TÂCHES REPRÉSENTATIVES CONDUITES RENCONTRÉES CHEZ PLUSIEURS ÉLÈVES e.1 Peux-tu citer deux nombres : a) compris
2.2.2. Les rapports problématiques associés aux opérations sur les nombres rationnels
Plusieurs études (Lancup, 2005; Perrin-Glorian, 1985 et 1992; Boulet, 1993; TIMSS 2004 et 2008; Ma, 1999; Morissette, 2006; Post, 1981; Lemoyne et Bisaillon, 2006; Charnay, Guillaume, Douaire et Valentin, 1999; Hierbert et Wearne, 1985; Hasemann, 1981; Charnay, 2005; Bolon 1992/1993; Krikorian, 1996; Tirosh, 2000) se sont attardées à mieux circonscrire et comprendre les difficultés des élèves dans la réalisation d’opérations sur les nombres rationnels. Dans les tableaux ci-dessous, nous effectuons une typologie des difficultés mises en évidence.
Tableau VI: Les rapports problématiques liés à l’addition et la soustraction de fractions
TÂCHES PRÉSENTATIVES CONDUITES RENCONTRÉES CHEZ PLUSIEURS ÉLÈVES
AS-F-1. « Que vaut ½ + 1/3? »
(Lancup, 2005, p. 71)
AS-F-1. Six élèves sur 7 procèdent à l’ajout des numérateurs et à la multiplication
des dénominateurs.
Élèves de secondaire 1 en difficultés d’apprentissage
AS-F-2 «Que vaut : a) ½ + ½ ; b) 1/3
+1/3; c) 1/10 +3/10; d) 1/2+1/3» (Perrin-Glorian, 1985, p. 47)
AS-F-2. Un seul élève sur 63 effectue correctement chacun des calculs. 35% des
élèves procèdent à l’addition des numérateurs et des dénominateurs des fractions (ex. 1/3+1/3 = 2/6); 10 % des élèves effectuent la somme de tous les nombres (ex. ½ +1/3 = 7); 8% des élèves n’additionnent que les dénominateurs (ex. 1/3 +1/3 =1/6)
Élèves de 1resecondaire
AS-F-3. «Parmi les résultats suivants : 1, 2,
19, 21 lequel correspond à l’estimation de 12/13 + 7/8 ?» (Post, 1981, p. 28)
AS-F-3. Seulement 24% des élèves choisissent 2; 7 % choisissent 1; 28%
choisissent 19, 27% choisissent 21 et 14% disent ne pas connaître le résultat. Élèves de 1re secondaire
AS-F-4
a. Parmi les nombres suivants (1, 2, 17, 20 et 23), lequel correspond à l’estimation de l’addition 7/8 +13/15 ?
b. Effectue les opérations suivantes : 2) 1/3 + 2/3 ; 3) 1/5 + 6/5 ; 4) ½ + 1/5 ; 5) ¾ +5/6 ; 6) 3 ½ + 17 3/8
c. Illustre les opérations suivantes 1) 1/3 +2/3 ; 2) 1/5 + 6/5 ; 3) ½ + 1/5 (Boulet, 1993, p.20)
AS-F-4 Taux d’échec
a. 55%
b. 2) 2%; 3) 7%; 4) 15%; 5) 18%; 6) 47%
c. 1) 4%; 2) 35%; 3) 22% 57 étudiants de 1re année universitaire
AS-F-5 Item M022066: 2/5 + 5/4 + 9/8 a) 16/17; b) 41/40; c) 81/40; d) 111/40 (TIMSS, 2008, p.13) Item M022199: 3/5+ (3/10 x 4/15) a) 3/51; b) 1/6; c) 6/25; d) 11/25; e) 17/25 (TIMSS 2004, p.33) AS-F-5
Item M022066. Résultats internationaux : Les choix de réponses se répartissent
ainsi : a) 38,3%; b) 6,6%; c) 7,3%; d) 43,6%.; Résultats au Québec : Les choix de réponses se répartissent ainsi : a) 25,8%; b) 4,4%; c) 7,8%; d) 56,3%.
