Dispositifs didactiques élaborés par Moss et Case (1999)

L’étude effectuée par Moss18 et Case (Moss et Case, 1999; Moss, 1997), auprès d’élèves ontariens de la quatrième année primaire, vise à expérimenter un cheminement curriculaire qu’ils ont conçu pour développer une meilleure compréhension du système des nombres rationnels en tant qu’entité, tout en promouvant les interactions entre les diverses composantes. Afin de réaliser ce programme, Moss et Case se sont appuyés sur plusieurs études faisant état de pratiques didactiques pouvant générer des difficultés chez les élèves : a) enseignement centré sur les aspects syntaxiques et non sémantiques des nombres rationnels (Hiebert et Wearne, 1986; Resnick, 1982); b) Enseignement magistrocentré19 : enseignement qui ne prend pas en considération les tentatives spontanées des élèves visant à conférer un sens aux nombres rationnels, ce qui inhibe leurs initiatives et les encourage plutôt à se soumettre à l’application des règles qui leur sont exposées (Confrey, 1994; Kieren, 1992; Mack, 1993); c) utilisation de représentations qui accroît la confusion entre les nombres rationnels et les nombres entiers (Kerslake, 1986; Kieren, 1995; Mack, 1990; Nunes et Bryant, 1996; Ohlsson, 1988); d) exposition à des symboles qui sont traités comme «écriture transparente» (Hiebert, 1992).

Moss et Case (1999) ont élaboré une séquence de 25 périodes qui est amorcée, de façon peu conventionnelle, par l’enseignement des pourcentages (périodes 1 à 7). Ce travail sert d’assises pour intégrer, par la suite, les nombres décimaux (période 8 à 19). Les fractions sont introduites, dès l’entrée dans la séquence, comme moyen alternatif de représenter des pourcentages et des nombres décimaux, mais trois périodes seulement leur sont spécifiquement réservées (périodes 19 à 21). Enfin, la conjugaison des différentes représentations des nombres rationnels fera l’objet d’activités structurantes aux périodes 22 à 25.

18 _{Il s’agit de l’étude effectuée dans le cadre de la recherche doctorale effectuée par Joan Moss (1997), sous la direction du chercheur}

Robbie Case de l’Université de Toronto.

19 _{Terme faisant référence à la typologie des formules pédagogiques, le degré de contrôle de l’apprentissage (Chamberland, Lavois et}

Tel que mentionné précédemment, le programme débute par l’enseignement des pourcentages et ce, dans un contexte familier aux élèves, c’est-à-dire un contexte qui leur permet d’avoir recours à diverses évocations. Dans les quatre premières périodes, diverses tâches d’estimations sont proposées aux élèves. Ils sont d’abord invités à échanger leurs expériences concernant les situations dans lesquelles ils ont déjà rencontré des pourcentages. Une attention particulière est portée aux «pourcentages repères» 25, 50, 75 et 100, ainsi qu’à leurs équivalences fractionnaires. Ces points de référence permettent, par la suite, aux élèves de développer des stratégies d’estimation. Les élèves doivent ainsi se prononcer sur les hauteurs relatives du niveau d’eau figurant dans différents contenants identiques (ex. fioles et béchers), en leur assignant une valeur approximative entre 1 et 100. Ce travail, incitant les élèves à envisager les hauteurs en termes de plénitudes et de pourcentages, leur est présenté de la façon suivante : «Selon

vous, environ quel pourcentage du bécher est rempli? Où pensez-vous que le liquide se situera si ce contenant est rempli à 25%? » (Moss et Case, p. 130, traduction libre). Ces

activités permettent, entre autres, aux élèves de conjuguer leurs connaissances des nombres entiers et d’effectuer des modélisations qualitatives (par exemple : à moitié plein, presque vide) et quantitatives (exploitation de pourcentages) des niveaux d’eau, d’associer leurs stratégies intuitives à la terminologie des pourcentages. Les opérations visuo-motrices sollicitées par ces activités amènent les élèves à recourir spontanément à deux stratégies : 1) réduction du volume correspondant à la moitié du volume du bécher : par exemple, pour estimer un niveau d’eau correspondant à 25% du niveau du bécher rempli, l’élève repère le niveau correspondant à 50%, pour ensuite estimer que la quantité représentée correspond à la moitié de 50 %, soit 25%; 2) composition de mesures : par exemple, afin de positionner le contenu correspondant à 75%, l’élève repère 50% et y ajoute la moitié de ce contenu, 25%.

