. En revanche, la tâche sera révélatrice de difficultés importantes pour articuler les représentants graphiques et symboliques en jeu, si les étudiants n’y répondent pas.

Le champ de vecteurs a été présenté en termes d’une fonction vectorielle ; cette fonction a été décrite dans le registre discursif et nous avons fourni un représentant graphique de celle-ci. Ce choix est fait pour éviter de donner des indices sur l’équation différentielle associée, comme par exemple la valeur de la pente ; en revanche, le dessin fourni donne une indication explicite du sens de variation des solutions :

Méthodologie de recherche et analyse a priori Le champ de vecteurs ci-dessous représente une fonction vectorielle qui à chaque point (x,y) du plan associe un vecteur de coordonnées (1,2)

a) Est-il possible d'associer une équation

différentielle au dessin ? Justifiez votre réponse.

b) Si le dessin est associé à une équation différentielle, que peut-on dire sur les solutions de l'équation différentielle ?

c) Si l'on peut associer une équation différentielle au dessin, pouvez-vous dire laquelle? Justifiez votre réponse.

Volontairement, les questions donnent la possibilité d’admettre des réponses répétitives. Ce choix est fait pour obtenir le maximum d’informations sur les connaissances mises en œuvre. Dans la première question, on demande l’avis des étudiants seulement sur la possibilité d’associer le représentant graphique aux équations différentielles. On y attend aussi une justification de la réponse. La deuxième question requiert, dans un cas de réponse affirmative à la première, de tirer des informations sur les solutions de l’équation différentielle à partir du représentant graphique fourni. La troisième question sollicite le registre symbolique pour exprimer l’équation différentielle associée au dessin, et demande aussi la justification de la réponse.

Les réponses attendues et les connaissances en jeu

Nous attendons des étudiants qu’ils parviennent à associer au dessin l’équation différentielle . Nous décrivons, par la suite, les stratégies pouvant à notre avis être mobilisées pour y parvenir.

2 '= y

Première question

Dans la question : Est-il possible d'associer une équation différentielle au dessin? Justifiez votre réponse, n’apparaît pas explicitement la demande de l’expression symbolique de l’équation. Nous attendons des étudiants qu’ils expriment seulement la possibilité d’établir un lien entre le dessin fourni et les équations différentielles.

Nous considérons qu’une réponse affirmative peut s’appuyer sur la mise en fonctionnement de deux types d’arguments. D’abord la reconnaissance, à partir du représentant graphique, d’une famille de droites parallèles. Ensuite, la mise en œuvre des connaissances qui prennent en compte le fait que les solutions d’une équation différentielle sont des fonctions, et qu’elles peuvent donc être représentées dans le registre graphique au moyens de courbes. Ces connaissances permettent établir un lien d’une expression symbolique à un représentant graphique, mais on remarque que le lien de sens inverse n’est pas toujours vrai. En général, à partir d’une famille de courbes, on ne peut pas lui associer une équation différentielle. Dans le cas qui nous occupe, la configuration de la famille de courbes est très simple (une famille de droites), donc le lien dans les deux sens entre les représentants en jeu (famille de droites parallèles et équation différentielle) peut s’envisager comme possible.

Le recours à des arguments comme ceux cités ci-dessus, peut donner aux étudiants la certitude qu’il est possible d’associer au dessin une équation différentielle. Nous considérons que la justification de la réponse pourrait permettre de les expliciter.

Nous remarquons que dans cette première question, des réponses affirmatives concernant la possibilité d’associer au dessin une équation différentielle (non accompagnées d’arguments, ni de la donnée d’une expression symbolique) pourraient attester un effet de contrat : si l’on a posé la question de la possibilité d’associer une équation différentielle au dessin, cela sous-entend une réponse positive.

