Diffraction de ce type de réseaux

Reprenons l’équation de propagation d’une onde 3.24, afin de calculer la distribution d’intensité générée par la propagation d’une onde onde plane à travers un damier diffrac-tant. L’intensité s’écrit en tout point de l’espace :

I_z(x, y) =

+∞

X

m=−∞

+∞

X

n=−∞

V_m,n(z)e^{2iπp (mx+ny)} (3.72)

Cette équation décrit alors l’intensité comme une somme de modulations sinusoïdales unidimensionnelles de période et d’orientation variable dans le plan(x, y) et pondérée en amplitude par une fonctionVm,n(z). Chaque modulation sinusoïdale de fréquence spatiale (m/p, n/p)est issue des interférences de tous les couples de répliques propagées{U_q+m,l+n, U_p,l}, etVm,n(z)s’écrit :

Vm,n(z) =

+∞

X

q=−∞

+∞

X

l=−∞

Cq+m,l+nC_q,l^∗ eⁱ(^Φq+m,l+n(z)−Φ_q,l(z)) (3.73)

AvecΦq,l le déphasage dû à la propagation de la répliqueUqlselon l’ordreCq,l : Φ_q,l(z) = π

p²λz q²+l²

(3.74) Cette phase accumulée en propagation correspond à une équation de cercle. Nous défi-nirons alors des groupes d’ordres de diffraction. Par exemple, le groupe d’ordres 1 regroupe tous lesC_q,ltels queφ_q,l = ^2π_p λz. Chaque ordre d’un même cercle subira le même déphasage en propagation que les autres ordres du même groupe. Cette phase étant la seule quantité dépendante dezdans l’équationVm,n(z), elle est la seule responsable de l’évolution de la distribution d’intensité enz. De plus cette phase étant définie à2πprès, nous pouvons nous attendre à retrouver à partir de cette fonction les variations périodiques de structuration de la lumière observées dans le cas de l’effet Talbot du chapitre précédent. La figure3.27 repré-sente les ordres diffractés par le réseau et la nomenclature de regroupement avec les quatre premiers cercles d’ordres.

FIGURE3.27: Nomenclature des cercles d’ordres de diffraction

3.4. Théorie des damiers diffractants

À la lumière de ce constat et d’après les équations3.73,3.74, nous retrouvons la propriété d’invariance par propagation, décrite dans les références [(MONTGOMERY,1967), (DURNIN, 1985)], pour toutes interférences générées par recouvrement des répliques issues d’ordres appartenant à un même cercle. En effet pour chacun de ces ordres le déphasage φ est le même quel que soit z. La fonction de pondération devient indépendante dez, la distribu-tion d’intensité est alors constante. En revanche, il n’en est rien pour les interférences entre ordres de cercles différents. Ces dernières nous intéressent donc plus particulièrement et nous tâcherons de les décrire dans la suite de ces développements.

Néanmoins le calcul de la valeur exacte de cette fonctionV_m,n peut être fastidieux selon la modulation d’indice(m, n)considérée et le nombre d’ordres impliqués. Afin de limiter la complexité des calculs tout en veillant à rester représentatif du phénomène physique, nous restreindrons en premier lieu l’ensemble des modulations étudiées et chercherons à limiter le nombre d’ordres pris en compte dans le calcul. Dans la pratique, nous travaillerons avec une approximation à17ordres du réseau, en tenant compte de l’ordre0et des cercles1,2et 3d’ordres de diffraction.

Afin de suivre les propriétés de diffraction de ce réseau modèle, nous utiliserons la trans-formée de Fourier. Appliquée à l’équation3.72de l’intensitéIz, elle révèle un spectre discret, dont les harmoniques sont placés tous les(m/p, n/p)avec une amplitude complexeV_m,n(z).

Nous noterons ces harmoniquesHm,n(z), et le spectre s’écrit mathématiquement :

I˜_z(x, y) =

Ainsi, suivre l’évolution enzd’une harmoniqueHm,n(z)permet alors de remonter à la fonction complexe V_m,n(z) caractéristique de la diffraction en propagation du réseau. De plus, ce choix théorique concernant la description du phénomène de diffraction au travers d’un suivi dans l’espace de Fourier est totalement cohérent avec le fait que nous avons choisi d’extraire l’information des interférogrammes par démodulation Fourier (chapitre4).

Du fait de la géométrie du damier, et de la répartition dans l’espace fréquentiel des ordres de diffraction du réseau, seules les harmoniques telles que| m | + | n |= 2k,k ∈ Nsont excitées. Voici en figure 3.28 a) un interférogramme type simulé dans le cas d’un réseau accordé àπ/2à une distance d’observation depuis le réseau de0,2ZT, et échantillonné de sorte à avoir 6 pixels par période de réseau. Nous reviendrons plus particulièrement sur les problématiques d’échantillonnage du signal par la caméra et le filtrage des harmoniques dans le prochain chapitre. L’interférogramme et le module de son spectre sont donnés ici à titre illustratif3.28b).

