8.2.1 Taille du domaine et nombre de particules . . . 135 8.2.2 Dissipation mécanique . . . 136 8.2.3 Raideur mécanique . . . 137 8.2.4 Taille des rugosités . . . 139 8.2.5 Modèle minimal de lubrification . . . 141
8.1 Objectif général
Le but des calculs réalisés dans ce travail est de contribuer à une meilleure connaissance de la rhéophysique et de la microstructure des suspensions non-browniennes et non-colloïdales. Malgré les nombreuses études existantes, la complexité de la physique des suspensions fait qu’il reste encore un certain nombre de phénomènes mal appréhendés ou de résultats expérimentaux peu compris. En guise d’exemple, nous avons déjà souligné que la valeur de la première différence de contraintes normales N1fait encore débat à la fois par la disparité des résultats expérimentaux disponibles mais
aussi par le manque de corrélation inexpliqué entre calculs et mesures.
L’objectif de ce chapitre est de fournir des précisions d’ordre général concernant les simula- tions à venir. Des études paramétriques permettront également de fixer des valeurs pour quelques paramètres physiques et numériques.
Il existe dans la communauté scientifique quelques codes de calcul globalement équivalents à celui qui a été développé dans ce travail. A notre connaissance cependant, il se démarque grâce à deux spécificités. D’une part, il intègre une modélisation plus fine du contact, ce qui permet en particulier une prise en compte des forces de frottement. D’autre part, les interactions particule-paroi sur la rhéologie ont été modélisées de manière plus rigoureuse. Ce rôle du frottement fera l’objet du chapitre 9 tandis que l’effet des parois sera abordé dans le chapitre 10.
8.1.1 Cadre de l’étude numérique
Débutons par rappeler que l’on s’intéressera ici exclusivement à une suspension modèle com- posée de particules sphériques, iso-denses, non-inertielles et de même rayon a.
La sollicitation imposée sera de type cisaillement simple. Celle-ci est obtenue via le mouvement des parois inférieure et supérieure avec des vitesses opposées : dans tous les cas, il y aura donc présence de parois et donc d’un confinement de la suspension. Pourquoi ce choix des parois ? En premier lieu, il s’avère évidemment plus proche de la réalité physique, en particulier des expériences académiques de rhéométrie. Ensuite, la majeure partie des travaux numériques de la littérature s’est concentrée sur des suspensions non-confinées. Le domaine est alors supposé périodique dans toutes les directions. Pourtant, certaines simulations ont montré que les parois jouaient un rôle important – par ailleurs différent en 2D et en 3D – et induisaient une structuration de l’écoulement (Kromkamp
et al., 2006; Nott et Brady, 1994; Singh et Nott, 2000). Des études plus récentes par FCM ont clairement
mis en évidence la présence d’une organisation en couches près des parois (Yeo et Maxey, 2010a,b,d), organisation également visible expérimentalement (Blanc, 2011; Metzger et al., 2013). Les particules restent piégées en très proche paroi sous l’effet de la lubrification et la structuration joue de manière notable sur les coefficients de diffusion ou les propriétés rhéologiques avec en particulier une diminution de la viscosité et de |N1|. Ce rôle majeur des parois, associé à un nombre d’études réduit,
mérite donc que l’on s’y intéresse.
8.1.2 Déroulement et exploitation des calculs
Le système de coordonnées utilisé est classique avec les notations suivantes : x dans la direction de l’écoulement, y dans celle du gradient de vitesse et z dans celle de la vorticité. Le domaine de calcul est de taille Lx×Ly×Lzavec une résolution spatiale ∆=a/4,9 maintenue constante. Le nombre
de mailles du calcul évolue donc avec la taille du domaine. Pour un domaine Lx=Ly=Lz=20a (un
choix largement usité par la suite), cela correspond à 973mailles au total. Dans toutes les simulations
présentées, les équations de Stokes seront résolues. Le pas de temps typique est de l’ordre de 10−3˙γ−1
mais sera réduit à 0,5×10−3˙γ−1 pour les cas avec frottement. Cette diminution est préférable pour
bien résoudre l’évolution temporelle rapide des forces tangentielles comme cela l’a déjà été discuté en §6.6.4.
Les conditions limites seront toujours périodiques dans les directions de la vitesse et de la vorticité. Dans la direction ey, des conditions limites de type paroi à vitesse imposée (selon ex)
sont utilisées. Des vitesses opposées aux parois supérieure et inférieure permettent d’imposer un cisaillement de taux ˙γ. L’écoulement obtenu est de type Couette dans un canal de hauteur Ly.
La configuration initiale des particules est un arrangement aléatoire de sphères dures en équili- bre, à la fraction volumique φ désirée, obtenue par un algorithme de Monte-Carlo écrit pour l’occasion et adapté de Torquato (2002).