Dans les périodes 5 à 7, les élèves sont amenés à effectuer diverses tâches d’estimation, de calcul mental impliquant des pourcentages, des mesures d’objets et des comparaisons de diverses mesures de longueur. Les stratégies développées au cours des premières périodes sont transposées dans ces activités. Par exemple, l’une d’entre elles consistait à trouver la quantité de liquide requise pour remplir à 75% une bouteille de 900

ml. Certains élèves ont d’abord trouvé la quantité correspondant à 50% de 900 ml (450ml), à laquelle ils ont ajouté 50% de 450 ml (225ml). Prenant appui sur cette démarche, des problèmes pouvant être résolus efficacement en calculant 10% ou des multiples de ce pourcentage et exploitant divers contextes (ex. : menus, pourboires, taxes) leur ont été ensuite présentés. Fait intéressant, les élèves ont poursuivi leurs démarches initiales, par exemple, déterminé 12,5% en calculant la moitié de 25%; ils ont alors estimé que 10% était un nombre légèrement inférieur à 12,5%. Et, poursuivant cette trajectoire, plusieurs élèves ont eu recours à leurs connaissances sur la monnaie. «Par

exemple, un élève a dit que parce qu’un dollar a 100 cents, alors 10% d’un dollar est 10¢ et 10% de 200 est 20. Lorsque de tels problèmes ont été examinés, la stratégie conventionnelle du 10% (i.e., diviser par 10) s’est établie graduellement, comme une alternative à la stratégie qui consistait à déterminer la moitié, pour certains types de questions. » (Moss et Case, 1999, p. 31, traduction libre). Différentes activités de

comparaison de grandeur (bandes de papiers, tailles de l’enseignant et des élèves) sont proposées aux élèves, par exemple, « La taille de Pierre est quel pourcentage de celle de

Joan? » (Moss, 1997, p.31, traduction libre). Le travail sur le pourcentage se conclut par

une tâche dans laquelle les élèves doivent planifier et construire une leçon sur le pourcentage pour des élèves d’un niveau scolaire inférieur.

Suite à la résolution de ces problèmes impliquant des pourcentages, l’enseignant- chercheur introduit les nombres décimaux à la 8e période. En s’appuyant sur les pourcentages, dans un contexte de mesures de distances, les élèves sont invités à se déplacer sur une bande numérique; la distance entre chacun des nombres inscrits sur ce trajet est de 1 m. Il leur est alors demandé de parcourir des distances correspondant à divers pourcentages des distances entre des nombres adjacents inscrits sur la bande numérique. Pour amorcer la situation, un premier déplacement est alors commenté: « Quand vous avez passé la marque du 2 mètres et marché 75% de la distance qui la

sépare de celle du 3 mètres, le point que vous avez atteint peut être écrit 2,75 m. » (Moss

et Case, 1999, p. 131, traduction libre). Les élèves se montrent immédiatement capables d’interpréter cette situation et peuvent appliquer leurs connaissances sur les pourcentages aux nombres décimaux. Les différents contextes amènent ensuite les élèves à transposer

une telle idée aux nombres décimaux comportant plusieurs décimales. Ils ont, par exemple, spontanément inventé le nombre 5.25.25 comme nombre situé à 25% entre 5,25 et 5,26; bien que le nombre ainsi proposé ne respecte pas l’écriture d’un nombre décimal, il importe de reconnaître que cette réponse montre une généralisation des procédés utilisés précédemment, généralisation reconnue par l’enseignant-chercheur.

