Cohérence

e^−i2πz√

1/λ²−(ν_x²+ν_y²) si ν_x²+ν_y² ≤ _λ¹2

0 sinon (3.6)

La fonctionP_zcorrespond à la fonction de propagation de l’onde d’un planz = 0à un plan de cotez. Nous utiliserons en réalité une forme simplifiée issue de l’approximation de Fresnel correspondant au développement limité de la racine de l’argument du propagateur P_z: l’équation3.7.

Pz(νx, νy) =e^−ikze^{iπλz(ν2x+νy2)} (3.7)

FIGURE3.2: Propagation d’un onde lumineuse dans un milieu homogène. a) Référentiels de l’espace, b) Algorithme de propagation dans l’espace de

Fou-rier par multiplication avec le propagateurPz.

Ainsi l’ensemble des calculs de propagation de cette thèse sera donc réalisé à partir de l’équation 3.8 comme illustré sur la figure3.2 par multiplication dans l’espace de Fourier du spectre de l’onde initiale et du propagateurP_z. L’ondeU_z propagée à la distancezsera ensuite obtenue par transformée de Fourier inverse. Nous noterons le spectre d’une onde U parU˜, et préfèrerons les symbolesT F etT F⁻¹pour les expressions mathématiques plus complexes.

Uz(x, y) =T F⁻¹h

U˜z=0(x, y)×Pz(νx, νy)i

(3.8)

3.1.3 Cohérence

Les propriétés de cohérence d’une source lumineuse sont extrêmement importantes pour un grand nombre d’applications. On dissocie usuellement deux types de cohérence, la cohé-rence temporelle, dite longitudinale, dépendant de la largeur de la bande spectrale émise, et la cohérence spatiale, dite transverse, corrélée à la taille de la source. Étudier les propriétés de cohérence d’une source revient à étudier la covariance ou la corrélation des ondes vues en deux points distincts et émis par la source en deux instants différents. On définira alors

la fonction de cohérence mutuelle entre les deux points M et M’ définis par les vecteurs positions−→r et −→r⁰ comme l’espérance mathématique du produit scalaire (noté < ... >) de U(−→r , t)etU(−→r⁰, t⁰).

Γ_coh =h−→U(M, t)·−→U(M⁰, t⁰)i (3.9) Cette fonction est en général toujours non nulle dans un petit volume autour de P du fait des effets de diffraction ou du comportement spatio-temporel de la source. Ainsi, une source sera dite cohérente si l’espérance mathématique d’avoir une relation de phase entre les deux ondes électromagnétiques issues de la source possède une densité de probabilité non nulle. Usuellement, la grandeur permettant de quantifier cette cohérence est appelée degré de cohérence et correspond à la fonction de cohérence normalisée3.9:

γ_coh= Γ_coh

phU U^∗(M, t)i · hU U^∗(M⁰, t⁰)i (3.10) Ce formalisme s’applique à la fois à la description de la cohérence temporelle et spatiale.

Nous définirons alors parγt le degré de cohérence temporelleγt analysé en un point de l’espace entre deux ondes asynchrones, et, parγ_sle degré de cohérence spatiale analysé en deux points de l’espace entre deux ondes émises de façon synchrones.

La cohérence temporelle est reliée à l’aspect monochromatique ou polychromatique de la lumière. En effet, lorsqu’un détecteur est en acquisition, il réalise la moyenne tempo-relle de la somme d’ondes électromagnétiques de pulsations différentes. Ainsi si leurs lon-gueurs d’onde ne sont pas proches, le déphasage devient tel que leur sommation n’est plus constructive et le contraste des franges d’interférence décroît jusqu’à devenir nul. Le degré de cohérence temporelle3.11passe de 1 dans le cas d’un rayonnement purement monochro-matique à 0 dans le cas d’ondes totalement asynchrones.

γ_t(τ) = hU(t)U(t+τ)i

phU U^∗(t)i · hU U^∗(t+τ)i (3.11) D’autre part, dans le cas d’un signal supposé stationnaire au sens large et ergodique, le théorème de Wiener permet de relier l’autocorrélation temporelle du signal, qui s’assimile à la fonction de cohérence mutuelle, à la transformée de Fourier de sa densité spectrale de puissanceDSP(ν).

γ_t(τ) = Z ∞

−∞

DSP(ν)·e^−i2πντdν (3.12) Notamment, ce théorème permet de calculer, dans le cas d’une distribution gaussienne de densité spectrale de puissance telle que décrite par l’équation3.13et un degré de cohé-rence de0,5, la longueur de cohérencel^c_t, selon eq.3.14.

DSP_Gauss(ν) = 1

3.1. Formalisme d’optique ondulatoire

On constate que lorsque∆λ→ ∞alorsl^c_t → 0. Et a contrario, la longueur de cohérence longitudinale tend vers l’infini pour∆λ→ 0. On définira ainsi le degré de monochromati-sation par le rapport ^∆λ_λ ou de façon équivalente en terme d’énergie, par^∆E_E .

De la même façon que pour l’étude de la cohérence longitudinale, on peut définir le degré de cohérence transverse par3.15. Ainsi, lorsque les deux pointsM etM⁰ sont confon-dus, le degré de cohérence spatialγ entre deux ondes émises au même instant est égal à1.

La chute de ce facteur jusque0se produit pour deux points non confondus dans le cas d’une source incohérente.

Dans l’approximation paraxiale, le degré de cohérence mutuelle des champs émis par une source de luminanceL, en deux points(M, M⁰)du détecteur situé à une distancezde la source est donné par le théorème de Zernike Van-Cittert3.16.

γs(M, M⁰) =γs(−→ numérateur correspond donc à la normalisation du degré de cohérence spatiale.

De même ce théorème permet de calculer la relation3.18entre la largeur à mi-hauteur d’une source de distribution de luminance gaussienne3.17, la distance z à la source et la longueur d’ondeλ.

Iciσ⁰_x correspond à l’écart-type de la distribution spatiale de luminance dans le repère associé à la source et de coordonnées(x⁰, y⁰). Cet écart-type se relie à la largeur à mi-hauteur

∆⁰_x = 2,35σ_x⁰. L’équation du théorème de Zernike-Van Cittert donne pour cette distribution l’équation :

γ_s(x) =e^−2π2σ2x0(_λz^x)² (3.18) Pour un degré de cohérence arbitraire voulu supérieur à0,5, cette équation mène à la relation 3.19 qui permet de définir alors la longueur de cohérence spatiale l_s^c pour le cas d’égalité.

x∆x⁰ ≤ λz

2,27 (3.19)

Et ainsi,

l_s^c= _2,27∆x^λz 0 pour γ_s= 0,5 (3.20)

L’expression de la longueur de cohérence spatiale montre que plus la source est de faible dimension,i.e.∆x⁰ → 0, plus la longueur de cohérence augmente, et, au contraire, plus la taille de la source augmente plus la longueur de cohérence diminue.