Effet Talbot sur source synchrotron

L’effet Talbot a été décrit ici dans le cas théorique de l’illumination monochromatique du réseau de diffraction par une onde générée par un point ponctuel situé à l’inifini. L’onde est alors plane et nous ne prenons pas en compte les effets de cohérence spatiale ou tempo-relle de la source. Nous allons ici introduire les paramètres de la source de type aimant de courbure de la ligne Métrologie.

La divergence du faisceau X émis par l’aimant de courbure et délimitée par les fentes en tête de ligne étant très faible nous considérons usuellement pour les simulations que le faisceau est collimaté, et donc que l’onde est parfaitement plane. En réalité celle-ci est sphérique et son rayon de courbure est défini par la distance à la source d’émission qui se situe à environ32m. À partir de l’expression d’une onde sphérique Us , il est possible de calculer le facteur de grandissementM des franges observées à une distance z du réseau avec ce dernier placé à une distanceRde la source (CLOETENSet al.,1999) :

3.3. Effet Talbot

(

U_s(x, y) =e^iπx2+y

2 λR

M = ^R+z_R (3.49)

De la même façon, il y a un phénomène de dilatation des distances dans le cas de l’illu-mination d’un réseau par une onde sphérique, (CLOETENSet al.,1999), de telle sorte que la distance dilatéeds’exprime selon le rayon de courbure de l’onde sphériqueRet la distance au réseauzpar la relation :

d=z R

R−z (3.50)

Pour l’aimant de courbure de la ligne Métrologie le facteur de grandissement M est égale à1,003, pour une distance de propagation derrière le réseau de l’ordre de dix centi-mètres. De plus nous évaluons une dilatation de la distance d’un facteur1,004dans le cas de la distance de Talbot fractionnaire ZT/4 = 12cm à 10keV. L’effet est donc négligeable.

Nous verrons par la suite que dans le cas de l’instrument développé sur la ligne Métrologie, nous restons dans ces gammes de distance de propagation. Par conséquent, nous validons l’hypothèse de faisceau collimaté pour la réalisation des simulations et dans la suite du ma-nuscrit nous négligerons ces effets de dilatation. Cependant, il est à noter que l’instrument sera sensible à la courbure du front d’onde aussi faible soit-elle.

3.3.4.1 Cohérence spatiale

Une seconde approximation faite consiste à considérer la source comme parfaitement cohérente spatialement et temporellement ; cependant, nous avons vu que cette cohérence n’est que partielle. Ces effets ont été très largement étudiés et quantifiés [(WEITKAMPet al., 2006), (BECH,2008)]. La référence (WANGet al.,2010) reprend le calcul dans le cas2D, en supposant une source gaussienne de largeur à mi-hauteur∆^s_x,y projetée sur la caméra avec une taille∆^px,yen fonction des distances du réseau à la sourceDet de la détection au réseau z.

FIGURE3.20: Schéma cohérence spatiale.

∆^p_x,y= ∆^s_x,y z

D. (3.51)

AvecD= 32m, et une taille de source en vertical de59µmet en horizontal de141,3µm (largeurs à mi-hauteur), nous obtenons pour une distancezde10cm, des tailles de source projetées de l’ordre de 0,18µm et 0,44µm en vertical et en horizontal respectivement. La fonction gaussienne de source projetée se convolue avec la distribution d’intensité dans le cas parfaitement cohérent. Par conséquent, selon la période des franges générées, le contraste de celles-ci peut fortement se détériorer voire même s’annuler. Pour un réseau de période 6µmgénérant des franges reproduisant la structure en damier à différentes positions d’auto-imagerie, l’effet de perte de contraste par convolution reste modéré pour des distances de l’ordre de la dizaine de centimètres, en revanche à1m, la taille de source projetée est 10 fois plus élevée. Elle atteint1,8µmen vertical et4,4µmen horizontal. Le contraste tend à s’an-nuler comme on peut le constater sur la figure3.21et les franges détectées deviennent quasi rectilignes en horizontal. Ainsi, on considérera que la distance d’analyse derrière le réseau de diffraction est limitée par la cohérence transverse horizontale de la source dans le cas de la ligne Métrologie.

FIGURE3.21: Effet cohérence spatiale en vertical et en horizontal dans le cas d’un réseauπ/2de pas6µmà10keV pour la source de la ligne Métrologie.

De façon plus globale, ces effets sont à l’origine de l’introduction d’un troisième réseau de diffraction souvent appelé réseau de cohérence dans la transposition de l’interféromètre à deux réseaux des sources synchrotrons vers les sources de laboratoire de type tube X.

La cohérence réintroduite par effet Lau (JAHNS et LOHMANN, 1979) est liée à la création de sources secondaires par diffraction. Celles-ci interfèrent de façon constructive à des dis-tances discrètes et permettent de réaliser l’analyse de franges d’interférences même dans le cas d’une source incohérente.