Item M022199. Résultats internationaux : Les choix de réponses se répartissent
ainsi : a) 7,4%; b) 7,5%; c) 17,9%; d) 14%; e) 40,9%. Résultats au Québec : Les choix de réponses se répartissent ainsi : a) 6,5%; b) 13,9%; c) 15,7%; d) 13,8%; e) 41,9%. Élèves de 2e secondaire
AS-F-6
Item M032416: Lequel montre une
procédure adéquate pour trouver le résultat de 1/5 - 1/3 ? a. 1/5-1/3 = 1-1/5-3 b. 1/5 - 1/3 = 1/5 - 3 c. 1/5-1/3 = 5 -3/5 x3 d. 1/5-1/3 = 3-5/5x3 (TIMSS 2008, p.113) Item M022185: 3x/7 – x/7 a. 2/7 b.3 c. 2x d. x/7 e. 2x/7 (TIMSS 2004, p.26) AS-F-6
Item M032416. Résultats internationaux : Les choix de réponses se répartissent
ainsi : a) 24,3%; b) 29,2%; c) 13,2%; d) 29,8%. Résultats au Québec : Les choix de réponses se répartissent ainsi : a)22,1%; b) 27,4%; c) 17,3%; d) 29,3%.
Item M022185. Résultats internationaux : Les choix de réponses se répartissent
ainsi : a) 7,6 %; b) 13,4 %; c) 11,6 %; d) 8,4 %; e) 54,4%. Résultats au Québec : Les choix de réponses se répartissent ainsi : a) 4%; b) 9,2%; c) 16,1% ; d) 7,9%; e) 61,5%.
Élève de 2e secondaire
AS-F-7
« Effectue les additions suivantes : a) 6/12 + ¾+ 16/24 b) 26/52 + 33/99
A- Représente chaque fraction à additionner dans un rectangle.
B- Représente l’addition de fractions dans un seul rectangle.
C- Inscris le calcul. » (Morissette, 2006, pp. 89-90)
AS-F-7a. A) 5 des 8 élèves se soucient de partager les rectangles en parties égales
et procèdent à une réduction d’au moins une des fractions, pour déterminer les mesures des rectangles; B) 4 élèves ne produisent aucune représentation; un élève se contente de produire un rectangle pouvant être partagé en 24 parties, deux élèves produisent des représentations à la suite du calcul de la somme et un élève dessine un rectangle comportant 40 parties; C) un élève n’effectue aucune addition; deux élèves additionnent les numérateurs et les dénominateurs; quatre élèves additionnent correctement les fractions.
b. A) 6 des 8 élèves effectuent une représentation d’au moins une des fractions; 1 élève seulement produit une représentation des fractions réduites (1/2 et 1/3); B) aucun ne propose une représentation de l’addition de fractions; C) seul un élève effectue correctement l’addition des fractions, trouvant 5/6; les autres élèves qui effectuent un calcul produisent des erreurs comparables à celles définies par Perrin- Glorian, 1985).
Élèves en difficultés d’apprentissage de 1re secondaire
Un premier parcours de la typologie des rapports problématiques des élèves liés à la réalisation d’additions et de soustractions impliquant des fractions et des nombres décimaux, nous permet de prendre acte de l’importance des difficultés, non seulement chez les élèves en fin de primaire, mais également chez les élèves faisant partie de classes de l’enseignement secondaire. Nous pouvons également parler d’une convergence entre les résultats de ces études. Par ailleurs, les difficultés liées à l’addition et à la soustraction de fractions sont plus importantes et problématiques que celles mises en évidence lors de l’addition et de la soustraction de nombres décimaux.
Dans l’addition de fractions, comme en font état plusieurs chercheurs (Bezuk et Cramer, 1989; Bezuk et Bieck, 1992; Tirosh, 2000), les difficultés se traduisent très souvent par l’addition indépendante des numérateurs et des dénominateurs (voir les tâches AS-F-2, AS-F-5 et AS-F-7), par l’addition des dénominateurs uniquement (voir les
tâches AS-F-3 et AS-F-4), par l’application de procédés hybrides (voir les tâches AS-F-1 et AS-F-5) et enfin, par l’incapacité à représenter l’opération (tâche AS-F-4 et AS-F-7) ou à estimer les sommes (AS-F-3 et AS-F-4). L’étude réalisée par Perrin-Glorian (1992) fait toutefois état de résultats beaucoup plus encourageants (2/3+2/3, taux d’échec : 4% ; ½+1/3, taux d’échec : 10%; 3/5-2/7, taux d’échec : 14%) chez les élèves de 2e secondaire que chez les élèves de 1re secondaire, lors d’une étude effectuée auprès de ces derniers élèves en 1985.
