plus petit au plus grand) les cinq nombres : 15,5; 15,078; 15,349; 15,41; 15,069»
(Grisvard et Léonard, 1981, p.459)
d.1. 47 des 76 élèves de 1re secondaire et 38 des 58 élèves de 2e secondaire ordonnent correctement les cinq nombres.
Élèves 1re et 2e secondaire d.2. Les élèves sont invités à ordonner
les fractions suivantes : 3/7, 5/9, ½, 255/510, 7/35, 171/340, 3/8, 6/11, 7/8, 251/504, 8/9.
(Lemoyne, 1992, communication)
d.2. Environ 1/3 des élèves essaient de trouver un dénominateur commun et plusieurs utilisent, sans succès, la calculatrice. Plus de la moitié des élèves ne considèrent que les numérateurs ou les dénominateurs pour ordonner les fractions.
Élèves de 6e année et de 1re secondaire d.3. Place ces nombres du plus petit
au plus grand : 0,002; 10/10; 0,6; 7/100; 60/100; 0,50; 0,05;20/100; 0,2. (Mazzocco et Devlin, 2008, p. 683)
d.3. Plusieurs ont comparé les nombres décimaux et les fractions sans les traiter conjointement : tous les nombres décimaux figurent avant les fractions ou inversement. Plusieurs élèves ordonnent ainsi les nombres :. 0,2; 0,6; 7/10; 10/10; 0,05; 20/100; 0,50; 60/100; 0,002. On note plusieurs erreurs similaires à celles observées aux études précédentes : les élèves ne tiennent pas compte de la virgule, ordonnent en fonction du nombre de chiffres après la virgule ou du numérateur uniquement, etc. Peu d’équivalences sont prises en compte (ex. 0,5 et 0,50).
Les difficultés liées à la comparaison et à la sériation (tâches d.1. à d.3.) de nombres rationnels ne surprennent guère étant donné que les élèves prennent appui sur leurs connaissances des nombres entiers, ce qui est tout à fait légitime, si l’on considère le processus d’apprentissage du nouvel objet «nombres rationnels» et la durée de leur fréquentation avec les nombres entiers. L’extrapolation de leurs connaissances sur les nombres entiers «contaminent» cependant leurs résultats, lors de la comparaison et de la sériation, car les règles de comparaison des nombres rationnels diffèrent de celles qu’ils ont précédemment construites sur les nombres entiers. Encore faut-il que les situations proposées favorisent la mise à l’épreuve de ces règles. En effet, si dans plusieurs activités, elles peuvent être sollicitées et produire le résultat attendu (ex. 3,7 + 4,2), ce n’est pas le cas dans les tâches de sériation/comparaison de nombres décimaux proposées par les chercheurs (Charnay et al., 1999; Comiti et Nevret; 1979; Grisvard et Léonard, 1981; Perrin-Glorian, 1986 ; Roditi, 2008). En effet, l’exposition à des nombres qui ne comportent pas le même nombre de chiffres dans la partie décimale (tâches d.1. et d.3.) a d’abord permis à Grisvard et Léonard (1981) de mettre en exergue différentes règles implicites de comparaison auxquelles les élèves font référence selon la quantité de nombres à sérier et la nature de ces nombres (présence d’un 0 à la position des dixièmes, nombre de décimales). Plusieurs chercheurs décrivent, chez les élèves, un traitement des nombres décimaux comme des couples de deux nombres entiers séparés par une virgule. Ainsi, les élèves croient que 7,8 sera plus petit que 7,18, puisque 8 est plus petit que 18. Ils peuvent aussi considérer que plus la partie décimale comporte de chiffres, plus le nombre est grand (ex. 7,06 est plus grand que 7,9) ou, au contraire, comme le soulignent Grisvard et Leonard (1981), plus le nombre est petit. Cette dernière interprétation semble relever d’une tentative de conciliation et d’adaptation tenant compte de la valeur de position de la partie décimale.