Afin de poursuivre le travail sur les nombres décimaux, travail portant sur l’ordre de grandeur et la comparaison de ces nombres, l’enseignant-chercheur distribue à chacun des élèves des différentes équipes un chronomètre qui affiche des secondes et des centièmes de secondes. Les élèves sont invités à partir le chronomètre et à l’arrêter le plus rapidement possible; cette opération doit être répétée 3 fois et les élèves doivent inscrire le temps écoulé pour chacune de ces opérations. Il leur est demandé d’indiquer le temps le plus court et de comparer leurs résultats à ceux obtenus par les élèves de leur groupe respectif. Ces exercices sont prolongés pour exprimer les intervalles de temps en pourcentages, en décimaux et en fractions d’une seconde.

Prenant appui sur les représentations des nombres rationnels rencontrées dans les activités précédentes, les élèves sont invités à participer à un jeu dans lequel ils doivent se déplacer le long d’une route composée de 20 segments de droite, ces segments sont disposés de manière à représenter un trajet qui rappelle celui que l’on peut retrouver lorsqu’on marche dans une ville, en empruntant différents trottoirs. Chacun des segments mesure 10 cm et est gradué aux millimètres. Une couleur spécifique de graduation permet également d’identifier aisément les centimètres, les demi-centimètres et les millimètres. Pour exécuter les déplacements, chacun des élèves pige deux cartes; sur une des cartes sont inscrits deux nombres et sur l’autre, l’opération requise, soit une addition ou une soustraction. Par exemple, si un élève pige les nombres 1 et 2, il peut composer, en ajoutant le chiffre 0 et la virgule, les nombres suivants : 12,0; 120; 1,20; 120. L’idée est de produire divers nombres décimaux pouvant être soustraits ou additionnés afin de parcourir des distances plus ou moins longues selon le trajet envisagé. Puisque les élèves n’avaient pas eu l’occasion d’effectuer des opérations impliquant des nombres décimaux, ce jeu favorise le développement de diverses stratégies additives. Les procédés utilisés

par plusieurs élèves montrent qu’ils ont su profiter de cette activité. Une approche exploitée par une partie des élèves consistait à opérer sur les parties décimales, puis sur les parties entières des nombrescorrespondant à la position de départ et au nombre formé à partir des nombres apparaissant sur la carte puisée. Ainsi, une élève qui avait parcouru 6,5 cm du segment et qui voulait avancer de 7,3 cm, a procédé de la façon suivante : elle a additionné les nombres 5 et 3 et s’est placée à la position 6,8 sur le segment; elle a avancé ensuite de 7 cm, pour atteindre alors la position 13,8. D’autres élèves ont procédé en ajoutant d’abord la partie entière du nombre formé au nombre de départ, puis en ajoutant ensuite la partie décimale du nombre formé au nombre obtenu.

Les auteurs portent à notre attention le fait que la terminologie des fractions a été utilisée tout au long du programme d’enseignement, mais toujours en relation avec les pourcentages (ex. : une demie : 50%...prochain partage en deux : 25% … un quart). Les expérimentateurs ont aussi présenté quelques représentations : 12½ % s’exprime par « un huitième » et s’écrit 1/8.

Enfin, au cours des périodes 22 à 25, les élèves doivent résoudre différents problèmes impliquant des fractions, des nombres décimaux et des pourcentages, par exemple : a) Est-ce vrai ou faux que 0,375 est égal à 3/8; b) Utilisez le chronomètre, arrêtez-le « aussi près que possible » du nombre correspondant à la somme des fractions ½ et ¾ et trouvez ensuite le nombre décimal correspondant à cette somme; c) Trouvez toutes les façons possibles de représenter une fraction (ex. ¼) en utilisant divers registres numériques (fractions, décimaux et pourcentages), graphiques, etc.; d) Proposez des calculs à faire, calculs qui constituent des défis pour leurs camarades et leur enseignant; voici une proposition émanant d’un élève du groupe expérimental, proposition qui montre bien les relations que cet élève a pu développer entre diverses représentations des nombres rationnels : Quel groupement des nombres est le plus grand, [1/8+1/16+1/2+.0625] ou [1/4+25%+.125+1/8] ?