Deuxième question

En ce qui concerne la question : Si le dessin est associé à une équation différentielle, que peut-on dire sur les solutions de l'équation différentielle? nous considérons d’abord qu’une réponse affirmative à la première question a été précédée de la reconnaissance de la famille de droites parallèles. Donc, dans la deuxième question nous attendons des étudiants qu’ils explicitent davantage les propriétés de cette famille de solutions, comme celles du sens de variation, etc., et éventuellement qu’ils fournissent l’expression symbolique associée à ces solutions.

Troisième question

La question : Si l'on peut associer une équation différentielle au dessin, pouvez-vous dire laquelle? Justifiez votre réponse, demande explicitement d’exprimer dans le registre symbolique l’équation différentielle associée au dessin. Pour l’obtention de l’expression symbolique y’=2 demandée, nous identifions deux stratégies :

• la première stratégie consiste à associer d’abord à la famille de droites une expression symbolique telle que, y=2x+C. Dans cette stratégie, nous supposons que les étudiants identifient la valeur de la pente à partir des données fournies. L’établissement de ce lien entre le registre graphique et le registre symbolique requiert des connaissances comme :

« l’équation d’une famille de droites parallèles, ayant « a » comme coefficient directeur, est de la forme « y=ax+C » où C est un nombre réel quelconque » (C1)

Ensuite, une fois que l’on dispose d’une expression symbolique pour la famille de courbes solutions, en restant dans le registre symbolique, par dérivation on peut obtenir l’équation différentielle y’=2 cherchée. Les connaissances permettant ce traitement dans le registre symbolique peuvent s’énoncer comme :

« si l’on connaît l’expression symbolique h(x,y,k)=0 d’une famille de courbes, en dérivant une fois cette expression par rapport à la variable x et dans le cas où l’on peut éliminer k, il est possible de trouver l’équation différentielle f(x,y,y’)=0 de la famille de courbes » (C2)

• la deuxième stratégie consiste à établir un lien direct entre le champ de vecteurs et l’équation différentielle recherchée. Ce lien demande, d’abord, le calcul de la pente des droites parallèles à partir des coordonnées des vecteurs. Ensuite, il est demandé

Méthodologie de recherche et analyse a priori d’interpréter la pente en termes de la dérivée des solutions. Pour mettre en relation la pente et la dérivée il faut mobiliser des connaissances du cadre de l’analyse, telles que :

« soit ΓP la courbe représentative d'une fonction numérique continue et différentiable f qui passe par un point P(xP,yP), la pente de la droite tangente à ΓP en P est donnée par f’(xP) » (C3)

Dans cette stratégie, la reconnaissance de y’=2 comme équation différentielle de la famille de droite parallèles requiert que dans cette expression symbolique, le terme constante 2 soit considéré comme la donnée d’une fonction de deux variables f(x,y)=2. Et concernant la justification des réponses, nous supposons la mobilisation d’arguments de différents types :

• des arguments qui se fondent sur la mise en relation de l’expression symbolique y’=2 avec la famille de droites parallèles. Le représentant symbolique pourrait être interprété comme fournisseur de la pente des droites parallèles. Ce lien entre le registre graphique et le registre symbolique pourrait s’appuyer sur la mise en œuvre de connaissances telles que :

« une fonction affine admet en tout point une dérivée constante » (C4)

• des arguments qui se basent sur la résolution algébrique de l’équation différentielle obtenue (des arguments du type RES-ED). Pour ce type d’arguments, nous considérons que les étudiants pourraient conclure sur la cohérence entre la forme graphique des solutions et leur expression symbolique ;

• des arguments qui se basent sur l’interprétation des droites parallèles en termes de sens de variation des fonctions affines qu’elles représentent (des arguments du type SENS-VAR). Ce type d’argument pourrait s’appuyer sur des connaissances du cadre de l’analyse, telles que :

« pour une équation différentielle y’=f(x,y), où f est une fonction numérique en ℜ2, si f(xP,yP)>0 (resp. f(xP,yP)<0), alors la courbe solution ΓP qui passe par (xP,yP) est une courbe représentative d’une fonction croissante (resp. décroissante) » (C5)