Dispositifs didactiques élaborés par Nadine et Guy Brousseau (1987)

Les dispositifs didactiques sur les nombres rationnels et les décimaux élaborés par Nadine et Guy Brousseau (1987) ont été des événements marquants, comme en témoignent les recherches qu’ils ont inspirées. Les situations que comportent ces dispositifs ont été internationalement jugées « exemplaires » par la communauté des chercheurs.

Six séquences d’enseignement prenant en compte les objectifs des programmes d’enseignement primaire et secondaire définis dans le curriculum français ont été construites et mises à l’épreuve pendant plusieurs années. Les situations qu’elles comportent résultent d’études originales et fondamentales, études orientées par la théorie des situations didactiques (Brousseau, 1998). Nous caractérisons fort brièvement les

contenus des divers modules que comportent les séquences d’enseignement et présentons par la suite quelques situations originales et déterminantes qui ont retenu notre attention et celle de plusieurs chercheurs. Pour ce faire, nous utilisons conjointement le livre original sur l’enseignement des nombres rationnels et des décimaux (N. et G. Brousseau, 1987) et divers articles publiés à la suite de ce premier ouvrage (Brousseau, G., Brousseau, N. et Warfield, V., 2004, 2007 et 2008).

Dans les premiers modules d’enseignement (modules 1 à 3),

« les nombres rationnels sont introduits et étudiés en tant que mesures (modules 1 et 2 : contexte de

l’épaisseur d’une feuille de papier; module 3 : mesure de poids, de capacité et de longueur) et rapports scalaires (opérations d’addition, de soustraction, de multiplication et de division par un nombre naturel). Après avoir été introduits dans le but de produire la mesure de certains objets, les nombres rationnels sont ensuite définis de façon plus classique, c’est-à-dire en tant que partition de l’unité ou d’unités intermédiaires. Dans les quatre modules suivants (Modules 4 à 7 inclusivement), la sériation de nombres rationnels, puis de nombres décimaux, est envisagée en tant que moyen rapide d’évaluer et de comparer des nombres rationnels, de comprendre et de mettre en œuvre les propriétés particulières des opérations sur les nombres décimaux et de la notation décimale.

Les modules suivants (Modules 8 et 9) introduisent les nombres rationnels comme applications linéaires pour effectuer, initialement, des reproductions de dessins et de figures géométriques semblables. Ce travail permet, dans les modules 10 à 13, de fournir une définition complète et générale de la multiplication et de la division par un nombre rationnel et d’accéder ensuite (modules 14 et 15) à la composition d’applications (fractions de fractions). » (Brousseau, G., Brousseau, N. et Warfield, V., 2004, p.3-4, traduction libre).

Comme nous en avons fait part antérieurement, nous ne saurions rendre compte de toutes les situations et activités qui composent l’ensemble de ces modules. En tenant compte du programme d’enseignement des mathématiques en 1re année de l’enseignement secondaire et du fait que les élèves concernés par la présente recherche présentent des difficultés d’apprentissage, difficultés témoignant de rapports fort problématiques aux nombres rationnels, nous nous sommes intéressée plus spécifiquement aux situations et activités que comportent les modules 1, 2, 8 et 9. Ces situations ont été utilisées par des professeurs en didactique des mathématiques de plusieurs universités dans le cadre de programmes de formation des maîtres (enseignement régulier et adaptation scolaire) et d’activités de formation continue. Comme en font foi les témoignages de plusieurs de ces professeurs, ces situations se sont avérées des tremplins importants pour une construction ou une reconstruction des

rapports aux nombres rationnels non seulement des élèves, mais également des enseignants. Il importe également de mentionner qu’un de ces modules, soit le module 9, a été utilisé, dans une recherche effectuée auprès d’élèves de l’enseignement secondaire présentant des difficultés d’apprentissage (Blouin, 1993, 2002) et a été source de rencontres « didactiquement déterminantes ».