De son côté, Boulet (1993) montre que les erreurs d’estimation, de calcul et de représentation des opérations sont toujours présentes chez des étudiants universitaires. L’incapacité des élèves à estimer une somme dénote une lacune considérable dans la compréhension du concept de fraction. Les procédés exploités dans l’addition se manifestent également dans la soustraction (Perrin-Glorian, 1992) et sont utilisés indépendamment de la relation qu’entretiennent les dénominateurs, qu’ils soient identiques, premiers ou encore, que certains soient des multiples des autres dénominateurs. De plus, ces erreurs se répercutent dans le traitement de fractions algébriques (AS-F-5, itemM022185). De prime abord, ces conduites sont étonnantes. Il importe toutefois de rappeler que, sauf exception, dans l’enseignement primaire, les élèves ne rencontrent que des additions et des soustractions de fractions, dont le dénominateur de l’une des fractions est un multiple de l’autre. Et, bien que dès l’entrée au secondaire, ils soient initiés aux «techniques usuelles» d’addition et de soustraction de fractions, techniques exigeant la recherche d’un dénominateur commun, il est possible qu’ils ne développent qu’un rapport «techniciste» aux opérations, rapport qui ne s’appuie pas nécessairement sur le sens des opérations et des représentations des nombres. Boulet (1993) et Morissette (2006) montrent bien l’accroissement des difficultés lorsque les étudiants sont confrontés à la représentation de telles opérations. Il faut dire que les élèves sont peu souvent exposés à des fractions usuelles qui sont représentées par de «grands nombres» apparaissant aux numérateurs et aux dénominateurs (ex. 250/500) et ce, d’autant plus qu’un enseignement algorithmique est privilégié. Comme le montre l’étude réalisée par Morissette (2006), même les élèves présentant des difficultés d’apprentissage peuvent tirer profit de telles représentations.
Tableau VII: Les rapports problématiques liés à l’addition et la soustraction de nombres décimaux
TÂCHES PRÉSENTATIVES CONDUITES RENCONTRÉES CHEZ PLUSIEURS ÉLÈVES
AS-D-1
1) 128,23 + 45,08 ; 2) 112,5 + 21,38 (Lemoyne et Bisaillon, 2005)
AS-D-1. Les élèves se montrent capables de faire le premier calcul, mais 5 des 8
élèves répondent 133,93 au deuxième calcul. Élèves de 6e primaire
AS-D-2
1) 6,25 + 12,85; 2) 7,24 – 4,3 (Charnay, Guillaume, Douaire et Valentin, 1999, p.376)
AS-D-2
81,5% des élèves effectuent correctement le premier calcul et 49,7%, le second calcul (exemple de réponse erronée pour ce calcul : 3,21).
Élèves du secondaire (1e
et 2e)
AS-D-3
4 - 2,47 (Owens,1993, p.149)
AS-D-3. 9 des 17 élèves commettent des erreurs (ex. réponses erronées: 2,43; 2,47;
0,1530) Élèves de 6e primaire AS-D-4 1) 4,6 + 2,3; 2) 5,3 + 2,42; 3) 5,1+ 0,46 4) 6 + 0,32; 5) 4 + 0,3 » (Hiebert et Wearne, 1985, p.191)
AS-D-4. Même à la fin du secondaire 1, les additions 2, 3, 4 et 5 sont sources de
difficultés. Environ 30% des élèves ne peuvent effectuer correctement les additions 2 et 3. Plus de 60% des élèves commettent aussi des erreurs dans les additions 4 et 5; la réponse fréquemment donnée pour l’addition 4 est 0,38 et pour l’addition 5, 0,7. Élèves du primaire (5e et 6e); Élèves du secondaire (1e et 3e)
AS-D-5
a) Quelle est la somme de 2,5 et 3,8? a. 5,3 b. 6,3 c. 6,4 d. 9,5 (TIMSS2004,itemM011008,p.33) b) 4,03-1,15 (déjà aligné) a. 5,18 b. 4,45 c. 3,12 d. 2,98 e. 2,88 (TIMSS2004,itemM011015, p.19) AS-D-5
a) Résultats internationaux : Les choix de réponses se répartissent ainsi : a)11,5%; b) 67,4% ; c)6%; d)7,5. Résultats au Québec : Les choix de réponses se répartissent ainsi : a) 15,4%; b) 60,7%, c) 6,5%; d) 10%.