Le nombre de modulations présentes dans l’interférogramme dépend des paramètres du système de détection ; notamment, de l’échantillonnage qu’il introduit et du filtrage des franges d’interférences qu’il impose. Dans le cas de la figure3.28, l’interférogramme se dé-compose en seulement 6modulations sinusoïdales, menant dans l’espace fréquentiel à 12 harmoniques en plus de l’harmonique centrale. Ce premier constat permet de réduire le nombre d’harmoniques que nous allons étudier.

Nous constatons par ailleurs que les harmoniques de plus forte intensité sont l’har-monique centrale H_0,0 et le couple (H_1,1, H−1,1). D’autres, de fréquences porteuses plus élevées sont également présentes comme (H2,0, H0,2), et (H2,2, H−2,2). Le filtrage du plan

FIGURE 3.28: Suivi des harmoniques de l’interférogramme ; a) Interféro-gramme simulé pour un réseau π/2 à 0,2ZT pour un échantillonnage de6 pixels par période de réseau, b) Module carré du spectre de a), c) Transformée de Fourier inverse de b) filtrée de sorte à annuler l’ensemble du plan Fourier sauf les harmoniquesH1,1etH−1,1, d)Idemmais en conservant cette fois les harmoniques H0,2 etH2,0. Sur c) et d) nous avons également représenté en

bleu la structure du damier du réseau.

Fourier consiste à ne sélectionner que les couples d’harmoniques d’intérêt(H1,1, H−1,1)ou (H_2,0, H_0,2). Par transformée de Fourier inverse, nous pouvons accéder aux maillages cor-respondant [3.28 b)]. Le premier est associé à un maillage re produisant la géométrie en damier du réseau [3.28c)], alors que le second est associé à un maillage de fréquence double présentant2×2franges par période de réseau [3.28d)]. Nous remarquerons que ces deux maillages, auxquels nous ferons référence comme étant le maillage en damier et le maillage doublé dans la suite de ce manuscrit, sont caractéristiques des franges diffractées par un réseau de phase de typeπ/2pour le premier et de typeπpour le second. Par conséquent, le suivi de ces deux couples d’harmoniques nous permettra de retrouver et démontrer l’évo-lution en propagation de la figure d’interférence telle que nous l’avons observée en2Ddans la section précédente.

En dehors de l’harmoniqueH_0,0, l’expression de leur amplitudeV_m,n est relativement complexe car beaucoup de couples de répliques(Uq,l, Uq,⁰l⁰)y contribuent, notamment tous ceux vérifiant la condition :

∀(m, n)∈N

m=q−q⁰

n=l−l⁰ (3.76)

3.4. Théorie des damiers diffractants

L’harmonique centrale est donc égale à la somme des énergies diffractées dans chaque ordre. Elle est constante, ce qui se traduit, en propagation, seulement par une variation de la structuration de la lumière, et non une variation de l’énergie globale diffractée.

Dans le cas de l’harmoniqueH1,1, il n’y a que deux couples de répliques satisfaisant la condition 3.76:(U_0,0, U_1,1) et(U_0,0, U−1,−1). La propriétéC_q,l = C−q,l = Cq,−l = C−q,−l

permet de justifier dans le cas d’une onde plane queH1,1 =H−1,1 =H1,−1 =H−1,−1. Ainsi nous ne détaillerons que le calcul de l’amplitudeV1,1(z)deH1,1:

V_1,1(z) =C_1,1C_0,0^∗ e^{i(φ11(z)−φ0,0(z))}+C_0,0C_−1,−1^∗ e^{i(φ0,0(z)−φ−1,−1(z))}

Concernant le calcul de l’amplitude des harmoniquesH_2,0 et H_0,2, nous remarquerons queC_q,l = C_l,q ce qui mène également à l’égalité entreH_2,0(z)etH_0,2(z). Nous ne détaille-rons donc que le calcul deV2,0. Celui-ci fait intervenir beaucoup plus de couples d’ordres de diffraction ; en effet les répliques satisfaisant la condition3.76sont(U_1,1, U−1,1),(U_1,3, U−1,3), (U_3,1, U_1,1),(U−1,1, U−3,1)et enfin(U_3,3, U_1,3),(U−1,3, U−3,3)ainsi que leurs symétriques par rapport à l’axeνx. Ce calcul étant plus lourd il sera détaillé en annexeCdans le cas général d’une onde aberrante, le cas d’une onde plane se retrouvant à partir de ce dernier.

V_2,0(z) = 2E_1,1

En conclusion, à partir des calculs des coefficients du spectre de la fonction de trans-mittance du réseaux, nous avons pu dans cette partie décrire mathématiquement les lois d’évolution en propagation des harmoniques d’intérêts en fonction des paramètres de trans-mission et de déphasage du réseau. Ces équations révèlent une évolution sinusoïdale à une seule fréquence lorsque l’on ne considère que les ordres de diffraction contenus dans les trois premiers groupes d’ordres du réseau, ce qui consiste en une approximation à 17 ordres de diffraction. Dès lors que l’on considère la diffraction d’ordres supérieurs, la dépendance en zdes harmoniques sera décrite comme la somme de sinusoïdes de périodicités de plus en plus élevées, liées au terme de phase accumulée en propagationφq,l.