Méthode d’intégration itérative

Les algorithmes d’intégration précédents, utilisés dans leur forme non-itérative, per-mettent d’accéder à une estimation rapide et relativement juste du front d’onde en s’affran-chissant des artefacts de reconstruction les plus importants. Cependant, l’antisymétrisation des dérivées n’est efficace que sur un jeu de données non lacunaires et dont le support est carré (ou rectangulaire). Dès lors que l’instrument mesure une pupille de faisceau de forme arbitraire (lacunaire ou non), les discontinuités du support réintroduisent de nouveau des artefacts, dont l’antisymétrisation ne peut réduire l’amplitude. Des méthodes itératives per-mettent alors de s’affranchir de ces artefacts et nous choisirons ici de présenter une méthode d’intégration développée à partir de la publication de Southwell (SOUTHWELL,1980).

Il s’agit d’une méthode itérative traitant chaque pixel de mesure par rapport à ses plus proches voisins pour réaliser l’intégration. Elle est locale, et permet d’intégrer les dérivées sur un support quelconque (même lacunaire). La relation mathématique pour le pixel de phaseφ⁽ⁿ⁾_i,j à lanième itération en fonction de ses voisins est donnée par :

φ⁽ⁿ⁾_i,j =φ⁽ⁿ⁻¹⁾_i,j +ω

Le termeφ⁽ⁿ⁻¹⁾_i,j correspond à la moyenne des points de phases voisins aux indices(i+ 1, j),(i−1, j),(i, j+ 1),(i, j−1)à l’itération(n−1). Bien entendu cette moyenne se fait en fonction du nombre de pixels voisins pour lesquels le masque du support d’intégration est non nul. Le termeb_i,jse calcule à partir des deux dérivées enxety:

Enfin,gi,j est un coefficient prenant les valeurs entières entre [0,4]selon le nombre de pixels voisins non nuls. Dans le cas particulier oùg_i,j = 0nous imposerons une valeur nulle deφ⁽ⁿ⁾_i,j. Dans les autres cas, ce dernier est relié au point de phase à l’étape précédente mais également à un second terme pondéré par un paramètre de relaxationω. Il correspond à un paramètre ajustable influençant beaucoup la vitesse de convergence de l’algorithme et ses performances ultimes. Southwell a prédit la valeur théorique optimale par l’équation :

ω= 2

1 + sin

π N+1

(4.30)

N étant la taille de la matrice à reconstruire. En réalité, selon le jeu de dérivées à re-construire, la valeur de ce paramètre s’optimise. Nous ne rentrerons pas davantage dans ces détails, car les problématiques d’ajustabilité de ce paramètre et de vitesse de convergence méritent des travaux de recherche à part entière. Typiquement, Southwell indique que pour un paramètreω = 1 nous retrouvons l’expression de l’intégration par méthode de Gauss-Seidel qui converge enN²itérations, alors que l’intégration avec le paramètre4.30converge en2N itérations. Avecpixle pas de la matrice numérique d’échantillonnage de l’image.

FIGURE4.25: Intégration itérative Southwell Vs Ghiglia après antisymétrisa-tion dans le cas de l’analyse d’une pupille circulaire. a) Résultat de l’intégra-tion Ghiglia après antisymétrisal’intégra-tion des dérivées, b) Résiduel après filtrage du front d’onde théorique, c) Résultat de l’intégration par un algorithme de Southwell itératif avec un paramètre de relaxationωaprès1000itérations, d) Résiduel de l’intégration Southwell après filtrage du front d’onde théorique.

Afin d’illustrer le gain d’une telle méthode itérative dans le cas de l’intégration d’un jeu de données de support arbitraire, nous reprendrons l’exemple de la pupille circulaire illumi-nant ici l’instrument de façon partielle. Le rayon de la pupille correspond à95%de la demi-largeur du détecteur soit243pixels pour une matrice512×512. Il manque par conséquent

4.3. Intégration des dérivées

une très faible proportion de pixels (13pixels de part et d’autre de la pupille en horizontal et vertical) par rapport au cas de l’illumination totale. Dans le cas de l’intégration Ghiglia sur support double, après antisymétrisation, une telle pupille introduit un biais non négligeable come nous pouvons le constater sur la figure4.25. Le PV s’élève alors à2,75λcontre2,86λ attendu, avec une erreur résiduelle de0,2λPV correspondant à7%de l’amplitude du front d’onde théorique. Dans le cas de l’intégration Southwell, nous attendons théoriquement un nombre d’itérations de l’ordre de2×√

N⁰= 883, avecN⁰le nombre de pixels porteurs d’une valeur de front d’onde dans le masque. Nous fixons le nombre d’itérations à1000et l’algo-rithme de Southwell permet ainsi d’atteindre de meilleures performances d’intégration, en retrouvant la valeur théorique attendue en amplitude PV, et laissant un résiduel représenté sur la figure 4.25à la même échelle que celui de l’intégration Fourier, avec une amplitude de0,003λPV.

L’inconvénient majeur de ce type de méthode itérative est le temps de calcul. Pour une matrice de tailleN, le nombre d’itérations nécessaire est de l’ordre de2N, sachant que plus la matrice est grande plus le temps de calcul à chaque itération augmente également. Ce type d’algorithme est donc idéal pour de petites tailles de pupille et permet de compléter l’inté-gration Fourier plus rapide, elle, sur de grandes tailles de matrices. La complétude entre les deux algorithmes se fait également dès lors que la pupille analysée n’est pas restreinte à un support carré (ou rectangulaire) non lacunaire.

Chapitre 5

Conception de l’interféromètre large bande pour la ligne de Métrologie

Nous allons désormais aborder la conception au sens large de l’interféromètre : de l’opti-misation du réseau de diffraction à celle de l’instrumentation du système de détection. Nous détaillerons le principe du concept innovant sur lequel il repose et démontrerons qu’il est ainsi possible de limiter les écarts de mesure sur l’ensemble de la bande spectrale10-30keV. En effet, nous rappelons que la contrainte principale de conception que nous nous sommes fixée est d’homogénéiser les performances de l’instrument sur l’ensemble de la bande spec-trale. Puis nous décrirons la solution instrumentale mise en œuvre : de la fabrication des réseaux de diffraction à la conception de la détection et de sa protection face au rayonne-ment X.

5.1 Concept et optimisation

A partir des briques théoriques de diffraction du réseau et de traitements numériques des interférogrammes générés, nous allons détailler ici le concept d’achromatisation des performances de l’instrument.

Notons que nous parlerons d’achromatisation des performances de l’instrument sans pour autant atteindre l’achromaticité rigoureuse. Nous ferons le parallèle avec la conception optique classique, pour laquelle il est d’usage de parler d’achromatisation d’une formule optique, lorsque la dépendance de la longueur focale de la combinaison en fonction de la longueur d’onde est repliée autour d’une longueur d’onde centrale. Ceci permet d’avoir globalement une même position de mise au point pour toutes les longueurs d’onde repliées.

L’achromatisation n’est alors pas rigoureuse. Il est d’ailleurs possible de replier davantage le chromatisme résiduel de l’optique par apochromatisation par exemple.

Dans notre cas, nous recherchons une configuration interférométrique permettant de replier une fois les performances de mesures,i.e.d’obtenir une achromatisation du système.