b) Résultats internationaux : Les choix de réponses se répartissent ainsi: a)3,6%; b) 1,5%; c) 16,4%; d) 12,3%; e) 61,3%. Résultats au Québec : Les choix de réponses se répartissent ainsi : a)1,9%; b) 1,5%; c) 8%; d) 9,5%; e)75,9%
Élèves de 4e primaire AS-D-6 a) : 5,3-3,8 (TIMSS2008,itemM041250, p.28) b) 12,36 – 9,7 (TIMSS2008, itemM031030,p.130 ) AS-D-6
a) Résultats internationaux : 43,8% des élèves donnent la bonne réponse (1,5) ; Parmi les résultats erronés les plus fréquents :8,1% donnent 2,5 et 9,4% écrivent 15. Résultats au Québec : 56,4% des élèves donnent la bonne réponse; Parmi les résultats erronés les plus fréquents : 6,6% donnent 2,5 et 12 % écrivent 15
b) Résultats internationaux : seulement 14,1% des élèves donnent le bon résultat; 28,8% donnent 3,29 comme réponse et 57% donnent différentes réponses incorrectes ou ne répondent pas. Résultats au Québec : seulement 11% des élèves donnent le bon résultat; 36% des élèves donnent 3,29 comme réponse et 53% donnent différentes réponses incorrectes ou ne répondent pas.
Élèves de 4e primaire.
Lorsqu’il s’agit de l’addition et de la soustraction de nombres décimaux, les erreurs sont davantage circonscrites aux cas où les nombres de chiffres que comportent les parties décimales des nombres décimaux à additionner ou à soustraire ne sont pas identiques (AS-D-1; AS-D-2; AS-D-3; AS-D-4 et AS-D-6b). Bien que ces erreurs puissent provenir d’obstacles épistémologiques [nombres entiers : conception des nombres décimaux comme « juxtaposition de nombres entiers » (7,24 – 4,3 = 3,21) et alignement à droite (5,3+2,42 = 2,95)], obstacles que nous avons précisés précédemment, lors de la comparaison des nombres décimaux, il faut admettre que les élèves sont rarement plongés dans de telles conditions d’apprentissage, certains enseignants refusant même de leur soumettre des nombres de ce type. Ce comportement est compréhensible puisque la mémoire des enseignants a longtemps été nourrie par cette contrainte curriculaire (Lemoyne et Bisaillon, 2006). Par ailleurs, ce travail permettrait aux élèves
d’accorder du sens à la valeur de position et, à l’enseignant, de mieux accéder à leurs représentations des nombres décimaux. En effet, bien que les élèves puissent réussir à trouver les sommes de nombres décimaux, dont les parties décimales comportent le même nombre de chiffres, par exemple, 2,6 + 7,3, nous pouvons difficilement statuer sur leur compréhension, à moins qu’il leur soit impossible de traiter les nombres qui composent les parties décimales comme une juxtaposition de nombres entiers. C’est d’ailleurs ce qu’a constaté Perrin-Glorian (1985) en soumettant à des élèves de 1re secondaire l’addition « 0,7+0,8 ». En effet, seulement 35,7% des élèves ne commettent pas d’erreurs; 46,4% des élèves inscrivent le nombre 0,15, effectuant un traitement indépendant des parties décimales et entières de ces nombres. Un tel traitement, lorsque le nombre à soustraire comporte une partie décimale supérieure à la partie décimale du premier nombre, comme le montrent les procédés de plusieurs élèves lors des soustractions présentées aux items « AS-D-2, AS-D-5 et AS-D-6 », fait émerger une conception erronée supplémentaire, soit soustraire le plus petit nombre du plus grand (ex. 5,3-3,8 = 5-3=2…8-3= 5…2,5), procédé arrimé aux représentations construites lors de la soustraction de nombres entiers. Il semble cependant, qu’à la tâche AS-D-5b, l’alignement des chiffres puisse « contrer » cette conception erronée et expliquer le taux de réussite plus élevé.
