qu’est 2,3, que lui dirais-tu, quels dessins ferais-tu?
(Perrin-Glorian, 1985, p. 47)
b.1. L’erreur la plus fréquente est de confondre 2,3 et 2/3. Certains élèves dessinent une galette circulaire séparée en deux parties par un diamètre horizontal où la partie supérieure est partagée en deux et où la partie inférieure est partagée en trois parts non équivalentes. Plusieurs élèves ne produisent aucune représentation et écrivent, soit
2 entiers et 3 dixièmes ou nombre décimal ou une partie entière et une partie décimale.
Élèves de 6e primaire et de 1re secondaire b.2. Sur la graduation ci-dessous à quels
nombres correspondent les flèches?
(Charnay et al.,1999,p. 375)
b.2. Le nombre 0,8 a été identifié correctement par 90% des élèves; et le nombre 1,6 par 75% des élèves. Pour le nombre 1,6, les autres élèves proposent les nombres 0,16 et 0,6.
Élèves de 5e et 6e primaire b.3. Encerclez le nombre qui a la plus
grande valeur : 0,08 ; 0,8 ; 0,080 ; 0,008000. Expliquez votre résultat. (Moskal et Magone, 2001, p.323)
b.3. a. classe 1 : 9 des 20 élèves effectuent un choix erroné, généralement, 0,008000. Parmi les 11 élèves qui ont obtenu le bon résultat, seulement un d’entre eux exploite la relation entre les nombres décimaux et les fractions. Aucun de ces élèves utilise une représentation pour appuyer sa réponse ; b. classe 2 : 21 des 28 élèves encerclent le bon résultat. Parmi ces élèves, 2 exploitent des tableaux ou des diagrammes et plusieurs élèves comparent les nombres décimaux en les représentant par des fractions. 2 classes de 5e primaire
Dans la première étude (b.1.), nous pouvons constater les dérives métadidactiques de la surexploitation de certains représentants lors de l’apprentissage des fractions : lors de la représentation du nombre 2,3, plusieurs élèves recourent à une galette circulaire, qu’ils partagent en deux parties, la première partie, divisée en deux parties égales, représente le nombre entier 2 et la seconde partie, divisée en 3 parties plus ou moins équivalentes, représente la partie décimale.
Dans l’activité b.2. présentée par Charnay, Guillaume, Douaire et Valentin (1999), on observe un repérage correct pour le nombre 0,8, chez la très grande majorité des élèves, soit chez plus de 90% des élèves. Le nombre 1,6 est repéré correctement par environ 75% des élèves, ce qui est assez étonnant compte tenu de la graduation proposée. Les autres élèves proposent 0,16 et 0,6. Dans le premier cas, il est plausible que les élèves comptent ainsi : 0,9; 0,10; 0,11; 0,12; 0,13; 0,14; 0,15; 0,16 sans tenir compte de la valeur de position; dans le second cas, on peut penser que les élèves retrouvent 6 dixièmes sans se préoccuper du fait que la flèche se trouve entre les nombres 1 et 2. Plusieurs interprétations des difficultés, dans ce type de tâches, sont possibles, mais l’une qui est fréquemment évoquée est la complexité de ce représentant qui est souvent sous-estimée.
Bolon (1996) ainsi que Wong et Evans (2008) soulignent la nécessité de tenir compte conjointement de la position et de la distance. Pour leur part, Stegen et Daro (2007, p.54), qui ont obtenu des résultats similaires à ceux dont nous avons fait état à l’activité b.2., proposent l’interprétation suivante :
« La droite numérique qui est souvent utilisée comme outil pour construire l’intercalation ou
aborder la densité des décimaux pose problème ; les élèves ne perçoivent pas suffisamment de liens entre un système de codage de points sur une droite et le principe d’intercalation infinie (densité des décimaux). Une nouvelle fois, on constate qu’un outil introduit (trop) précocement pour permettre le repérage de grandeurs discrètes est transposé tel quel dans l’univers des grandeurs continues».
Dans la tâche b.3, tous les nombres sont inférieurs à 1 et sont formés des chiffres 8 et 0; le chiffre 8 n’apparaît qu’une seule fois, ce chiffre étant alors précédé ou suivi d’un nombre variable de chiffres 0. Pour trouver le plus grand des nombres ainsi présentés, il importe donc de ne tenir compte que des chiffres 0 qui précèdent le chiffre 8. La confrontation des résultats de deux classes différentes dans cette étude montre, qu’au- delà des obstacles épistémologiques, les pratiques pédagogiques influencent considérablement le type d’erreurs et le mode de justifications des élèves (choix du registre). En effet, ces deux groupes sous la responsabilité d’enseignants différents ont tous deux préalablement reçu une unité d’enseignement sur les fractions et une autre, sur les nombres décimaux. D’ailleurs, en plus des résultats contenus dans le tableau, cette activité a fait l’objet d’une étude antérieure (Magone, Wang, Cai et Lane, 1993, p.322 à 324) qui montrait des justifications très contrastées et intéressantes, à la suite d’enseignements différents qui avaient été dispensés aux élèves : 1) justification du résultat adéquat en coordonnant plusieurs registres : a. « 0,8 est 8 dixièmes, 0,08 est 8 centièmes »; b. représentation graphique : « 8 barres pour 0,8; 8 carrés pour 0,08; 8 lignes pour 0,008 »; c. 0,08 est la même chose que 0,080; 2) justification d’un résultat erroné, 0,008000, en s’appuyant sur la valeur des zéros : « ceux devant le nombre ne servent à rien mais ceux derrière montre que le nombre est plus grand»; 3) justification erronée d’un résultat adéquat : « 0,8 est 1/8 d’un tout ». Ces résultats peuvent également être mis en relation avec ceux cités par Bolon (1992) et qui montrent que si les élèves arrivent à identifier les chiffres à la position des centaines et des dizaines, il en est autrement pour ceux qui occupent les positions des dixièmes et centièmes.
L’analyse des difficultés liées à la représentation spécifique des fractions et des nombres décimaux nous amène maintenant à nous intéresser aux conduites des élèves lorsque ces représentations sont sollicitées simultanément.
Tableau III: Les rapports problématiques liés plus spécifiquement à la représentation de nombres rationnels
TÂCHESREPRÉSENTATIVES CONDUITES RENCONTRÉES CHEZ PLUSIEURS ÉLÈVES