Cette partie cherche à valider certains aspects liés à la force de contact en présence de rugosités et de frottement. Cela permet du même coup d’obtenir de premiers éléments qualitatifs sur ces effets, cette configuration à deux particules pouvant être considérée comme un cas de suspension très diluée. Comme il l’a été souligné auparavant, les distances entre particules dans une suspension cisaillée peuvent être très petites, de l’ordre de la taille des rugosités qui vont de ce fait jouer un rôle sensible. La configuration traitée ici est identique au cas précédemment étudié de deux sphères lisses (voir §7.3) mais les surfaces sont maintenant rugueuses avec une rugosité adimensionnée
ξr ug = hr ug/a. Dans le cas où la rugosité est plus grande que la distance minimale d’approche, un
contact aura lieu.
La simulation suivante reprend le cas à deux sphères avecri ni t=(-6a, 0,5a, 0) et avec les rugosités
adimensionnées ξr ug=10−3 et ξr ug=10−2. La raideur mécanique de la rugosité est telle que sa
déformation ¯ǫ est de 10 %. La dissipation mécanique est ignorée (en=et=1).
Il n’existe pas de solution théorique dans ce cas et la solution de référence utilisée ici se base sur la résolution du système différentiel Eq. (7.6) dans lequel une modélisation spécifique du contact – identique au modèle DEM utilisé – a été implanté. Ce modèle de référence a été développé par François Peters au LPMC sous Matlab®.
La figure suivante Figure 7.12 présente les trajectoires relatives pour la paire de particules pour les rugosités ξr ug=0 ; 10−3 et 10−2. On note très nettement la rupture de symétrie amont-aval et
l’apparition d’un déplacement résiduel dans la direction verticale qui augmente avec la rugosité. Le contact n’opère qu’à travers des forces agissant uniquement en compression : le contact induit une rupture de symétrie amont-aval car cette force de contact en compression n’est pas compensée par une force de traction équivalente une fois la particule passée dans le quadrant extensionnel. Cette rupture de symétrie entraîne une anisotropie de la microstructure. On notera le bon accord entre simulation et solution de référence.
Pour les deux rugosités non nulles, des calculs sont réalisés avec et sans frottement. Le frottement n’a quasiment aucun rôle : les trajectoires des particules non frottantes sont confondues avec celles des particules frottantes. Cet effet est retrouvé à la fois par les simulations et les calculs théoriques.
Fig. 7.12 – Trajectoires relatives pour une paire de particules ayant différentes rugosités (ξr ug=0 ;
10−3 et 10−2) et coefficients de frottement (µ
d=0 et 0,3) : théorie (trait plein) et simulations
(symboles).
La présence de rugosités induit également des effets notables sur les grandeurs rhéologiques comme les différences de contraintes normales notamment. La Fig. 7.13 montre l’évolution des différences de contraintes normales adimensionnées N∗
1 et N2∗en fonction de l’angle θ d’orientation
de la paire de particules. Ces quantités sont ici définies par
N1∗= 2(S h xx+ Scxx) − (Shy y+ Scy y) S∞ (7.8) N2∗= 2(S h y y+ Scy y) − (Shzz+ Sczz) S∞ (7.9)
avecSh le stresslet hydrodynamique etSc le stresslet de contact. Elles sont adimensionnées par le
stresslet S∞= 20/3πηa3˙γ d’une paire de particules sans interactions hydrodynamiques. Le contact est ici non-frottant (µd=0).
Encore une fois, l’accord entre simulation et solution de référence est plutôt bon, même si quelques petites différences sont visibles en particulier lors du passage entre régime lubrifié et non- lubrifié. L’effet principal de la rugosité se situe dans le quadrant extensionnel (π − θ > π/2) du fait de la perte de symétrie : les particules sont plus éloignées et les contraintes hydrodynamiques s’en trouvent réduites. Dans le quadrant de compression (π − θ < π/2), la force de contact induit une augmentation des contraintes normales via le dipôle de contact Fc
⊗ r. A mesure que ce dipôle de contact croît, le dipôle hydrodynamique décroît, ce qui conduit à des effets à peine visibles sur la contrainte totale pour les rugosités employées ici. Dans Zarraga et Leighton Jr (2001), des résultats similaires sont obtenus mais avec un effet du contact exacerbé du fait des rugosités extrêmes considérées, jusqu’à ξr ug = 0,5. Des rugosités de surface ξr ug réalistes sont typiquement dans la
gamme 10−3 ∼ 10−2 (Smart et Leighton, 1989). Puisque les valeurs positives de N∗
1(θ) et N2∗(θ)
diminuent dans le quadrant extensionnel, la rugosité contribue à une valeur globalement négative de N∗
1 et N2∗. En conséquence, |N1∗| et |N2∗| augmentent avec la rugosité, en accord avec les résultats
de la littérature (Davis et al., 2003; Wilson et Davis, 2002; Zarraga et Leighton Jr, 2001).
Le rôle du frottement est illustré dans le cas de la plus grande rugosité ξr ug=10−2et les résultats
obtenus sont présentés en Fig. 7.14 pour le cas sans frottement (µd=0) et avec frottement µd=0,3.
Contrairement à la rugosité, le frottement n’agit sur les contraintes uniquement que dans le quadrant de compression, ce qui est cohérent avec une absence d’effet sur les trajectoires. Il n’opère que ponctuellement, lors du contact, à travers la contribution additionnelle de la force tangentielleFc
t⊗r.
Le type de résultat présenté en Fig. 7.14 peut être utilisé pour estimer le rôle du frottement sur la rhéologie des suspensions diluées en intégrant sur toutes les trajectoires possibles. Cet exercice a
Fig. 7.13 – Evolution de N1∗ et N2∗ pour des sphères rugueuses en fonction de l’angle d’orientation du doublet pour trois rugosités : simulations (symboles) et théorie (traits pleins).
notamment été réalisé par Wilson et Davis (2000) qui montrent que le frottement induit une légère augmentation de |N1| et |N2| (avec N1 et N2 négatifs) et |N1| > |N2|. Nous verrons plus tard que
les conclusions s’inversent en régime concentré, comme le suggèrent également les simulations de Wilson et Davis (2002), puisque l’on trouve plutôt une diminution de |N1| et une augmentation
de |N2| ainsi que |N1| < |N2|.
Fig. 7.14 – Evolution deN∗
1 etN2∗ pour des sphères rugueuses (ξr ug=10−2) en fonction de l’angle
d’orientation du doublet pour deux coefficients de frottement : simulation (symboles) et théorie (traits pleins).