Cas des discontinuités intrapupillaires

Le second type de discontinuités mentionné est celui associé en général à l’échantillon analysé. Ces discontinuités ne peuvent pas être atténuées par la procédure WASP. Elles inter-viennent exactement comme dans le cas de la synthèse d’un carré à partir des harmoniques de son spectre présenté plus haut. C’est-à-dire qu’elles sont générées par la troncature du spectre de l’harmonique, qui s’étend au-delà du support spectral utilisé. Dans le cas de nos interférogrammes, nous avons choisi un support spectral de43pixels pour extraire les har-moniques d’intérêt, afin d’éviter de prendre en compte l’information spectrale de l’harmo-nique adjacente. Pour illustrer cette problématique, nous avons simulé un interférogramme présentant une rupture de pentes en son milieu. Le front d’onde correspondant est plan sur la première moitié du support, puis basculé d’une tiltxde 26.906µradsur la seconde. En termes de dérivée enx, cela correspond à un échelon, nul sur la première moitié du support, puis positif de valeur26,906µradsur la seconde.

4.2. Affranchissement des artefacts de démodulation

FIGURE 4.20: Extraction de la dérivée enxd’un interférogramme simulant l’effet d’un échelon de dérivéex, a) sans filtrage de l’harmonique, b) avec un filtrage de type Blackman bi-dimensionnel, c) filtre Blackman2Dde la largeur

du support de l’harmonique soit43×43pixels.

La figure4.20représente les dérivées extraites associées à un tel interférogramme. La dé-rivée a) présente alors de fortes oscillations du centre vers les bords du support. Nous obser-vons également des oscillations dans la direction transverse mais de plus faible amplitude.

Le PV associé à cette échelon en dérivée s’élève à29,82µradsupérieur d’une quantité d’en-viron10,8%de la valeur de la discontinuité théorique de26,906µrad, pourcentage proche des9%typiques annoncés dans le cas des ressauts liés aux effets de Gibbs. Afin de limiter ces oscillations, la solution consiste à apodiser le support de l’harmonique dans le plan Fourier avec une fonction s’annulant en bord de support comme les filtres de Hamming, de Han, et de Blackman. Sur b), nous avons appliqué un filtre2Dde Blackman représenté en c) afin d’annuler les oscillations. Cependant l’oscillation principale, même si elle est légèrement atténuée avec un PV mesuré de28,79µrad, est toujours apparente.

Afin d’isoler les artefacts associés aux variations spatiales rapides des dérivées du front d’onde, il peut être intéressant dans une certaine mesure de calculer les dérivées croisées. En effet, d’après le théorème de Clairaut-Schwarz, pour une fonction dérivable deux fois en un point, le résultat de la dérivation partielle à l’ordre 2 par rapport à deux variables ne dépend pas de l’ordre dans lequel se fait la dérivation par rapport à ces deux variables. Ainsi, si la surface d’ondeW(x, y)est véritablement une surface au sens mathématique du terme, alors l’égalité suivante est vraie :

Par conséquent, nous définirons la fonction d’annulation des dérivées croiséesAdcselon l’équation4.20. Elle est sensée être nulle si le front d’onde satisfait l’hypothèse de Clairaut-Schwarz : Or, l’hypothèse de surface en mathématiques est relativement contraignante. En métro-logie optique, elle est souvent vérifiée car les outils de polissage reproduisent naturellement dans la plupart des cas une surface, et par conséquent à moins qu’un matériau en trans-mission ne possède de très importantes inhomogénéités, ou que le polissage ne laisse des

traces très hautes fréquences sur l’optique (usinage diamant d’optiques pour le domaine infrarouge par exemple), l’hypothèse reste valide, et le front d’onde transmis ou réfléchi satisfait également cette hypothèse. En revanche en imagerie de phase, cette condition est aisément non satisfaite et la carteAdc des dérivées n’est alors plus nulle en tout point. Afin d’illustrer ceci, nous avons réalisé la dérivation numérique des dérivéesxetyde l’échelon de dérivée, dans le cas où l’extraction est opérée sans filtrage et avec. Les cartes d’annula-tion des dérivées croisées sont alors représentées sur la figure4.21sur un support tronqué de100×100pixels au centre de l’échelon (afin d’éviter les artefacts de dérivation numérique en bord d’image).

FIGURE4.21: Cartes d’annulation des dérivées croisées dans le cas de l’éche-lon de dérivée du front d’onde sur un support100×100pixels, a) Sans filtrage,

b) Avec un filtrage Blackman.

Sur la figure4.21 a), la cartographieA_dc reproduit les oscillations des phénomènes de Gibbs en2D. Le PV de la fonction est alors de 1,117rad.m⁻¹, les oscillations les plus im-portantes se retrouvent au niveau du saut de phase en milieu de support. L’utilisation d’un filtre de Balckman sur les fenêtres de sélection des harmoniques conduit à l’annulation des oscillations de Gibbs2Det réduit le PV à0,006rad.m⁻¹. Ce diagnostic peut alors s’avérer ex-trêmement utile pour déterminer quantitativement l’efficacité d’un filtrage sur les artefacts générés par des discontinuités, ou révéler les zones pour lesquelles il subsiste des artefacts et ainsi les discriminer vis-à-vis de la mesure. Cette même opération permettra également de révéler les zones de dislocations de phase non dépliées par l’algorithme de déroulement, et enfin révèlera le bruit de mesure puisque celui-ci est très loin de satisfaire l’hypothèse d’une surface. Cependant, un bémol important concernant ce diagnostic est qu’il est limité par la résolution de l’instrument et de la procédure d’extraction. Un filtrage de type Black-man supprime les oscillations, mais lisse également la dérivée pouvant ainsi supprimer une discontinuité et artificiellement favoriser le respect de la condition de surface. Ici, bien que nous puissions toujours constater le premier ressaut du phénomène de Gibbs sur la dérivée filtrée4.20b), celui-ci n’est pas détecté par la fonction d’annulation des dérivées croisées du fait du lissage du filtre.

Ces situations pour lesquelles les variations spatiales du front d’onde sont très fortes sont à proscrire dans la mesure du possible, puisqu’elles correspondent à des échantillons sortant de la résolution spatiale de mesure de l’instrument et génèrent des artefacts que l’on ne peut totalement faire disparaître. Cependant, si elles ne se produisent que très rarement en métrologie, les véritables discontinuités de phase se retrouvent davantage en imagerie de phase avec des échantillons de composition et d’architecture spatiale complexe.