Phase 1 : S’informer de l’enseignement possible

Tel que défini dans le cadre théorique et présenté dans la figure 6, représentant l’ensemble de notre démarche de recherche, la première phase du processus d’acculturation consiste à « s’informer de l’enseignement possible », ce qui est prescrit, ce qui est contraint et ce qui peut être fait. Dans le cadre de notre recherche, cela s’est traduit par l’analyse des programmes, l’analyse des recherches portant sur l’objet

nombres rationnels, sur les rapports problématiques des élèves aux nombres rationnels et

sur les dispositifs didactiques visant la construction, ou la re-construction, de rapports plus adéquats aux nombres rationnels. Ces analyses ont été effectuées préalablement, lors de la présentation de la problématique et du cadre conceptuel de notre recherche. Avant l’entrée formelle dans la classe où s’est déroulée notre recherche, nous avons également effectué une étude exploratoire et procédé à l’analyse du manuel Perspective

3.1.1.1. Étude exploratoire effectuée auprès d’élèves d’une classe de 1er secondaire de l’école Vanguard

Comme nous en avons fait état au premier chapitre, avant d’entreprendre une telle recherche, une étude exploratoire (2004-2005) sur la résolution de problèmes, auprès d’élèves en difficultés d’apprentissage d’une classe de 1er secondaire de l’école Vanguard a été effectuée. En collaboration avec un enseignant de mathématiques22, nous avons pu éprouver la pertinence de situations de résolution de problèmes mathématiques offrant entre autres aux élèves divers dispositifs de représentation de problèmes arithmétiques (Julo, 1995). Le choix des élèves était aussi guidé par les conditions et les objectifs d’enseignement prévalant dans ce groupe classe de 1re secondaire. Cette classe bénéficiait d’une période d’enseignement par semaine consacrée uniquement à la résolution de problèmes. De plus, il n’y avait pas de contrainte évaluative; le choix des problèmes n’était pas nécessairement relié aux objectifs précédemment poursuivis en classe. Le rapport de l’élève à la résolution de problèmes s’en trouvait ainsi affecté. L’enseignant responsable de ces activités encourageait les élèves à essayer diverses façons de résoudre des problèmes et adoptait une attitude ouverte face aux erreurs des élèves. Son expérience pratique a enrichi le contexte d’apprentissage, en permettant notamment de mieux anticiper les conduites des élèves et d’évoquer des contextes faisant partie de sa mémoire de maître (Brousseau, 1998; Brousseau et Centeno, 1991). Il s’agissait de conditions qui nous apparaissaient idéales pour cette première étude sur la résolution de problèmes

Lors de cette étude, l’enseignant titulaire de cette classe nous avait permis de présenter diverses situations en résolution de problèmes. C’est à cette occasion que nous avons pu expérimenter, entre autres, certaines situations issues de la recherche, telle

L’épaisseur d’une feuille de papier (N. et G. Brousseau, 1987) et assister à la présentation

et la gestion de situations issues du milieu. Les élèves montrant un engagement remarquable, un tel engagement a bien sûr ravi l’enseignant et l’étudiante-chercheure et nous a permis d’apprécier les possibilités d’apprentissage de ces élèves. Les interactions avec l’enseignant nous ont permis de mieux apprécier la pertinence et les exigences de la

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Nous tenons à remercier l’enseignant qui nous a permis d’effectuer cette étude exploratoire. Ses interventions ainsi que ses commentaires ont été grandement appréciés.

démarche d’acculturation institutionnelle. Ce premier contact avec le milieu École

Vangard a aussi contribué à l’établissement d’une première complicité, complicité qui a

servi de pont à l’entrée de notre projet dans le milieu. En effet, bien que cet enseignant ait, par la suite, été assigné à l’enseignement des mathématiques en 2e secondaire, il a accepté de nous conseiller et de nous accompagner dans la présentation de notre projet aux deux enseignantes de 1er secondaire. Lors d’un entretien téléphonique précédant la présentation de notre projet, il nous informe du prochain dossier qui fera l’objet de leur enseignement dans les semaines à venir.

3.1.1.2. Analyse a priori du manuel Perspective, manuel exploité en classe

Tout enseignant, quels que soient par ailleurs ses rapports aux mathématiques et à l’enseignement de cette discipline, est, jusqu’à un certain point, contraint de respecter la décision de l’institution scolaire concernant le manuel d’enseignement en usage dans cette institution. Il est donc tout à fait essentiel d’examiner ce manuel afin d’effectuer une entrée « respectueuse, instruite et harmonieuse » du chercheur dans l’institution scolaire. Ce travail nous permettra de mieux comprendre les contraintes et les possibilités didactiques qu’offre son usage, ainsi que le projet de l’enseignant (ex. situations privilégiées).