Module 1- « Épaisseur d’une feuille de papier»

La situation « Épaisseur d’une feuille de papier » permet d’introduire les nombres rationnels (modules 1 et 2), tout en traitant de plusieurs composantes problématiques pour les élèves. Elle comporte trois phases. Dans une première phase, soit la « Recherche d’un code », les élèves forment différentes équipes de 4 ou 5 élèves. Chacune d’entre elles reçoit 5 piles de papier contenant 200 feuilles de même épaisseur, mais les épaisseurs des feuilles de papier peuvent être différentes d’une pile à l’autre. Quelques feuilles circulent dans la classe; les élèves peuvent constater qu’il n’est pas toujours évident de percevoir les différences entre les épaisseurs de certaines feuilles. Chacune des équipes est ensuite invitée à trouver un code pour indiquer l’épaisseur d’une des feuilles de papier que comporte chacune des piles qui leur ont été attribuées. La consigne est la suivante : « […]

Vous allez essayer d’inventer un autre moyen pour désigner et reconnaître ces différents types de papier, et pour les distinguer seulement d’après leur épaisseur. … Dès que vous en aurez trouvé un, vous l’essaierez dans un jeu de communication. » (N. et G.

Brousseau, 1987, p. 2). Les élèves disposent de pieds à coulisse ou de doubles décimètres pour effectuer les mesures. Lors de cette première phase, la majorité des élèves essaient, en vain, de mesurer l’épaisseur d’une feuille de papier. Certains demandent alors à l’enseignant l’autorisation de prendre plusieurs feuilles pour trouver une mesure, ce qui leur est accordé. Ils partagent ensuite divers systèmes de désignation, par exemple: « 10 feuilles 1mm ; 60 feuilles 7 mm; 31 = 2 mm » (Ibid., p.6).

Dans une seconde phase comportant un « Jeu de communication », les élèves de chacune des équipes sont invités à se séparer en deux groupes « d’émetteurs et de récepteurs ». Les émetteurs choisissent un des types de papier placés sur la table, papier que les récepteurs ne peuvent voir et adressent aux récepteurs un message qui devra

permettre à ces derniers d’identifier le papier choisi. Les récepteurs disposent aussi des différents types de papier placés sur une autre table. Lorsque les récepteurs ont pu identifier le papier, ils deviennent alors émetteurs. Les équipes dont les récepteurs auront trouvé le papier choisi se voient attribuer des points. Pendant ce jeu, trois différentes stratégies sont généralement observées : 1) choix d’un nombre particulier et constant de feuilles dont on mesure l’épaisseur; 2) choix d’une mesure particulière et constante d’épaisseur à laquelle on associe un certain nombre de feuilles; 3) choix aléatoire d’une épaisseur et d’un certain nombre de feuilles.

Enfin, dans une troisième phase, les résultats des jeux sont communiqués et il y a confrontation des codes. Ainsi, chaque équipe choisit un représentant qui lit les messages, explique le code choisi et indique le résultat du jeu. Les messages sont comparés et discutés par les élèves. L’enseignant leur demande alors d’adopter un code commun. Afin de refléter le potentiel de cette situation, nous reproduisons certaines des mesures qui sont examinées par les élèves, lors de la cette phase : a) pour le papier A : Équipe 1 : 19 f;

3 mm; Équipe 2 : 10 f; 2 mm; Équipe 3 : 20 f; 4 mm; b) pour le papier D : Équipe 1 : 19 f; 2 mm et 12 f; 1 mm; Équipe 3 : 100 f ; 9 mm (N. et G. Brousseau, 1987, p. 11). À la

suite de ce travail, l’enseignant effectue un rappel des tâches qu’ils ont effectuées, en formulant certaines questions : « Quelle feuille désigne le couple (10;2)?; (10;1)?; (100;

8)?; (48;9)? » … « Pourriez-vous trouver d’autres écritures pour désigner ces différents types de papier? » (Ibid., p.12). Les élèves peuvent consulter leur cahier de

brouillon pour exprimer d’autres couples. Les élèves doivent effectuer un choix d’écritures et ces écritures sont retenues par l’enseignant qui leur demande de ranger les feuilles de « la plus mince à la plus épaisse »; les écritures suivantes sont retenues dans l’une des réalisations de cette épreuve: « A - (48 ; 9); B- (10 ; 2); C- (100 ; 8); D- (100

