Transformée de Fourier discrète et phénomène de Gibbs

L’analyse par transformée de Fourier (TAKEDA, INA et KOBAYASHI, 1982) repose sur l’utilisation d’algorithmes de type “Fast Fourier Transform” (FFT). La relation entre l’image échantillonnée par la caméra et son spectre numérique dans le domaine fréquentiel est réa-lisé par Transformée de Fourier Discrète (TFD). Celle-ci utilise l’identité d’Euler pour réaliser l’approximation du signal par un développement en série sur une base de fonctions sinus et cosinus continues. Par conséquent, dès lors qu’une discontinuité du signal initial est pré-sente, qu’elle soit en bords de pupille d’analyse ou bien à l’intérieur de celle-ci, elle entraîne

du fait de cette décomposition des artefacts oscillants connus sous le nom de phénomène de Gibbs [(GIBBS,1898), (BÔCHER,1906), (BONE, BACHORet SANDEMAN,1986)].

Considérons une image binaire d’un carré : celui-ci se décompose en série de Fourier et présente un spectre discret avec une multitude d’harmoniques. Par filtrage central de ce spectre autour de la fréquence (νx, νy) = (0,0), en ne conservant que 3, puis 5, puis 30 harmoniques (tout en annulant le reste du plan Fourier), nous avons illustré sur la fi-gure4.7dans l’espace réel, les oscillations typiques du phénomène de Gibbs générées par la troncature abrupte du spectre. Plus le nombre d’harmoniques pris en compte est élevé, plus la période des oscillations dans l’espace réel diminue, et plus l’amplitude maximale du ressaut à la discontinuité augmente et tend vers la valeur limite appelée constante de Gibbs-Wilbraham, d’une valeur proche de9%de la discontinuité.

FIGURE4.7: Phénomènes de Gibbs lors de la synthèse harmonique d’un carré.

Résultats de la restriction du spectre à a) 3 harmoniques, b) 5 harmoniques, c) 30 harmoniques.

FIGURE4.8: Discontinuités des bords d’une image d’un oeil de panthère, a) Image initiale, b) Périodisation de l’image initiale en horizontal et en vertical, c) Zoom sur les discontinuités au centre. Crédit de la photographie : Antoine

Montaux-Lambert ; Panthère du Zoo du Parc de la Tête d’or à Lyon.

4.2. Affranchissement des artefacts de démodulation

Cet effet peut également se manifester sur une imagea priorisans discontinuité, si les bords de son support ne se raccordent pas parfaitement. En effet, les algorithmes de type FFT réalisent naturellement la périodisation du signal initial, ce qui génère alors une dis-continuité et donc des artefacts oscillants. Prenons une image arbitraire d’une photographie d’un oeil de panthère [4.8 a)]. Cette image est discontinue à ses bords, les discontinuités sont visibles si l’on périodise l’image en horizontal et en vertical. La croix centrale séparant les quatre répliques révèle les discontinuités, que ce soit au niveau des taches noires ou au niveau de l’intensité du pelage [b)]. La figure c) représente un zoom sur le centre de l’image périodisée. Ainsi, lors de l’extraction des dérivées, la transformée de Fourier est susceptible de générer des artefacts oscillants quelque soit l’image traitée.

Afin de mettre en lumière l’apparition des effets de Gibbs, nous présenterons, à partir de simulations d’interférogrammes simples, les différentes sources de discontinuités asso-ciées aux conditions expérimentales usuelles. Nous analyserons l’aberration la plus simple détectée par l’instrument, à savoir le basculement de la surface d’onde que nous oriente-rons selon l’axex. Les paramètres de simulation ont été choisis de façon à reproduire des conditions proches de l’instrument développé auparavant et utilisé sur la ligne Métrologie (RIZZI,2013). Les interférogrammes simulés, à une distance de4,96cmd’un réseau de phase accordé àπ, reproduisent alors un maillage droit, avec6pixels par période de réseaux dans les deux dimensions, pour un réseau de pasp = 8µm, et ce sur une pupille de l’instrument de132×132pixels, afin de réaliser l’analyse sur un nombre entier de périodes de réseau.

La taille de pixel est alors fixée à ^p₆ = 1,33µm. Le front d’onde aberrant analysé correspond alors à un plan incliné positif selon l’axex, et la dérivée en x à un offset, qui a été fixé arbi-trairement à une valeur de26,906µradpar décalage d’une colonne de pixels entre la mesure et la référence.

FIGURE 4.9: Différents interférogrammes et dérivées extraites de l’harmo-niqueH20 dans le cas d’une illumination totale de la pupille de l’analyseur, a) Interférogramme idéal obtenu à partir de la propagation d’une onde plane basculée, b) De même que pour a) avec une inhomogénéité d’éclairement de la pupille, c) De même que pour a) mais avec une troncature de l’interféro-gramme d’une colonne, d) Interférol’interféro-gramme généré par propagation d’une

demi-période de sinusoïde.

L’interférogramme idéal a) assure la continuité entre les bords du support de l’image ; les franges se raccordent parfaitement. Ainsi lors de l’application de la TFD, aucun artefact n’est généré, et la moyenne de la dérivée extraite correspond à la valeur théorique attendue à l’erreur numérique près. Au contraire, les trois cas suivants illustrent les discontinuités ca-ractéristiques que l’on peut retrouver en mesure. La première consiste en une inhomogénéité d’éclairement basse fréquence appliquée à l’interférogramme idéal b). Le second en c) n’est pas affecté d’une telle variation d’illumination, mais subit une troncature d’une colonne de pixels, de telle sorte que les franges de part et d’autre de l’image ne se raccordent plus en horizontal. Enfin le dernier cas d), représente le cas d’une onde d’amplitude constante, mais dont la phase correspond à une demi-période de sinusoïde.

Comme nous l’attendions, dès lors qu’une discontinuité est introduite dans un interfé-rogramme, la dérivée extraite présente de fortes oscillations de Gibbs avec une amplitude décroissante depuis les bords jusqu’au centre du support de l’image. De plus dans le cas b) du fait de la discontinuité2Dintroduite par l’inhomogénéité d’illumination, la dérivée pré-sente également des oscillations transverses selon la verticale de l’image, démontrant ainsi la nature bi-dimensionnelle de ces effets, même dans le cas de l’extraction d’une dérivée unidimensionnelle.