Tableau VIII: Les rapports problématiques liés à la multiplication de fractions
TÂCHES PRÉSENTATIVES CONDUITES RENCONTRÉES CHEZ PLUSIEURS ÉLÈVES
M-F-1 : « Effectue l’opération 1/6 x ¾. Montre sur le disque suivant ce que représente 1/6 du ¾ » (Hasemann, 1981, p.78 )
52% des élèves trouvent le produit attendu, mais seulement 30% d’entre eux effectuent une représentation adéquate.
Élèves de secondaire I
M-F-2 : « Représentez dans un seul rectangle la multiplication des fractions
a.15/16 x 11/12 ;b. 3/15 x 9/10. Effectuez cette multiplication. » (Morissette, 2006, p.101 )
Seul un élève sur 8 effectue correctement les multiplications, mais ne produit aucune représentation; trois élèves n’effectuent aucun calcul; un élève procède à l’addition des numérateurs et dénominateurs, puis ajoute au dénominateur trouvé la somme des numérateurs; par exemple, pour 15/16 et 11/12, la réponse ainsi obtenue est 26/54; Trois autres élèves effectuent un produit croisé. Élèves en difficultés d’apprentissage de secondaire 1
M-F-3 ¾ x 12/5
(Perrin-Glorian, 1992, p.151)
71,9% des élèves réussissent cette opération.
1. la principale erreur consiste à réduire au même dénominateur 3 4u
12 5
15u 48 20 2. d’autres élèves confondent avec le produit en croix ou la division 3
4u 12
5 3u 5 4u12
3. Certains confondent avec l’addition et la simplification: 3 4u 3u 4 5 1 5
( les 3 et 4 sont rayés) ; 3u 5 4u 5 12u 4 5u 4 312 20 ; 3 4 12 5 3 4u 6 2 ; 83 20 (pour 63/20 qui est la somme?) (p.151)
4. Il y a également des erreurs d’opération sur les entiers et des non réponses. Élèves de 3e secondaire
M-F-4
a. Effectue les opérations suivantes : 7) 2 x 2/3; 8) 4 x 6/5; 9) ¼ x 1/3; 10) 3/5 x 7/5; 11) 11/3 x ¾; 12) 3 1/3 x 7 2/3. b. Illustre les opérations suivantes : 4) 2 x 2/3 ; 5) ¼ x 1/3 (Boulet, 1993, p.20)
a. Taux d’échec : 7) 29% ; 8) 34%; 9) 24%; 10) 31%; 11) 43%; 12) 54%
b. Taux d’échec : 4) 57%; 5) 94% Étudiants universitaires
Comme le souligne fort justement Perrin-Glorian (1992), la multiplication de fractions occasionne moins d’erreurs de calcul que l’addition et la soustraction de fractions (taux de réussite : 71,9% versus 65,4%). Il est en effet relativement facile de procéder à une multiplication de fractions, un tel procédé pouvant prendre appui sur le procédé utilisé lors de la multiplication de nombres entiers : le numérateur du produit correspond au produit des numérateurs des fractions et le dénominateur à celui des dénominateurs des fractions. Il n’est donc pas étonnant de constater que les difficultés des élèves en multiplication de fractions n’ont pas beaucoup retenu l’attention des chercheurs, comme en témoigne le tableau précédent. Par ailleurs, comme il est montré dans ce tableau (Tâches MF-1, MF-2), le nombre d’élèves qui ne savent effectuer et, surtout interpréter, correctement des multiplications de fractions n’est toutefois pas négligeable. Le fait que les élèves étaient invités à représenter l’opération en recourant à une figure géométrique a exercé une influence sur l’exécution du calcul. Les résultats de l’étude effectuée par Hasemann (1981) montrent bien qu’il ne suffit pas de savoir effectuer correctement la multiplication pour être en mesure de produire une représentation de cette opération. D’ailleurs, Boulet (1993, tâche M-F-4) a montré la chute considérable du taux de réussite d’étudiants universitaires lorsqu’ils devaient représenter les opérations, même lorsqu’il s’agissait de multiplications fort simples [2 x 2/3 o calcul : 29% d’échec; représentation : 57% ou dans ¼ x 1/3 o calcul : 24%; représentation : 94%].
