Phase 2 : Comprendre l’enseignement envisagé : rencontre avec les enseignants

L’acculturation du chercheur au fonctionnement de l’institution se manifeste clairement dans la manière de réaliser les premiers contacts avec les enseignants. Une présentation « instruite et respectueuse » du projet de recherche envisagée, présentation tenant compte du fonctionnement de l’institution et des apports précieux que les enseignants peuvent fournir aux chercheurs préoccupés par l’enseignement des mathématiques, est alors importante. Ainsi, lors de cette rencontre avec les deux enseignantes de 1er secondaire et avec l’enseignant de 2e secondaire qui avait participé à notre étude exploratoire23, a) nous nous sommes intéressée à l’appréciation et l’utilisation du manuel par les enseignants; b) nous avons présenté une partie de notre analyse du dossier « J’ai un rêve». Le choix de ce dossier repose sur l’exploitation imminente24, par les deux enseignantes, de ce dossier; c) nous avons également présenté quelques situations construites par l’enseignant ayant participé à l’étude exploratoire, situations qui nous semblaient importantes, compte tenu des objectifs de la présente recherche.

Les enseignants nous ont fait part de plusieurs remarques à l’égard du manuel : situations-problèmes parfois trop complexes, incohérence à l’intérieur de certains dossiers, retour intéressant sur la matière d’un dossier à l’autre, etc. Le plus grand problème était, selon eux, la présence de trop de documentations (manuel, cahier exercices, cahier complément, ressources en ligne, etc.); ils nous ont alors fait part des aménagements d’organisation et de sélection qu’ils ont effectués. L’utilisation qu’ils font

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Sa présence lors de cette rencontre nous apparaissait fort importante, cet enseignant pouvant témoigner de la pertinence de certaines tâches qui avaient été présentées aux élèves de sa classe.

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du manuel varie d’une classe à l’autre, mais selon leur propos, les enseignantes de 1er secondaire l’utilisent de façon linéaire.

Par la suite, nous avons expliqué les grands objectifs de notre projet : a) permettre de sauver du temps et, en même temps, de modifier les habitus et les rapports des élèves aux nombres rationnels; b) pour atteindre cet objectif, au lieu de multiplier, d’augmenter le nombre d’activités, d’exercices, nous favoriserons le recours à des situations plus riches (ex. augmenter le nombre de données pour obliger les élèves à établir des relations entre ces données, notamment, entre différentes représentations des nombres rationnels). Nous avons fait ressortir l’importance des assises écologiques de notre projet, c’est-à-dire de la nécessité de considérer la viabilité des situations pour la classe, de respecter les projets de l’enseignant, d’établir la cohérence des activités, etc. Nous avons également souligné l’importance d’une inscription progressive dans la démarche d’enseignement, arguant que nous devions nous familiariser avec les approches présentées en classe, les conduites des élèves et les objectifs poursuivis par les enseignantes. Pour illustrer nos propos, nous leur avons remis un document d’analyse et avons repris quelques exemples.

Nous présenterons une partie de l’analyse qui a été présentée aux enseignants. La figure suivante (Guay, Hamel et Lemay, 2005, p. 255b) donne un bref aperçu de l’organisation du dossier « J’ai un rêve »; il montre bien les objets d’enseignement privilégiés et la prise en compte des besoins de certains élèves (fiches de révision et de soutien, exercices complémentaires).

Figure 7 : Aperçu de l'organisation du dossier "J'ai un rêve" (Guay, Hamel et Lemay, 2005, p. 255b)

La résolution de situations-problèmes vise à donner sens aux concepts et aux processus qui seront objets d’apprentissage dans le dossier concerné. Les élèves ne peuvent réussir complètement et d’emblée les tâches associées à ces situations- problèmes, puisque, généralement, ils n’ont pas acquis les connaissances requises pour surmonter les obstacles auxquels ils sont confrontés. Ces connaissances seront construites par l’entremise d’activités associées à chacune des situations-problèmes et consolidées par des situations d’application. Pour effectuer ces activités, les élèves peuvent faire appel à des « boîtes à outils » qui rappellent certaines définitions/représentations de concepts et de procédés mathématiques. Les activités effectuées, les élèves peuvent alors revenir à la situation-problème de départ.