Quant aux résultats obtenus par Bolon (1996, p.419), la plupart des élèves échouent à la tâche de sériation de nombres décimaux et «attachent sans doute plus
d'importance à l'écriture (le costume) du nombre qu'à sa signification (globalité du nombre, fractionnement de l'unité, valeur portée par chaque chiffre) et perçoivent le nombre décimal comme une juxtaposition de nombres entiers. La tentation est alors forte
de transposer sur les décimaux ce qui "marche" avec les entiers. La faible augmentation des pourcentages de réussite du CM1 à la 5e montre bien que les nombreux retours sur les décimaux effectués en CM2, 6e et 5e modifient peu la représentation première des élèves».
D’ailleurs, Boulet (1993) a obtenu des résultats fort similaires à ceux présentés antérieurement, et ce, auprès d’étudiants universitaires. En effet, lors de tâches d’ordonnancement et de conversion de nombres décimaux et de fractions, 32% des étudiants affirment que 2,19 est plus grand que 2,199; 11,5% estiment que 0,001 est plus grand que 0,100; 54,5% des étudiants ne peuvent exprimer 0,517 comme une fraction irréductible et ce taux s’élève à 78% pour 21,108. Enfin, 50% des étudiants ne savent représenter 7/8 sous la forme d’un nombre décimal. D’autre part, Roditi (2008) souligne que les erreurs de comparaison de nombres décimaux sont plus fréquentes, chez les élèves « faibles », lorsqu’il y a absence de contextes dans lesquels les nombres expriment des mesures alors, que c’est le contraire chez les autres élèves. « L’interprétation de ces
résultats contrastés est difficile, nous proposons deux hypothèses. Pour les élèves qui ne sont pas en difficulté, l’écriture suffit à accéder au sens du nombre et le contexte est un ensemble d’informations supplémentaires à gérer, qui peut induire en erreur. » (Roditi,
2008, p.16). De prime abord, cette interprétation est assez étonnante! Nous sommes en effet quelque peu perplexe quant aux deux hypothèses émises; peut-être que les élèves qui ne sont pas «faibles» ont été soumis à des activités qui leur permettent désormais de donner sens aux écritures, de les comparer, alors qu’avec les élèves en difficultés d’apprentissage, l’ajout d’un contexte leur permet d’interpréter les écritures, ces élèves ayant possiblement reçu un enseignement plus «techniciste». Nous aurons l’occasion de revenir sur cet aspect dans la partie sur les difficultés liées à la résolution de problèmes par l’entremise de recherches comparant diverses tâches contextualisées et non contextualisées portant sur les concepts et les opérations (Irwin, 2001 et Heller, Post, Behr et Lesh, 1990 ; Krikorian, 1996).
En ce qui concerne la comparaison et la sériation de fractions (d.2), la surexploitation de la fraction «partie-tout» et de la «concrétisation» de ce concept sous forme de représentations stéréotypées nous semblent limiter considérablement les «accès» de comparaison. Nous pensons que cette situation peut expliquer les commentaires déstabilisants des élèves dans la comparaison de ½ et 1/3 : « Voulez-vous
dire « la taille des pièces » ou « le nombre de pièces ?» (Post and Cramer, 1987, p. 34,
traduction libre). De plus, Moss et Case (1999) ont montré l’influence d’une conception limitée du sens partie-tout: les élèves considèrent que 2/3 et ¾ sont des fractions égales compte tenu qu’il leur manque une partie pour compléter l’entier. Cramer, Post et Delmas (2002) ont pour leur part exposé les répercussions de la disponibilité d’une seule stratégie de comparaison : les élèves recherchent le dénominateur commun même lors de la comparaison de 4/5 et 4/10! Par ces résultats, nous pouvons facilement entrevoir la complexité, mais également la richesse, de la réalisation de tâches, telle la tâche d.2., dans laquelle la recherche du dénominateur commun n’est pas aisée. En effet, le choix des nombres oblige les élèves à exploiter et construire diverses connaissances : fraction repère (1/2 et 1); exploitation de composition additive; exploitation du sens rapport (ex. 251/504). Ce travail est loin d’être négligeable si nous considérons que des élèves du secondaire, dans le cadre d’un cours d’algèbre, affirment que 1/1+x est plus grand que 1/x, car 1+x est plus grand que x (Biddlecomb, 2002).