Les résultats précédents attestent bien du rapport techniciste à la multiplication de fractions, un tel rapport étant observé, non seulement chez les élèves mais aussi chez les étudiants universitaires. Plus encore, on n’observe pas de meilleurs résultats lorsqu’il s’agit de multiplier une fraction par un nombre entier, bien que le sens de cette opération soit plus facilement accessible, les élèves pouvant alors se référer à leurs connaissances et savoirs sur la multiplication de nombres naturels. À ce propos, comme la «technique» de
la multiplication des fractions atteste rapidement de la «réussite» des élèves dans de tels calculs, il est ainsi rare de retrouver l’enseignement du sens des gestes impliqués dans cette opération, particulièrement lorsque cet enseignement concerne les élèves présentant des difficultés d’apprentissage. Lorsque ce travail est sollicité, Cramer, Wyberg et Leavitt (2009) ont montré qu’un des aspects les plus difficiles de la multiplication des fractions est le changement de l'unité de référence. Par exemple, pour déterminer la fraction correspondant au produit associé à « 5/6 x 12/33 », au lieu d’appliquer la technique usuelle, on pourrait procéder de la façon suivante : a) interpréter la fraction 12/33, en se référant au sens partie-tout de cette fraction, soit 12 parties sur 33 parties ; b) trouver rapidement le nombre de parties correspondant à 5/6 de ces parties, soit 10 parties; c) prendre ensuite en compte le nombre de parties qui correspond au tout, soit 33 parties et exprimer par une fraction le nombre de parties du tout associé à 5/6, obtenant alors 10/33. Il va, sans dire, qu’une telle démarche, qui procède d’une coordination des connaissances sur les fractions et sur les opérations, n’est pas souvent exploitée dans l’enseignement usuel. Hackenberg et Tillema (2009) ont également précisé qu’il est, par exemple, plus difficile pour les élèves de prendre 1/3 de 2/5 que de prendre 2/5 de 1/3. Ces résultats, tout comme ceux liés aux tâches d’estimation, sont tout à fait cohérents avec les difficultés des élèves en ce qui concerne la représentation du concept de fraction. Il convient également de mentionner que plusieurs élèves s’étonnent ou réfutent l’obtention d’un produit qui est plus petit que le multiplicande et/ou le multiplicateur, un tel refus étant le reflet du poids d’un obstacle épistémologique important (Prediger, 2008; Tirosh, 2000). Il faut dire aussi, que dans l’enseignement primaire, les élèves ne sont soumis qu’à des multiplications de nombres naturels par des fractions, les résultats alors obtenus sont toujours supérieurs aux fractions (MELS, 2006, p.136). De plus, si les nombres naturels utilisés sont petits, ce qui est généralement le cas, les élèves peuvent recourir aisément à des additions répétées. Le saut conceptuel à franchir lors de l’apprentissage de la multiplication de deux fractions, en 1er secondaire, est important.
Tableau IX: Les rapports problématiques liés à la multiplication de nombres décimaux
TÂCHES PRÉSENTATIVES CONDUITES RENCONTRÉES CHEZ PLUSIEURS ÉLÈVES
M-D-1
a) 2,3 x 10 b) 35,2x100 (Charnay, 2005, p. 4)
M-D-1
a) 64% des élèves répondent correctement ; 20 % inscrivent 20,3 ou 2,30 ou 20,30 ; 5% écrivent 230 ;b) 47% des élèves répondent correctement ; 15 % inscrivent 3500,2 ou 35,200 ou 3500,200; 15% notent 352. Élèves de 6e primaire M-D-2 a) 281,28 x 100 b) 3,72 x1000 c) 4,28 x 3,5. (Bolon, 1992, 1.2., para. 4) M-D-2
Environ 35% des élèves commettent des erreurs dans les multiplications a) et b). La multiplication c) est échouée par 46% des élèves; 16% des élèves produisent l’une ou l’autre des réponses erronées suivantes : 1498 ou 14980.
