Dans le cadre de la définition des régions de cœur et de paroi de la suspension, nous avons déjà eu l’occasion de considérer une fraction volumique locale 〈φ(y)〉 définie par Eq. (8.9), soit
〈φ(y)〉 = 1
LxLz〈
Ï
χ(x)dxdz〉
où χ(x) est une fonction indicatrice de particule valant 1 dans la particule et 0 ailleurs. Quelques profils de 〈φ(y)〉 avaient alors été présentés en fonction de la fraction moyenne φbul k. La Fig. 10.3
reprend ce type de résultats avec un peu plus de valeurs de φbul k entre 0,25 et 0,55 pour le cas
Ly/a=20.
Fig. 10.3 – Fraction volumique locale〈φ(y)〉pour différentes fractions volumiques moyennesφbul k
(Ly/a=20 ;µd=0).
La fraction volumique locale montre la présence de pics en paroi caractéristiques d’une structura- tion locale en couches et ce, quelle que soit la fraction moyenne φbul k. Pour les suspensions les moins
concentrées toutefois (par ex., φbul k=0,25), cette structuration est peu prononcée et n’est visible que
sur les deux premières couches (y/a<4). Elle est de plus en plus marquée à mesure que la fraction moyenne augmente, à la fois en intensité (valeurs des pics) mais aussi en étendue. Pour φbul k >
0,45, les effets de paroi s’étendent alors à toute la suspension pour ce confinement précis (Ly/a=20).
Sans surprise, ce seuil correspond à l’augmentation brutale des paramètres d’ordre (Fig. 10.1). Pour
φbul k=0,5, les pics ont une amplitude un peu plus faible au centre de la suspension, du fait d’un
ordre moins marqué ou non permanent (revoir Fig. 10.2) alors que pour φbul k=0,55, ces pics sont
Dans ce dernier cas, la suspension comporte 11 couches de particules. Cette valeur est également retrouvée dans les simulations de Yeo et Maxey (2010d) qui ont étudié ce nombre de couches selon la commensurabilité de Lyet de a. La distance entre deux pics est donc légèrement inférieure à 2a.
Ce type de profil de 〈φ(y)〉 peut être exploité afin d’estimer approximativement la taille de la zone d’influence des parois, dénotée epar oi. Bien entendu, il est nécessaire pour les suspensions
les plus denses (φbul k>0,45) de considérer des hauteurs de canal Ly plus élevées que 20a comme
précédemment afin que cette zone d’influence pariétale puisse se développer librement. La taille de cette dernière sera estimée grossièrement via un critère arbitraire a〈dφ(y)/d y〉 > 0,1. Les résultats obtenus sont reportés sur la Fig. 10.4 dans laquelle la taille de domaine Ly utilisée a également été
spécifiée.
Fig. 10.4 – Etendue approximative de la zone d’influence des paroisepar oi en fonction de la fraction
volumique. La valeur en bleu spécifie la hauteurLy du domaine (µd=0).
Pour les fractions inférieures à 0,4, cette zone s’étend progressivement avec la fraction φbul kmais
reste de l’ordre de 3 à 6 rayons. Elle augmente par contre notablement au-delà et ce, malgré l’emploi de domaines beaucoup plus grands (jusqu’à Ly=80a). Si la valeur à φbul k=0,5 peut être déterminée
sans ambiguïté, ce n’est plus le cas dans des régimes plus denses comme à φbul k=0,52 et φbul k=0,55
où il semble qu’en dépit de la hauteur importante du domaine (80a), une organisation marquée soit persistante dans toute la suspension. Sur le graphe précédent, la valeur de epar oiest alors fixée à Ly/2.
Ce résultat rappelle les simulations de Kulkarni et Morris (2009) et de Sierou et Brady (2002) qui – malgré l’absence de paroi – mettent en évidence une cristallisation de la suspension pour φ entre 0,5 et 0,55. Une structuration complète des particules apparaît vers φ ≈ 0,5 et perdure jusqu’à φ ≈ 0,55 avant que le système ne redevienne complètement désordonné à φ=0,6. Ce comportement s’avère assez proche d’un système théorique de sphères dures monodisperses avec son point de congélation à φf ≈ 0,49.
Ainsi, nos résultats à φbul k=0,52 et φbul k=0,55 – c’est-à-dire une structuration complète même
sur un très grand domaine – ne relèverait pas d’un ordre induit par les parois mais plutôt par l’é- coulement. Les parois pourraient néanmoins promouvoir l’apparition d’un ordre dans la suspension. C’est en tout cas les conclusions de certaines simulations Monte-Carlo sur des systèmes de sphères dures montrant une cristallisation beaucoup plus rapide en présence de parois (Volkov et al., 2002). Ces auteurs parlent ainsi de cristallisation induite, c’est-à-dire favorisée par l’existence d’un ordre déjà établi localement. Bien entendu, la considération d’une suspension monodisperse contribue grandement à cette cristallisation qui pourrait être limitée en simulant un système légèrement polydisperse.
Une fois la structuration développée en paroi, cette dernière ne semble pas dépendre de la taille du système. La même simulation à φbul k=0,4 réalisée en domaine assez confiné (Ly=20a) ou, au
contraire, assez grand (Ly=60a) fournit des résultats très proches comme le montre la Figure 10.5.
Les petites différences visibles sont plus à rechercher du côté de la discrétisation en y pour le calcul de ce profil 〈φ(y)〉. Cette indépendance de la taille de domaine Ly est également reportée par
simulation (Yeo et Maxey, 2010b) et expérience (Eral et al., 2009).
Fig. 10.5 – Profil de fraction volumique〈φ(y)〉 pour deux tailles de domaine (φbul k=0,4 ;µd=0).
Terminons cette partie en évaluant le rôle du frottement sur la structuration pariétale d’une suspension. Les résultats de la Fig. 10.6 présentent des profils de 〈φ(y)〉 pour une suspension à
φbul k=0,4 et Ly/a=20 avec deux coefficients de frottement µd=0 et µd=0,5.
Si le profil conserve une forme similaire avec ses oscillations caractéristiques, ces dernières sont d’amplitude plus réduite dans le cas frottant. Ceci signifie que la formation de couches de particules est un peu moins marquée dans le cas frottant. Ce résultat confirme l’intuition : l’existence d’une force tangentielle de contact permet un échange de quantité de mouvement plus actif entre deux couches adjacentes et tend donc à les déstructurer. Ceci se note également au centre de la suspension où le profil de fraction est plus constant et avec des valeurs φcor elégèrement plus importantes.
Fig. 10.6 – Profil de fraction volumique locale 〈φ(y)〉 pour deux coefficients de frottement µd