; 11); E- (10 ; 4) » (Ibid., p. 14). Ce rangement donne lieu à divers procédés de

comparaison : 1) des élèves choisissent un couple et transforment les autres couples pour qu’ils prennent en compte le même nombre de feuilles ; 2) des élèves transforment les couples pour qu’ils soient tous rapportés à la même épaisseur. Par la même occasion, la notion d’équivalence est traitée. Dans cette troisième phase, les élèves sont aussi invités à écrire l’épaisseur d’une feuille papier, ce qui permettra d’introduire le terme et la notation

de fraction; il leur est dit qu’ « il faut inventer une écriture particulière. Cette écriture

existe, on l’appelle fraction. » (Ibid., p. 17). Les questions suivantes leur sont adressées : « Désignez un tas de 20 feuilles qui a une épaisseur de 3 mm. …Désignez l’épaisseur d’une feuille telle qu’il en faut 30 pour « faire » 5 millimètres »… Est-ce qu’il y a plusieurs écritures (plusieurs fractions pour désigner la même épaisseur? Trouvez-en. »

(Ibid., pp. 17-18). Les élèves trouvent alors des couples équivalents (ex. : 2/9 et 4/18).

Module 2 : - « Épaisseur d’un carton »

Au module 2, les élèves sont invités à composer divers cartons en ayant recours à des feuilles faisant partie des piles examinées au module précédent; pour apprécier l’épaisseur de ces cartons, ils doivent alors traiter les mesures des feuilles entrant dans la composition. Dans une première phase, l’enseignant formule les questions suivantes:

« 8/100, 9/45 … sont-ils des nombres ? Ce que nous avons fabriqué pour mesurer les épaisseurs est-ce que c’est des nombres ? (Ibid., p. 20) ». Certains élèves disent oui,

faisant valoir 8, 100, 9 et 45 sont des nombres; d’autres disent non car, selon eux, 8/100 est écrit avec deux nombres et n’est pas un nombre. L’enseignant poursuit en disant : « On pourrait appeler ces choses des nombres si on pouvait faire avec elles ce qu’on fait

avec les nombres. Que peut-on faire avec des nombres? » (Ibid., p. 20). Voici quelques

exemples de réponses : « On peut les ranger du plus petit au plus grand (propriété

commune cela a été vu); On peut compter des objets. On ne le peut qu’avec des nombres naturels … On peut faire avec eux des opérations, des additions, des multiplications... On peut mesurer » (Ibid., p. 20). L’examen de ces réponses permet à l’enseignant de

conclure en invitant les élèves à effectuer des opérations, ce qui permet le passage à la seconde phase.

Pour amorcer cette seconde phase, il est proposé aux élèves de coller deux feuilles, dont les épaisseurs respectives sont : 10/50 (10 mm -» 50 feuilles) et 40/100 (40 mm -» 100 feuilles) et de trouver l’épaisseur du carton ainsi formé. Plusieurs élèves proposent 50/150, mais d’autres suggèrent plutôt 50/100. L’enseignant demande ensuite à 5 élèves de puiser 10 feuilles de type B et à 10 autres élèves de prendre également 10 feuilles de type E. Il note 50 feuilles de type B et 100 feuilles de type E et fait préciser

l’épaisseur de ces tas (10 mm et 40 mm); il peut demander aussi l’épaisseur totale du tas et le nombre total de feuilles, soit 50 mm pour 150 feuilles. Et, il poursuit en disant : « Je

prends une feuille de type B et une feuille de type E et je fais une nouvelle feuille… L’enseignant continue en décrivant cette correspondance à haute voix, jusqu’à ce que les élèves l’arrêtent et disent : «Ça ne va pas, il y aura trop de feuilles E, il faut le même nombre de feuilles dans les deux tas; pour faire 100 nouvelles feuilles, il faut 100 feuilles B et 100 feuilles E (ou 50 et 50, ou 150 et 150). » (Ibid., p. 21). Cette conclusion permet

alors à l’enseignant de proposer aux élèves, dans une troisième phase, de trouver la somme des fractions 8/100, 11/100 et 20/100. Enfin, l’enseignant leur demande s’ils pourraient trouver des sommes de n’importe quelle épaisseur, par exemple : 9/45 + 25/90. Tous les élèves se montrent capables de trouver la somme de deux ou plusieurs fractions si elles sont associées à des épaisseurs de papier et si leur réduction au même nombre de feuilles est « évidente ». Enfin, au cours des activités suivantes, les élèves sont invités à déterminer la différence de deux épaisseurs. Dans une dernière activité, il leur est demandé de trouver la différence entre les types de feuilles auxquelles sont associées les mesures suivantes 4/50 et 3/40. Bien qu’ils ne connaissent pas une façon systématique de trouver un dénominateur commun, les élèves ont recours à divers procédés efficaces et économiques, tels : « calcul mental, produit des dénominateurs, recherche intuitive du

plus petit multiple commun » (Ibid., p. 32).