De surcroît, la présence de différents représentants de nombres rationnels (d.3) complexifie leur comparaison. En effet, dans la tâche d.3., les nombres obligent à une mobilisation de connaissances variées sur les nombres rationnels et confrontent les élèves aux obstacles inhérents au passage des nombres entiers aux nombres rationnels, ce qui n’est pas transparent dans les tâches usuelles d’enseignement (ex 2,32 et 2,45; 1/3, 7/12 et 3/4) dans lesquelles les élèves peuvent obtenir le bon résultat, tout en ayant sollicité des règles de comparaison erronées. En effet, dans une étude réalisée par Lemoyne et Bisaillon (2006), la majorité des élèves de 6e année peuvent dire que les nombres 50/100 et 5/10 sont «les mêmes mais écrits autrement comme on fait dans les fractions», mais aucun ne reconnaît les nombres 0,50 et 0,5 comme étant identiques ou équivalents aux nombres représentés par 50/100 et 5/10. Les élèves se montrent même incapables de
reconnaître l’équivalence d’écriture entre des nombres décimaux fort simples (0,5 et 0,50 dans Lemoyne, 1993; 1,4 et 1,40 dans Charnay et al., 1999) et entre un nombre décimal et son équivalence fractionnaire (0,5 et 5/10 dans Lemoyne, 1993; 7/10 et 0,7 dans TIMSS, 2004; 0,5 et ½, 0,50 et 5/10 dans Mazzocco et Devlin, 2008).
Dans le même ordre d’idées, les élèves associent incorrectement diverses représentations (0,05 = 0,50 ; 0,2 = 2/100 ; 0,50 = 5/100 dans Mazzocco et Devlin, 2008). D’ailleurs, nous pouvons voir leur difficulté à traiter simultanément les notations décimales et fractionnaires lorsqu’ils les ordonnent en inscrivant d’abord les nombres décimaux puis les fractions (Mazzocco et Devlin, 2008 ; Stegen et Daro, 2007). Nous pouvons associer ces résultats à ceux mis en évidence dans l’étude effectuée par Charnay, Guillaume, Douaire et Valentin (1999); ces chercheurs rapportent que si 64% des élèves identifient correctement le chiffre à la position des dizaines, moins de 50% d’entre eux identifient correctement les chiffres des dixièmes et des centièmes. Ces résultats rendent compte de l’importance de traiter conjointement les aspects sémantiques et syntaxiques des représentations des nombres rationnels. D’ailleurs, comme en témoigne Roditi (2007a, p.6), dans son étude visant à mieux comprendre les traitements des nombres décimaux impliqués dans les tâches de comparaison et à repérer des facteurs liés aux difficultés d’apprentissage, ses conclusions sont éloquentes: « Les élèves qui ont
répondu correctement à toutes les questions de changement de registre14 obtiennent un pourcentage de réussite très élevé aux questions de comparaisons, la capacité à utiliser plusieurs registres de représentation apparaît comme particulièrement discriminante. »
Comme on peut le constater, la possibilité d’utiliser plusieurs registres numériques n’est pas sans rendre la tâche difficile aux élèves. Il en est de même lorsque les questions font appel à la «densité» des nombres rationnels, comme en témoigne le tableau V.
14
«Quatre registres de représentation des nombres décimaux figurent dans le questionnaire, deux
symboliques (écriture à virgule et écriture fractionnaire) et deux graphiques (sur une droite graduée et sur un quadrillage) » (Roditi, 2007, p.19).
Tableau V: Les rapports problématiques liés plus spécifiquement à la densité des nombres rationnels
TÂCHESREPRÉSENTATIVES CONDUITES RENCONTRÉES CHEZ PLUSIEURS ÉLÈVES