Élèves de secondaire 1 M-D-3 a) 6 x 0,4 b) 2 x 3,12 c) 8 x 0,06 d) 0,34 x2,1 e) 0,4 x0,2 f) 0,05 x 0,4 (Hiebert et Wearne, 1985, p.192) M-D-3
À la fin de l’année scolaire, près de 40% commettent des erreurs dans la réalisation des multiplications e) et f). Le produit le plus fréquemment associé à la multiplication e) est 0,8. Pour la multiplication f), deux produits sont fréquemment trouvés, soit 0,2 et 2.
Élèves de 1re et 3e secondaire
M-D-4
itemM022110 : 0,402 x 0,53 (TIMSS2008, p.53)
M-D-4
Résultats internationaux : 58,6% des élèves trouvent le bon produit; 7,2% des élèves commettent des «erreurs de positionnement de la décimale» et 7% des élèves n’ont pas effectué le calcul. Résultats au Québec : 83 % des élèves trouvent le bon produit ; 1,4% des élèves commettent des «erreurs de positionnement de la décimale» et 1,6 % des élèves n’ont pas effectué le calcul. Élèves de 2e secondaire
Lorsque la multiplication implique des nombres décimaux, nous pouvons, une fois de plus, ressentir les effets de certains obstacles épistémologiques et didactiques : « Les
algorithmes de calcul sur les décimaux s'automatisent facilement. Mais en l'absence d'ancrage sur les propriétés des décimaux ou d'exercices répétitifs, ils [les élèves] "dérapent". » (Bolon, 1992, conclusion, para.1). Ainsi, nous pouvons percevoir les
limites d’une simple application de la technique : la somme du nombre de chiffres contenus dans la partie décimale du multiplicande et du multiplicateur représente alors le nombre de positions correspondant à l’emplacement de la virgule dans le produit. Ce processus est, par ailleurs, fréquemment confondu avec celui de l’addition, comme en font état les conduites des élèves à la tâche M.D.3 présentée au tableau précédent. Si les multiplications simples, telles «2,3 x 10» et «35,2 x 100» (Charnay, 2005, tâche M-D-1), signifient respectivement pour certains élèves l’ajout de 1 zéro et de 2 zéros, nous pouvons facilement anticiper la difficulté qu’engendrera la compréhension de la multiplication de deux nombres décimaux. D’ailleurs, dans son texte qui traite des limites de l’enseignement à «coups de règles», Charnay (2005, p.6) précise que « lorsqu’
« on multiplie par 10, chaque chiffre prend une valeur «10 fois plus grande», ce n’est pas la virgule qui se déplace, mais les chiffres qui «changent» de valeur, donc de place.
C’est la même chose pour les entiers et les décimaux!». Bolon (1992, tâche M-D-2),
TIMSS (2008, tâche M-D-4), Brousseau (1980) et Owens (1993) rapportent un taux important d’échecs dans la multiplication de deux nombres décimaux15. Plusieurs élèves effectuent une généralisation de leurs procédés de multiplication de nombres naturels; par exemple, ils associent le produit 3,20 à la multiplication « 3,2 x 10 », se contentant, comme ils le font lorsqu’ils effectuent une multiplication par 10 de nombres naturels, d’ajouter un 0 au nombre qui est multiplié par 10. Plusieurs élèves effectuent également un traitement indépendant des parties entières et des parties décimales des nombres ; par exemple, le produit des nombres 2,3 et 2,4 est alors 4,12. Plusieurs élèves effectuent un positionnement erroné de la virgule; le produit correspondant à la multiplication des nombres 4,28 et 3,5 est alors, soit : a) « 1,498 », l’élève faisant abstraction du chiffre 0 du nombre 14980; b) « 149,80 », l’élève comptant le nombre de positions à partir de la gauche.
Tableau X: Les rapports problématiques liés à la division de fractions
TÂCHES PRÉSENTATIVES CONDUITES RENCONTRÉES CHEZ PLUSIEURS ÉLÈVES