3.4 Théorie des damiers diffractants
3.4.1 Calcul des coefficients d’un damier quelconque
Afin de mener le calcul des coefficients de la transformée de Fourier de la fonction de transmittance du réseau, nous choisissons de considérer le damier tourné de45◦par rapport aux axes (x,y) usuels dans le but de faciliter le calcul. Nous reviendrons à une orientation classique sans rotation dans un second temps.
FIGURE3.24: Damier et conventions mathématiques de calcul.
Dans ce repère, et selon les notations de la figure3.24, la fonction de transmittance corres-pond à la combinaison de deux maillages de pas identiquea, dont les dames sont tournées de45◦, avec des amplitudes complexesAetB. Si(A, B)∈C, c’est afin de rendre compte de la possibilité que les dames soient à la fois déphasantes et absorbantes. Par rapport au centre du repère, ces deux maillages sont translatés d’une quantité a2, aveca=p/√
2, selon l’axex pour le réseau de dames “blanches” (B), et selon l’axey pour le réseau de dames “noires”
(A).Tcres(x, y)s’écrit alors comme la somme de ces deux maillages de dames : Tcres(x, y) = Où∗représente le produit de convolution, Xa,a représente un peigne de Dirac 2D de pas adans les deux dimensions, et Π45◦,p
2(x, y) une fonction porte à deux dimensions de largeur p2 et tournée d’un angle de45◦. On définira la fonction porte non tournée par :
Π0◦,p
2(x, y) =
1 si |x|≤ p4 et |y|≤ p4
0 sinon (3.54)
La transformée de Fourier de la fonction de transmittance s’écrit directement : T˜cres(νx, νy) =
Le calcul de la fonctionΠ˜45◦,p
2 transformée de Fourier de la fonction porte tournée est détaillée en annexeA. Du fait de la discrétisation du spectre par les peignes de Dirac fré-quentiels, le spectreT˜cresse réduit à :
La fonctionΠ˜ correspond alors à une pondération des coefficients du spectre issus de la transformée de Fourier de la forme géométrique élémentaire des dames du réseau. Elle fait donc apparaître naturellement une pondération en sinus cardinal (sinc(x) = sin(x)x ici).
En dehors du cas j = k = 0, où la fonction vaut1/2, on distingue deux cas. Soit la fonction est nulle, ce qui rejoint le fait que l’équilibre des surfaces “noires” et “blanches” du damier supprime les ordres pairs de la fonction de transmission du réseau. Dans ce cas la fonction s’annule car :
π
2(j−k)∝π et/ou π2(j+k)∝π (3.58) Soit la fonction ne s’annule pas puisque :
π
2(j−k)∝ π2 et π2(j+k)∝ π2 (3.59) Dans ce second cas elle se réduit à une expression simplifiée :
Π˜45◦,p
3.4. Théorie des damiers diffractants
Appliquons ce calcul au cas d’un réseau de diffraction dont les dames “noires” prennent l’amplitude complexeA = teiϕ, et dont celle des dames “blanches” sont réduites àB = 1 Il s’agit du cas d’un réseau de phase quelconque avec les dames “noires” représentant le maillage en sur-épaisseur de matière avec un effet de phase. Nous proposons de revenir à une notation plus usuelle avec un réseau non tourné de45◦. Pour cela, il suffit d’appliquer un changement de coefficients tel queq =j−ketl=j+k.
Détaillons les expressions des coefficients de la transformée de Fourier de la fonction de transmittance du damier. Le premier cas correspond au coefficientC0,0tel que(q, l) = (0,0):
C0,0 = 1 A partir de cette dernière équation nous prouvons (annexeB) une propriété qui lie l’en-semble des coefficientsCq,lau coefficientC1,1:
Cq,l =−C1,1 Enfin, il vient de l’équation3.63:
Cq,l =C−q,l =Cq,−l=C−q,−l (3.65) Afin de pouvoir analyser le comportement des différents types de réseaux en damier, nous allons calculer l’énergie des ordres de diffraction pondérés par ces coefficients Cq,l. Commençons par l’énergie de l’ordre 0 :
E0,0 =C0,0C0,0∗ = 1
4 1 + 2tcos(ϕ) +t2
(3.66) Pour les autres ordres de diffraction, nous allons nous appuyer sur3.63pour exprimer leur énergie diffractée : Cette dernière équation montre que, quel que soit le type de damier, l’évolution de l’éner-gieEq,lavec(q, l)6= (0,0)est toujours la même en fonction de la transmissiontet de la phase ϕ. Seul un coefficient (ql)12 intervient. La table3.1 montre le pourcentage d’énergie diffrac-tée dans chaque ordre par rapport à l’énergie E1,1. Nous considérerons dans la suite que les ordres ≤ 10% en relatif sont négligeables. Ceci est d’autant plus valide qu’en général les ordres de diffraction d’amplitudeC1,1, C−1,1, C1,−1, C−1,−1et donc d’énergieE1,1ne sont pas les ordres de diffraction principaux dans de nombreux cas.
