Démodulation Fourier en pratique

Dans la pratique, l’étape de démodulation consistant à opérer la transformée de Fourier inverse de l’harmonique de travail se réalise selon la procédure décrite par (TAKEDA, INAet KOBAYASHI,1982) par troncature d’un support autour de l’harmonique. La matrice extraite du spectre de l’interférogramme est alors insérée au centre d’une matrice de même taille que celle du spectre initial remplie de zéros, de façon à conserver le même échantillonnage, ainsi que la même taille d’image entre le jeu de dérivées extraites et l’interférogramme traité. Cette opération correspond à un filtrage du spectre de l’interférogramme de sorte à s’affranchir des autres modulations et permet l’extraction de la dérivée d’intérêt.

4.1.3.1 Dimension de la fenêtre d’extraction

La définition de la taille du support de l’harmonique est alors cruciale et impacte di-rectement l’information extraite. La largeur de la fenêtre d’extraction délimite l’extension maximale du spectre de l’harmonique analysée par la procédure de traitement des franges, et donc la fréquence maximaleνrrésolue par le traitement numérique. Cette fréquence maxi-male se relie à une dimension caractéristiquer dans l’espace réel, que nous considérerons comme étant la résolution spatiale de l’instrument, puisque tous détails inférieurs à cette di-mension sont filtrés par troncature de l’harmonique dans l’espace de Fourier.rse relie alors à la demi-largeurl_h de la fenêtre d’extraction, le nombre de pixels de l’imageN ×N et la largeur du pixelpixpar la relation4.11. La résolution dans l’espace réel étant inversement proportionnelle à la largeur de la fenêtre d’extraction, nous comprenons qu’il est préférable d’étendre le support de l’harmonique au maximum.

r = N

2l_hpix (4.11)

Seulement cette extension est limitée par les harmoniques adjacentes. En effet, afin de ne pas mélanger les informations portées par les différentes harmoniques, il est impératif de définir un support relativement restreint au moment de l’extraction de sorte à ne pas inclure une partie du spectre d’une autre harmonique. Une règle de conception raisonnable consiste alors à limiter l’étendue de la fenêtre à la distance entre les harmoniques. Nous avons vu qu’elles étaient disposées tous(m/p, n/p)avecple pas du réseau. Par conséquent, la largeur maximale totale2l_hse relie à la période du réseaup:

2l_hpix_{f req} = 1

p = 1

nb×pix = N

nbpix_{f req} (4.12)

De cette façon nous obtenons l’expression delh: lh = N

2nb (4.13)

Avecnb le nombre de pixels échantillonnant une période de réseau etpixf req le pixel numérique d’échantillonnage dans le plan Fourier. Ce qui se traduit donc par une taille de fenêtre maximale deN/nben nombre de pixels numériques dans l’espace de Fourier. Ainsi à taille d’imageN constante, il est préférable de peu échantillonner la période de réseau afin de pouvoir étendre au maximum la taille de la fenêtre d’extraction. Ceci est illustré sur la figure4.3pour trois échantillonnages différents,6,5,4pixels par période de réseau et donc par période de franges, puisque les franges reproduisent le damier du réseau.

4.1. Interprétation et extraction des informations contenues dans les interférogrammes

FIGURE 4.3: Plan Fourier de l’interférogramme en fonction de l’échantillon-nage des franges, a) Échantillonl’échantillon-nage de 6 pixels par période de réseau, b) Échantillonnage de5 pixels par période de réseau, c) Échantillonnage de4 pixels par période de réseau. En rouge ont été rajoutées les harmoniques de

fréquences supérieures qui peuvent être repliées.

4.1.3.2 Échantillonnage et repliement spectral

Nous rediscuterons du choix de l’échantillonnage dans la suite, car en réalité les13 har-moniques représentées dans la figure4.3ne sont pas les seules harmoniques générées par le réseau. Notamment les harmoniques de fréquences supérieures, telles que|m|+|n|= 6, à savoirH_5,1,H_1,5,H1,−5,H−5,1,H−5,−1,H−1,−5,H−1,5,H5,−1 peuvent être repliées dans le plan Fourier par “aliasing” si l’échantillonnage des franges est trop faible. La figure4.4 dé-crit ce phénomène de repliement spectral qui apparaît lors de l’échantillonnage d’un signal continu, comme dans le cas de nos franges d’interférences par la matrice du détecteur. Ce phénomène est directement dépendant de la fonction de transfert globale du système de détection, comprenant celui de la matrice CCD, et du système optique. Du fait de la périodi-sation générée par la TFD à la fréquence d’échantillonnage du signal transformé, le spectre entre[0,2ν_{N yquist}]avecν_{N yquist} = _2pix¹ , se décompose en4parties : celle non affectée par le repliement et correspondant aux basses fréquences du spectre de l’image, celle pouvant po-tentiellement être affectée par un repliement de fréquence et disposée proche de la fréquence de Nyquist délimitant le spectre accessible de l’image, la partie se repliant juste après la fré-quence de Nyquist, et enfin la zone non repliable proche de la fréfré-quence de périodisation ν = 2ν_{N yquist}.