3.3.4.2 Cohérence temporelle

Nous allons désormais nous intéresser à l’effet de la cohérence temporelle partielle de la source. Celle-ci est en général un facteur de dégradation du contraste des franges moins dramatique que la cohérence spatiale. L’interférogramme en polychromatique peut être vu comme la somme des contributions à chaque énergie pondérée par les coefficients du spectre de la source. Dans le cas de l’effet Talbot, nous avons vu que la dépendance en longueur

3.3. Effet Talbot

d’onde de la distance de Talbot engendre des contractions et dilatations en z, avec une va-riation de maillage de franges selon l’accord à l’énergie considérée et selon la distance où l’on se place.

Par conséquent, nous pouvons imaginer, à partir d’une configuration à une distance fixe et à une énergie donnée pour laquelle le contraste des franges est initialement suffisant, qu’en élargissant la bande modérément l’on retrouve une somme de distribution d’intensité proches et donc que les interférences ne soient pas totalement destructives. Les franges ne se brouillent pas totalement, et le maillage subsiste avec une perte de contraste (ENGELHARDT

et al.,2008). Nous avons représenté la distribution d’intensité en propagation pour un réseau simulé en diamant accordé à π à15keV illuminé par le spectre de la ligne entre10-30keV (figure3.22).

FIGURE 3.22: Effet de la cohérence temporelle partielle de la source. Simu-lation des franges générées en propagation par le réseau pour le spectre de la ligne Métrologie tronqué entre 10et30keV. Nous constatons la stabilisa-tion des battements du maillage de franges après la distance panchromatique

Zpanchro.

Nous retrouvons le phénomène d’effet panchromatique décrit par [(PRIMOTet GUÉRI

-NEAU,2000), (GUÉRINEAU, HARCHAOUIet PRIMOT,2000)], qui fait état de la stabilisation des battements des franges en propagation à partir de la distance panchromatiqueZ_panchro définie par3.52. Dans le domaine des rayons X ce phénomène a également été reporté (RIZZI

et al.,2011), et nous pouvons calculer sur la bande spectrale fixée de10-30keV, pour un ré-seau de période6µm, une distance panchromatique de87cm.

Zpanchro= 2 p²

∆λ (3.52)

Cet effet a été très étudié dans différents domaines de longueur d’onde, car il permet grâce à l’élargissement spectral de retrouver une propagation de l’intensité proche de celle du cas idéal d’un réseau sinusoïdal à deux dimensions avec un maillage de franges invariant par propagation. Il est d’ailleurs à l’origine de la conception du premier banc développé sur la ligne Métrologie (RIZZI,2013).

Cependant, celui-ci ne répond pas à l’ensemble du besoin que nous avons formulé. En effet, bien qu’il soit possible de figer la distance entre réseau de diffraction et détection à une valeur supérieure à la distance panchromatique, l’instrument ne convient pas à une utilisa-tion autre qu’en faisceau polychromatique avec l’ensemble de la bande spectrale prise en

compte lors de la conception, et en faisceau monochromatique à la longueur d’onde d’ac-cord définissant le déphasage deπ. En dehors de ces deux configurations, la stabilisation du maillage n’est plus vraie, des battements sont réintroduits comme en figure3.18. Les varia-tions de maillage se répercutent sur le contraste des franges et donc sur les performances de mesure.

D’autre part, cette stabilisation ne se fait qu’à partir de la distance panchromatique et nous l’avons estimée à87cm. Cette valeur est trop élevée et va à l’encontre du développe-ment d’un instrudéveloppe-ment compact. Pour la diminuer il faudrait soit changer la bande spectrale, ce qui n’est pas possible physiquement, soit diminuer la période du damier d’un facteur 2√

2pour obtenir un facteur8sur la distance. La période du réseau serait de l’ordre de2µm et la structure diffractante plus difficile à réaliser.

D’autre part, du fait des propriétés physiques de la source, la cohérence spatiale réduit le contraste des franges à plus grande distance. Notamment, nous avons vérifié expérimen-talement (figure3.23) la chute de contraste à grande distance sur la ligne Métrologie avec un réseau en or d’épaisseur3µmet de période bidimensionnelle6×6µm². Il y a une incompa-tibilité entre la mise en place de cette configuration interférométrique exploitant le régime panchromatique et les propriétés de la source.

FIGURE3.23: Interférences en faisceau blanc sur la ligne Métrologie. Les in-terférogrammes sont acquis par une détection indirecte derrière un réseau en or de période6×6µm²dont les dames déphasantes mesurent3µmd’épais. a) 10,7cm, b)30,7cm, c)65,7cm. On distingue la perte de cohérence en

horizon-tal du fait des propriétés de la source.

L’ensemble de ces raisons justifie le développement d’un concept interférométrique in-novant en rupture avec ce qui a déjà été reporté dans la littérature. Afin d’orienter la re-cherche d’une nouvelle configuration interférométrique, nous allons développer les calculs de diffraction des réseaux en damier.