La première situation-problème, soit « Le rêve de Bernard Voyer », qui fait suite à l’activité préparatoire est la suivante. Nous analyserons successivement chacune des tâches qui sont présentées dans le cahier de l’élève (Guay, Hamel et Lemay, 2005, p.108)

Première tâche :

« Répartition des différents éléments de l’équipement selon leur masse.

Article de cuisine 1/12 Équipement d’escalade 1/4 Équipement technologique 1/20 Nourriture 3/10

Tente et accessoire pour la nuit 1/20 Traîneau et sac à dos 1/15

Vêtements 1/5

a) Au cours de cette expédition, Bernard Voyer veut gravir la dernière partie de la montagne avec environ la moitié de sa charge initiale. À sa place

qu’apporterais-tu avec toi? De quelle fraction de ta charge te libérerais-tu ainsi? »

À la première tâche que comporte cette situation-problème, les élèves doivent additionner des fractions. La tâche est loin d’être évidente; la masse totale des différents éléments n’est pas donnée; les élèves doivent conjuguer les sens rapport et partie-tout des fractions; une seule de ces fractions comporte un numérateur différent de 1; aucun des dénominateurs des fractions n’est un multiple de tous les autres dénominateurs. Au regard des activités précédemment réalisées, il appert que la nouveauté (l’obstacle cognitif) réside dans la recherche d’un dénominateur commun. La structure de ce problème n’est toutefois pas complexe; il s’agit en effet d’un problème de composition de mesures dans lequel il faut rechercher les éléments de la composition permettant d’obtenir un composé qui soit ½ de la masse totale.

Dans une démarche de modélisation, ce problème s’avère intéressant dans la mesure où la validation doit être effectuée à la fois sur un plan mathématique et extra- mathématique. Ainsi, plusieurs modèles sont possibles, soit combiner quelques articles pour obtenir ½, prendre une partie de tous les articles, prendre la moitié de chacun des articles! La combinaison d’articles pour obtenir ½ de la masse totale peut se faire en

effectuant d’abord une combinaison de fractions dont l’un des dénominateurs est un multiple des autres, par exemple : 1/20 + 1/5 + ¼+ 3/10+ 1/20 = 1/20 + 4/20 + 5/20 + 6/20 + 1/20 = ... Si la validation n’est effectuée que sur un plan mathématique, nous pouvons simplement choisir la nourriture (6/20 ou 3/10) et les vêtements (4/20 ou 1/5); il faut convenir que sur un plan extra-mathématique, ce choix serait plutôt étonnant, voire inapproprié.

Seconde tâche : la figure suivante reproduit la seconde tâche faisant partie de cette situation-problème (Guay, Hamel et Lemay, 2005, p. 109)

b) D’après ces données notées au jour le jour par Bernard Voyer, ont-ils réussi à atteindre le sommet de la montagne?

Laisse les traces de tes calculs.

Figure 8: Problème additif de transformation de mesures

La difficulté de ce problème de composition de transformations est justement que les éléments de la composition sont des rapports; l’élève doit donc modéliser la situation pour vérifier si la somme des transformations équivaut à 1, soit le tout, le sommet de la montagne. Par ailleurs, malgré ce que préconise le corrigé, il n’est pas nécessaire de recourir au dénominateur 200 pour représenter toutes les fractions. Un travail préalable de composition peut être fait, d’autant plus que la présence de fractions unitaires rend évidente la relation entre le numérateur et le dénominateur et facilite ainsi la recherche de fractions équivalentes. On peut ainsi additionner 1/8 et 9/40, 1/8 pouvant être représenté par 5/40; la somme obtenue, soit 14/40, peut être représentée par 7/20, ou encore, par