Par conséquent, si des harmoniques de hautes fréquences générées par le réseau appar-tiennent à la partie C du spectre, elles peuvent être repliées dans le plan Fourier accessible par TFD de l’interférogramme. Cet effet a été symbolisé pour les trois cas d’échantillonnage des franges de la figure4.3 par les points rouges se rapprochant des basses fréquences du spectre au fur et à mesure que l’échantillonnage des franges diminue.

Ainsi, pour6pixels par période de réseau, l’ensemble de ces harmoniques en rouge sont placées en lisière du plan Fourier, aux fréquences de Nyquist. Pour5pixels par période de réseau, celles-ci se rapprochent et se positionnent à hauteur des harmoniques H2,2, H−2,2, H2,−2 etH−2,−2. Enfin, le cas4pixels par période de réseau est le plus “pathologique” car les harmoniques se retrouvent repliées exactement à la position des harmoniques de tra-vailH1,1,H−1,1,H1,−1 etH−1,−1, biaisant ainsi inévitablement la mesure par inclusion des harmoniques repliées.

FIGURE 4.4: Problématique de repliement spectral illustrée sur le domaine fréquentiel entre[0,2νN yquist].

Il y a donc un compromis à trouver, concernant l’échantillonnage, entre la résolution souhaitée associée à l’extension de la fenêtre d’extraction et la pureté du signal extrait. Nous choisirons dans notre cas un échantillonnage de6pixels par période de réseau, soit3pixels par frange blanche et 3 pixels par frange sombre dans les deux dimensions. Ainsi, nous limitons au maximum le phénomène de repliement au niveau des harmoniques de travail.

4.1.3.3 Dynamique

En fixant ainsi l’échantillonnage, la position de l’harmonique dans le plan Fourier (pour un éclairement collimaté) l’est également, ainsi que l’extension du support d’extraction.

D’autre part, nous avons vu dans le cas1Dque la courbure provoque un déplacement des harmoniques dans le plan Fourier ; par conséquent, à fenêtrage fixe, l’harmonique se déplace dans la fenêtre et la dynamique de mesure de l’appareil correspond au déplacement maxi-mum alors mesurable. Il est ici delhpixf req = 1/(2p). De plus, nous avons vu dans le cas de la courbure que le terme enax² se traduit par un basculement des dérivées, pour l’har-moniqueH1,1 celui-ci s’écrit ⁴

√ 2π

p azx. De même, en utilisant la propriété de la transformée de Fourier d’une exponentielle complexeT F

eⁱ⁴

√ 2π p azx

= δ(νx−νa), avecνa = ²

√2az p , on trouve pour une translation dans l’espace fréquentiel d’une quantitélh.pixf req la relation :

l_h.pix_{f req} = 1

2p = 2√ 2az

p (4.14)

Nous obtenons ainsi l’expression du coefficientaen suivant. Elle est toujours vraie, quel que soit l’échantillonnage des franges si la taille de la fenêtre est fixée à1/p:

a= 1 4√

2z (4.15)

Sachant que le rayon de courbureRde l’onde s’écritR= _2a¹ , nous obtenons la relation :

4.1. Interprétation et extraction des informations contenues dans les interférogrammes

R = 2√

2z (4.16)

Par conséquent, pour un interféromètre dont la distance réseau détection est de l’ordre de 10cm (Z_T/4 = 12.7cm à 10keV pour un réseau de pas 6µm), nous trouvons un rayon de courbure mesurable maximum de ±28.2cm pour un déplacement de l’harmonique de part et d’autre de la fenêtre d’extraction. Cette valeur est suffisante pour nos applications de métrologie optique dans le domaine des rayons X durs.

4.1.3.4 Déroulement des dérivées

De façon conjointe, fixer le fenêtrage dans le plan Fourier de l’interférogramme, et laisser l’harmonique se déplacer dans celle-ci, peut engendrer des effets de repliement des valeurs des dérivées. Ce repliement s’explique par le fait que les dérivées sont extraites de l’argu-ment de l’exponentielle complexe, ce dernier correspond à un angle défini modulo2π. Cet angle est compris dans l’intervalle[−π, π[lors de notre procédure d’extraction. Dès lors que le front d’onde analysé possède une courbure relativement élevée, des phénomènes de re-pliements des dérivées sont observables.