La comparaison des résultats aux pré-test et post-test des élèves ayant reçu un tel enseignement (groupe expérimental) et de ceux ayant bénéficié d’un enseignement

régulier (groupe contrôle) montre que le programme permet aux élèves du groupe expérimental d’accéder à une meilleure compréhension des nombres rationnels que ne le font les élèves du groupe contrôle. Les élèves du groupe contrôle ont de plus tendance à recourir à des stratégies additives, plutôt qu’à des stratégies basées sur les rapports entre les nombres rationnels; ils font aussi davantage référence au concept de proportionnalité dans la justification de leurs réponses. Plus spécifiquement, dans les tâches de comparaison et de sériation de nombres rationnels, les élèves du groupe expérimental peuvent, par exemple, nommer une fraction se situant entre 0,3 et 0,4, alors que ceux du groupe contrôle en sont incapables. La comparaison de fractions, telles que 2/3 et ¾, ne pose pas de problème aux élèves du groupe expérimental qui arrivent à représenter et à expliciter un résultat approprié, ce qui n’est pas le cas chez les élèves du groupe contrôle qui, dans la comparaison des fractions précédentes, évoquent fréquemment qu’elles sont de la même grandeur, car il leur manque à chacune une partie. Dans les activités impliquant des représentations visuelles qualifiées de «distracteurs perceptuels » par les chercheurs (Moss, 1997, p.39, traduction libre), par exemple, dans une activité d’identification de ¾ d’une tarte partagée en 8 parties égales, les élèves du groupe expérimental déploient divers raisonnements montrant leur flexibilité cognitive: a) ils se préoccupent uniquement des séparations qui permettent de représenter les quarts; b) ils considèrent que ¼ correspond à 2 parties; c) ils effectuent une composition additive, coloriant la moitié du cercle (½) et 2 autres des 8 parties, soit ¼. Les quelques extraits suivants montrent la richesse et la pertinence des connaissances mises en œuvre par les élèves du groupe expérimental et inversement, les représentations primitives, voire inappropriées, des nombres rationnels et des opérations sur ces nombres, dont témoignent les conduites des élèves du groupe contrôle.

Calculs peu usuels (Moss et Case, 1999, p. 135, traduction libre)

Item : Un étudiant m’a dit que le ¾ de 10 est 7. Est-ce vrai?

Élève du groupe expérimental: Non, parce qu’une demie de 10, c’est 5. Une demie de 5, c’est 2 ½. Alors

si tu additionnes 2 ½ à 5, ça sera 7 ½. Alors 7 ½ est ¾ de 10, pas 7.

Élève du groupe contrôle : Oui, 7 c’est 3/4 de 10 parce que 3 plus 4 égale 7.

Item : Quel est 65% de 160?

Élève du groupe expérimental: cinquante pourcent [de 160] c’est 80. Je crois que 10% serait 16. Ensuite, je

divise 16 par 2, qui donne 8 [5%] puis 16 plus 8 hum ... 24. Puis je fais 80 plus 24, qui serait 104.

Activité de représentations (Moss et Case, p. 139, traduction libre)

Quel est 1/8 en notation décimale ?

Élève du groupe expérimental : Zéro virgule un deux cinq Expérimentateur : Comment avez-vous obtenu cela ?

Élève du groupe expérimental : Bien, 1/4 est 25%,… et 1/8 est moitié de cela, donc c’est 12 ½ %. Alors 12

½ % est la décimale un, deux et une demie ou décimal un deux décimal cinq. Non, je pense que c’est juste un deux cinq décimaux. Donc 12 ½% correspond à 0,12 et une demie ou bien 0,12,5. Non, je crois que c’est seulement 0,125.

Élève du groupe contrôle : Je pense que c’est 0,8

Expérimentateur : Comment avez-vous obtenu cela ?

Élève du groupe contrôle: Parce que 1/8 est probablement identique à la 0,8.

Calculs standards (Moss et Case, p. 140, traduction libre)

Que donne 3 1/4 moins 2 1/2?

Élève du groupe expérimental: Je dois faire la retenue mais je ne sais pas comment… mais puisque c’est un

entier, ne devrions-nous pas utiliser un quart et un entier pour ensuite soustraire une demie? Ainsi, la réponse serait ¾

Élève du groupe contrôle: D'abord, je dois trouver le dénominateur commun, qui est 4 ; ainsi ça deviendrait

3 1/4 moins 2 2/4, qui égale 1 0/4. Alors 1 3/4 moins 1 0/4 ; 3/4.