TABLE3.1: ÉnergiesEq,lexprimées en relatif par rapport à l’énergieE1,1. E1,1 E1,3 E1,5 E3,3 E3,5 E5,5
%deE1,1 100 33 20 11 6,7 4
Nous avons représenté sur la figure3.26, la distribution des ordres de diffraction [a)], mais également une représentation en fonction de l’accord de phaseϕet de la transmissiont du réseau l’évolution des énergiesE0,0etE1,1respectivement en [b),c)]. Les énergies pour les ordres de diffraction supérieurs étant proportionnelles à la carte d’énergieE1,1 par le biais de la relation3.67, ces deux cartes nous renseignent sur le comportement de tout réseau en damier. Nous constatons que l’énergieE1,1est maximale pour un accord deπ et vaut16%.
Quatre ordres diffractent cette même quantité d’énergie ; nous retrouvons donc un total de 64%. À cet accord l’énergie de l’ordre0est nulle.
FIGURE3.26: a) Spectre d’un damier dans le cas général. Les ordres ayant une énergie diffractée supérieure à10%sont représentés en bleu, les autres en vert.
b) Évolution de l’énergie de l’ordre0en fonction detetϕ, c)Idempour l’ordre 1.
Ces équations se simplifient pour des valeurs remarquables detetϕcorrespondant aux réseaux usuels décrits dans la section précédente. La table 3.2 les regroupe. La première colonne (a.) de la table montre le cas d’un réseau de déphasage nul ou multiple de2π, mais qui peut avoir un effet de transmission partielle. Le cas ϕ = 0 correspond au cas, sans intérêt, d’une lame à faces parallèles. Il n’y a pas de structuration en damier, la transmission est uniforme sur l’ensemble de l’objet et par convention de calcul vaut1; il n’y a alors pas d’énergie diffractée dans les ordres de diffraction mis à part l’ordre0. Lorsque le déphasage des dames est proportionnel à2π, il y a bien une sur-épaisseur de matériau permettant de générer ce déphasage et l’objet correspond bien à une structure en damier. Dans ce cas, il y a un effet de diffraction uniquement si le matériau est absorbant. Sit = 1, seul l’ordre0 diffracte. En revanche, si la transmission de la dame est strictement inférieure à1(t < 1), nous retrouvons bien le cas d’un damier avec effet de transmission, sans effet de phase comme décrit en suivant :
( E0,0 = 14(1 +t)2
Eq,l = (π24ql)2(1−t)2 (3.68)
3.4. Théorie des damiers diffractants
La colonne suivante (b.) correspond au réseau de phaseπ. Nous calculons l’énergie de l’ordre0et des autres ordres d’index(q, l)6= (0,0):
( E0,0 = 14(1−t)2
Eq,l = (π24ql)2(1 +t)2 (3.69) En comparaison avec le cas précédent nous remarquerons que les comportements deE0,0
etEq,l sont inversés par rapport à la transmissiontdes dames. Il se retrouve sur les figures 3.26b) et c). D’autre part, l’énergieE0,0de ce type de réseaux est nulle grâce à l’accord dans le seul cas où t = 1. Dès lors que la transmission n’est pas parfaite, il y a réapparition de l’ordre 0 dont l’énergieE0,0croît à mesure que la transmission diminue. Cette augmentation se fait conjointement à une diminution de l’énergie diffractée dans les autres ordres, jusqu’à retrouver le cas limite lorsquet= 0d’un réseau à effet de transmission sans effet de phase.
Concernant le réseau de phaseπ/2(colonne (c.)) nous calculons : ( E0,0 = 14(1 +t2)
Eq,l = (π24ql)2(1 +t2) (3.70) Enfin pour un réseau de transmission binaire (colonne (d.)),t= 0out= 1:
( E0,0 = 14 Eq,l = (π24ql)2
(3.71)
Pour ces deux derniers réseaux, nous pouvons remarquer que l’expression de l’ensemble des énergies des ordres diffractés est proportionnelle à l’énergieE0,0d’un facteur 16π41(ql)2.
TABLE3.2: Expression mathématique des énergies dans les cas usuels.
a. b. c. d.
ϕ= 0(2π) ϕ=π(2π) ϕ= π2(2π) t= 0 E0,0 14(1 +t)2 14(1−t)2 14(1 +t2) 14
Eq,l 4
(π2ql)2(1−t)2 (π24ql)2(1 +t)2 (π24ql)2(1 +t2) (π24ql)2
Grâce à ces équations nous pouvons désormais réaliser une première analyse des portements diffractifs de tout type de réseau en damier. Nous remarquerons que deux com-portements semblent se dégager vis-à-vis de la transmission ; l’énergie de l’ordre 0évolue de façon contraire à l’énergie des autres ordres de diffraction pour les colonnes (a.) et (b.), alors que pour les deux colonnes (c.) et (d.) toutes les énergies suivent la même évolution.
D’autre part, nous avons observé sur les figures de Talbot en propagation dans la section précédente que parmi ces réseaux étudiés, seul celui accordé àπsans effet de transmission partielle (t = 1) ne présentait pas d’alternance du maillage de franges. Cette propriété de pseudo-guidage des franges est associée à l’annulation de l’ordre0. Afin de le vérifier et de quantifier les variations de maillage et de contraste des franges, il est désormais nécessaire de pousser le calcul jusqu’à la distribution d’intensité pour toute distance de propagation.