Notre analyse prend appui sur les études qui ont été présentées dans le cadre conceptuel de notre recherche (construction des nombres rationnels, propriétés des nombres rationnels, sens des fractions, difficultés liées aux représentations, aux opérations et à la résolution de problèmes impliquant des nombres rationnels), ainsi que sur la typologie des problèmes additifs et multiplicatifs effectuée par Vergnaud (1991). En nous référant aux études précédentes, nous nous préoccuperons également de l’adéquation entre les objectifs poursuivis par l’auteur et le potentiel des situations qu’il propose. Nous procédons donc à une analyse de chacune des tâches et de l’ensemble des situations proposées dans une séquence.

Pour mieux apprécier le trajet didactique proposé par les auteurs du manuel, nous convenons de croiser nos regards de chercheur, d’enseignant-chercheur et d’élève sur les différents dispositifs proposés. Nos différents regards permettront de mieux saisir les enjeux de chacun des dispositifs, de mieux comprendre les choix effectués, de relever les apports, mais aussi les limites de chacun de ces dispositifs, de suggérer également l’aménagement de certains dispositifs. Nos regards simulés d’élèves seront précieux, dans la mesure où ils pourront nous faire voir les apprentissages résultant de chacun de ces dispositifs, leurs possibles transpositions d’un dispositif à l’autre et les apprentissages résultant des diverses tâches associées à chacun des dispositifs. Nous avons examiné chacune des séquences suggérées dans le guide d’enseignement du manuel Perspective (Guay, Hamel et Lemay, 2005) qui portent sur les nombres rationnels. Ce parcours nous a conduit à examiner le cahier de l’élève, le manuel de l’élève et le guide de l’enseignant et à : a) réaliser la tâche; b) identifier les connaissances mises en jeu; c) identifier les difficultés possibles et le potentiel de la tâche; d) proposer des adaptations, en fonction des recherches, de l’adéquation entre les objectifs poursuivis par l’auteur et la situation proposée, afin de construire un milieu pour permettre aux élèves de surmonter les difficultés ou encore, de les confronter à la complexité des nombres rationnels. Compte tenu de l’étendue de cette analyse, nous présentons fort brièvement l’organisation générale du manuel de l’élève et uniquement un exemple de problème qui permettra de saisir l’exploitation qui a été faite du cadre théorique. L’analyse ayant fait l’objet de la première rencontre avec les enseignants sera présentée dans la partie suivante; celle-ci permettra de mieux comprendre l’analyse générale d’un dossier. Il sera également possible de consulter l’analyse des situations retenues dans le chapitre d’analyse des résultats.

À travers différents dossiers thématiques (contextes extramathématiques), l’organisation du manuel Perspective (Guay, Hamel et Lemay, 2005) se présente ainsi : 1er temps o la préparation des apprentissages : situation exploratoire à laquelle reviendra l’élève à la fin du dossier pour effectuer la réalisation personnelle; 2e temps o la réalisation des apprentissages se fait par trois situations-problèmes auxquelles sont associées des activités permettant de construire les nouveaux concepts et processus ainsi

que des situations d’application; 3e temps o l’intégration et le réinvestissement des apprentissages sont vécus par la réalisation personnelle et la résolution d’une banque de situations-problèmes.

Analyse d’une situation d’application provenant du manuel Perspective (Guay, Hamel et Lemay, 2005, p.286)

Cette situation a retenu notre attention pour les raisons suivantes : a) il n’est pas toujours évident pour les élèves de procéder à des intercalations de fractions, en particulier, lorsque les numérateurs et les dénominateurs des fractions sont des nombres naturels qui se suivent, les relations entre ces nombres faisant écran à la pertinence de recourir à des fractions équivalentes; b) le contexte de comparaison de populations peut, par ailleurs, être exploité pour permettre un travail plus conséquent sur les représentations de chacune des fractions, par exemple : 1) on pourrait inviter les élèves à produire diverses représentations fractionnaires de chacune des fractions; il est alors possible que la fraction spontanément associée à ¼ soit 2/8; si tel est le cas, on pourrait demander à ces élèves de trouver une fraction qui soit plus grande que 2/8, mais plus petite que 2/5; 2) on pourrait inviter les élèves à représenter les fractions en recourant à des nombres décimaux, ce qui pourrait permettre à certains des élèves de réviser leur jugement concernant l’impossibilité d’intercaler une fraction entre les fractions ¼ et 2/5; 3) on pourrait aussi inviter les élèves à recourir à diverses mesures de populations, à déterminer les mesures correspondant à chacune des tranches d’âge, à représenter les relations entre chacune de ces mesures et les mesures respectives des populations, à trouver ainsi d’autres mesures qui pourraient être associées à des fractions se situant entre ¼ et 2/5, en

mettant en œuvre un raisonnement proportionnel et enfin, à exprimer les relations entre ces mesures (sens du dénominateur, des fractions équivalentes, de l’addition de fractions).

3.1.2. Phase 2 : Comprendre l’enseignement envisagé : rencontre avec les