Ces extraits illustrent bien l’influence du programme développé par Moss et Case (1999). Comme en font état les chercheurs, les élèves du groupe expérimental ont montré une moins grande dépendance et confiance à l’égard des stratégies développées avec les nombres entiers, que ne l’ont fait les élèves du groupe contrôle. Ils ont su générer, à partir des connaissances qu’ils avaient pu construire sur les nombres rationnels, des procédures originales n’ayant pas fait l’objet d’un enseignement. Dans les exemples précédents, le traitement de la soustraction « 3 ¼ - 2 ½ » est particulièrement éloquent; ainsi, comme le montre l’extrait précédent de la conduite d’un élève du groupe expérimental, cet élève perçoit qu’il ne peut enlever ½ à ¼; il recourt alors à une représentation du nombre 3 ¼ qui puisse permettre d’effectuer la soustraction, 3 ¼ étant alors représenté par 2 + 1 ¼, ce qui permet aisément d’enlever 2 ½ à ce nombre. En revanche, si l’élève du groupe contrôle sait représenter les nombres 3 ¼ et 2 ½, en mettant en œuvre un procédé « enseigné », soit exprimer les fractions en recourant à un dénominateur commun, la soustraction à effectuer est alors « 3 ¼ - 2 2/4 »; puisque 2/4 est supérieur à ¼, il inscrit d’abord 1 0/4, 3 – 2 o 1. Il est difficile d’interpréter ce que

cet élève fait par la suite et qui lui permet de trouver la réponse attendue, les chercheurs ne commentant pas cette démarche.

Intérêts de la séquence didactique conçue et expérimentée par Moss et Case (1999)

La séquence didactique conçue et expérimentée par Moss et Case (1999) se démarque des séquences usuelles d’enseignement par des situations comportant des pourcentages, des nombres décimaux et des fractions, par la priorité accordée au développement d’un raisonnement qualitatif ancré sur les connaissances des élèves sur les nombres entiers et enfin, par l’audace des tâches soumises aux élèves. Dans les extraits précédents, nous avons pu constater la pertinence d’exploiter un riche réseau formé d’icônes (ex. bande numérique de téléchargement), de symboles (ex. %, a/b) et d’opérations visuo-motrices auxquels les élèves pouvaient accéder, afin de construire diverses procédures arithmétiques, favorisant ainsi une intégration harmonieuse de procédures qualitatives et de procédures arithmétiques plus conventionnelles. Nous pouvons également percevoir, à travers ce dispositif, comment la modification du contrat a permis aux élèves de s’octroyer une liberté durant la réalisation des tâches présentées au cours de l’enseignement, une telle liberté leur permettant d’établir des relations « importantes » entre diverses représentations de nombres rationnels, comme le montrent plusieurs conduites dont nous avons fait état précédemment.

Nous ne pouvons cependant passer sous silence le choix des enseignants de ne pas soumettre les élèves en difficultés à ce programme d’enseignement, sous prétexte qu’il s’avérerait plus bénéfique pour eux de revoir des concepts plus élémentaires alors qu’il nous semble que la modification du contrat leur aurait été très profitable. Ce choix témoigne bien de pratiques privilégiées auprès de ces élèves, pratiques relevant, bien sûr, de conceptions répandues concernant l’enseignement aux élèves en difficultés. Il aurait été fort intéressant de voir comment ce programme aurait pu agir sur les habitus des élèves en difficultés d’apprentissage. Il nous apparaît alors important dans la recherche que nous envisageons, d’offrir aux élèves en difficultés des situations qui leur permettent d’accéder à la richesse des représentations des nombres rationnels et ainsi, de construire

divers procédés de calcul sur les nombres rationnels qui tiennent compte de ces représentations et des relations entre ces nombres et qui, fait important, concourent à une avancée du temps didactique et à une diminution du rapport ancien/nouveau (Mercier, 1995a, 1998).

2.3.1.3. Dispositifs didactiques conçus dans le cadre d’un projet sur