FIGURE 4.5: Illustration de la problématique de déroulement des dérivées, a) Angle extrait dans le cas de l’analyse d’une onde plane pour un harmo-nique parfaitement centrée dans la fenêtre d’extraction, b) Angle extrait dans le cas de l’analyse d’une onde sphérique générant un déplacement de3pixels fréquentiels selonνxetνy, c)Idemque b) dans le cas d’un déplacement de

l’harmonique de30pixels fréquentiels selonνxetνy.

Sur la figure4.5a), b) c), nous nous plaçons dans le cas de l’analyse d’une onde théorique dont le support est circulaire et inclu dans une image401×401pixels. Nous choisissons une taille d’image impaire de sorte à pouvoir centrer exactement le support de l’extraction sur le maximum de l’harmonique (dans le cas d’une onde plane). L’échantillonnage des franges est de6pixels par pas de réseau et nous analysons l’angle de l’exponentielle complexe associée à l’harmonique H1,1. La taille de la fenêtre d’extraction est alors de N/6 ≈ 67 pixels, et le déplacement maximal de l’harmonique de bord à bord de la fenêtre et dans les deux dimensions est de33pixels à partir du centre.

Nous avons représenté trois cas ; le premier correspond à l’angle extrait dans le cas d’une onde plane ; l’harmonique est parfaitement centré dans sa fenêtre d’extraction, l’angle est nul [a)]. Le second correspond à l’angle extrait lorsque l’on analyse un front d’onde courbe générant un déplacement de l’harmonique de3pixels fréquentiels selon les directionsνxet

νy[b)]. Le déplacement est faible et représente10%de la dynamique de mesure qui permet d’analyser un déplacement jusqu’à±33pixels dans les deux dimensions. Nous dénombrons alors4 repliements de l’angle. Enfin, pour un déplacement presque maximal de30 pixels de sorte à illustrer le cas d’une forte courbure en limite de dynamique de mesure, nous comptons alors plus de37repliements de l’angle.

FIGURE4.6: Opération de déroulement des dérivées, a) Résultat du déroule-ment de4.5b), b) Résultat du déroulement de4.5c).

Cette problématique de repliement est commune à différents domaines de recherche dont notamment la synthèse d’ouverture radar et l’interférométrie. Afin de s’affranchir de ce phénomène, différents algorithmes dit de “phase unwrapping” permettent de dérouler la phase (ou le mesurande associé). De nombreux algorithmes ont été proposés depuis la fin des années70et l’ont peut regrouper la plupart d’entre eux en trois catégories : les mé-thodes de minimisation par moindres carrés [(FRIED,1977), (GHIGLIAet PRITT,1998)] ; les méthodes dites de “Branch Cuts” [(GOLDSTEIN, ZEBKERet WERNER,1988), (PRATI, GIANI

et LEURATTI,1990)] reposant sur l’intégration de la différence de pixels voisins en évitant les zones de dislocation pour lesquelles la valeur de la différence est incohérente ; enfin, les méthodes dites de “Network Flow” (COSTANTINI,1998) se différenciant des méthodes

“Branch Cuts” par le fait qu’elles n’évitent pas l’intégration dans les zones de discontinuités mais qu’elles quantifient la valeur de cette discontinuité et cherchent ensuite à minimiser l’ensemble des discontinuités de l’image.

Pour la suite de ces travaux de thèse, nous avons repris l’algorithme “cunwrap.m” codé à partir de (COSTANTINI,1998) et proposé en libre accès sur la plateforme “MATLAB Central”

par Bruno Luong. L’application de cet algorithme sur les dérivées b) et c) de la figure4.5 mène aux dérivées déroulées sans artefact a) et b) de la figure4.6. Les valeurs PV sur l’angle sont alors respectivement de8πet75,4π, valeurs cohérentes avec le nombre de repliements de hauteur2πobservés sur les figures4.5b) et c).

4.1.3.5 Soustraction des aberrations du montage

Enfin, lors de l’opération de démodulation, l’algorithme extrait dans le cas réel les in-formations concernant le front d’onde analysé mais également celles se regroupant sous un autre terme Wab(x, y) correspondant à la somme des aberrations intrinsèques de ment. Elles sont associées par exemple aux conditions d’utilisation, au montage de l’instru-ment ainsi qu’aux défauts que chaque élél’instru-ment constitutif peut introduire dans la mesure.

La contribution de ce terme d’erreur se fait pour chaque harmonique. Nous développerons