Les activités suivantes qui sont proposées aux élèves, situations exploitant le contexte de la situation initiale « l’épaisseur d’une feuille de papier », leur permettent de donner sens à la multiplication (activité 4) et à la division (activité 5) d’un nombre rationnel par un entier. À l’activité 4, les élèves sont invités à former des cartons en collant des feuilles de même type; les mesures des différents types de feuilles sont les suivantes : a) des feuilles marrons d’épaisseur 19/35 mm; b) des feuilles blanches d’épaisseur 4/47 mm; c) des feuilles roses d’épaisseur 3/19 mm; d) des feuilles de dessin d’épaisseur 18/95 mm. Les élèves sont réparties dans 5 équipes; chacune des équipes devra former des cartons avec des feuilles de même type et trouver ensuite l’épaisseur des cartons formés respectivement avec 3 feuilles, 5 feuilles, 20 feuilles, 100 feuilles et 120 feuilles. Dès qu’une équipe a terminé le travail, elle est invitée à examiner les résultats

des autres équipes et si elle n’est pas d’accord avec certains résultats, elle doit inscrire ses propositions. Par exemple, une équipe a indiqué 3/19 x 3 = 9/57 (feuille marron) et une autre a répliqué en écrivant au-dessus de ce calcul, le calcul suivant, soit 3/19 x 3 = 9/19. Ces propositions sont discutées lors de l’examen des résultats. Par la suite, les élèves sont invités à comparer les épaisseurs des différents cartons à 1 mm.

La division d’un nombre rationnel par un entier est abordée à l’activité 6. La consigne suivante leur est donnée : « J’ai collé 9 feuilles de même épaisseur. J’ai obtenu

un carton qui a une épaisseur de 18/7 mm : que pourrions-nous chercher? (l’épaisseur d’une des feuilles); savez-vous trouver cette épaisseur? (quand vous l’aurez trouvée, vous l’inscrirez dans votre cahier de brouillon et vous chercherez le moyen de prouver qu’elle est correcte. » (Ibid., p. 39). Individuellement, les élèves trouvent rapidement l’épaisseur

d’une feuille, soit 2/7 et savent montrer que leur réponse est bonne. Un élève propose d’écrire : /7 x 9 =18/7 et d’autres élèves proposent plutôt «18/7 ÷ 9 =2/7» (Ibid., p. 39).

Dans la tâche suivante qui leur est ensuite proposée, il leur est dit que le carton qu’on leur présente résulte du collage de 9 feuilles de même épaisseur, mais différentes des feuilles utilisées précédemment. Le carton obtenu a alors une épaisseur de 12/7 mm; les élèves doivent alors trouver l’épaisseur de chacune des 9 feuilles. Pour effectuer cette tâche, les élèves peuvent travailler en petits groupes. Les stratégies utilisées diffèrent suivant les groupes d’élèves. Quelques élèves écrivent :

12 7

y9

 o 1

7 et il reste quelque chose

Deux groupes d’élèves trouvent une fraction équivalente à 12/7 en multipliant le numérateur et le dénominateur par 9, obtenant alors 108/63. Ils effectuent ensuite la division par 9 pour trouver alors 12/63. Un autre groupe procède d’une façon similaire, mais effectue la multiplication de chacun des termes de la fraction par 3, obtenant alors 36/21 et divisant ensuite par 9 le numérateur pour obtenir 4/21. Examinant ces deux résultats, les élèves concluent rapidement que les fractions sont égales.

À la suite des activités précédentes, les élèves effectuent diverses tâches : ordonner les fractions correspondant à diverses épaisseurs; trouver la somme de diverses épaisseurs; trouver l’épaisseur d’un carton formé de feuilles identiques dont l’épaisseur est donnée; trouver l’épaisseur d’une feuille, connaissant l’épaisseur d’un nombre de feuilles identiques formant un carton; trouver des fractions équivalentes à une fraction.