Les temps de simulation sont généralement de l’ordre de 150 à 200 ˙γ−1. Les déformations
initiales jusqu’à 50 sont systématiquement écartées afin de laisser l’écoulement atteindre un régime stationnaire en moyenne. Les statistiques sont donc réalisées sur des déformations de 100 à 150, valeurs typiques retrouvées dans la littérature (Drazer et al., 2004; Sierou et Brady, 2002; Yeo et Maxey, 2010b). Une dispersion statistique est estimée comme dans Sierou et Brady (2002) en découpant cette durée utile en cinq intervalles indépendants de 20 à 30 ˙γ−1 chacun. Sur chaque intervalle,
les grandeurs rhéologiques sont moyennées. L’écart-type sur la moyenne de ces cinq intervalles est calculé puis divisé parp5, ce qui permet d’obtenir une dispersion statistique qui sera matérialisée par des barres d’erreur sur les résultats. Cette dispersion est typiquement de l’ordre de 1 % pour la viscosité ηs, 2 à 4 % pour N2et peut atteindre 5 à 10 % pour N1et Π, selon la fraction volumique. Les
temps de calcul typiques pour un domaine de (20a)3sont de l’ordre d’une semaine.
Concernant le calcul des propriétés rhéologiques, nous rappelons que la contrainte moyenne pour une suspension de particules rigides soumise à un taux de déformation E∞
i j s’écrit (Batchelor
et Green, 1972b)
où Σpi j représente la contribution des particules à la contrainte dans la suspension et qui est fournie par Σpi j= Σhi j+ Σ c i j (8.2) avec Σhi j= n〈S h i j〉 (8.3) Σci j= n〈S c i j〉 (8.4) où Sh
i j est le stresslet hydrodynamique (Eq. (6.81)) incluant la correction de lubrification, S c i j le
stresslet de contact (Eq. (6.95)), n le nombre de particules par unité de volume et 〈·〉 dénote la moyenne d’ensemble. Cette séparation de Σpi j en sa partie hydrodynamique Σh
i j et de contact Σ c i j
sera largement utilisée par la suite. Notons que la contrainte particulaire est identifiée à sa partie symétrique (stresslet) : les parties antisymétriques des tenseurs des contraintes hydrodynamiques et de contact se compensent en effet en l’absence d’inertie.
Pour un écoulement de cisaillement simple, la viscosité relative de la suspension ηr = ηs/η est
donnée par
ηr= 1 +
Σpx y
η ˙γ (8.5)
Les différences de contraintes normales sont calculées par
N1= Σpxx− Σpy y (8.6) N2= Σpy y− Σ p zz (8.7) et la pression particulaire Π= −13(Σpxx+ Σ p y y+ Σ p zz) (8.8)
8.1.3 Zones de cœur et zones de paroi
Comme il l’a été souligné, tous les calculs de ce travail considèrent une suspension confinée entre deux parois. La périodicité de l’écoulement n’est imposée que dans les directions de l’écoulement x et de la vorticité z, les quantités moyennes dépendent donc de la position verticale y. Comme proposé par Yeo et Maxey (2010b), il est possible de définir une fraction volumique locale 〈φ(y)〉 par
〈φ(y)〉 = 1
LxLz〈
Ï
χ(x)dxdz〉 (8.9)
où χ(x) est une fonction indicatrice de particule valant 1 dans la particule et 0 ailleurs. Plus précisément, la fraction 〈φ(y)〉 définie par Eq. (8.9) est une moyenne surfacique mais un résultat de stéréologie (principe de Delesse) indique que cette quantité est égale à la fraction volumique. La Fig- ure 8.1 présente un exemple de fraction locale 〈φ(y)〉 pour trois fractions volumiques moyennes φbul k
dans le cas d’une hauteur de canal Ly=20a. Ces simulations sont réalisées avec des particules non-
frottantes de rugosité réduite ξr ug=5.10−3. Des résultats de simulation de Yeo et Maxey (2010b) pour
φbul k=0,4 sont également ajoutés. Il apparaît distinctement des pics près des parois qui trahissent
la présence d’une structuration dans cette région, structuration par ailleurs attestée par d’autres simulations (Kromkamp et al., 2006; Yeo et Maxey, 2010b) ainsi que par des expériences (Blanc, 2011). Dans le cas présent Ly=20a, et pour des fractions moyennes φbul k inférieures à 0,5, il existe
néanmoins toujours une région homogène au centre de l’écoulement où la fraction est relativement constante. A l’opposé, la simulation à φbul k=0,5 montre que les effets de paroi dominent toute la
Fig. 8.1 – Fraction volumique locale〈φ(y)〉 pour Ly = 20a et trois fractions volumiques moyennes
φbul k. Sont également représentés des résultats de simulations (Yeo et Maxey, 2010b).
Nous dénommerons zone de cœur Dcor e, cette région centrale de la suspension dépourvue
d’effets de paroi. La suspension y est homogène et se comporte comme dans un domaine infini (Yeo et Maxey, 2010b). Au contraire, lazone de paroi Dw al lest la région complémentaire, complètement
gouvernée par les interactions avec la paroi. Cette distinction sera utile par la suite pour étudier séparément le comportement d’une suspension homogène (non-confinée) et celui d’une suspension affectée par les parois. Dans le cas du rôle du frottement par exemple – abordé un peu plus tard au chapitre 9 –, il nous a ainsi semblé plus pertinent d’étudier une suspension homogène dans un premier temps avant d’y ajouter une complexité additionnelle liée à l’effet des parois.
Nous choisissons ces deux zones Dcor eet Dw al lde la manière suivante
Dcor e= {[0,Lx]} × {[Ly/4,3Ly/4]} × {[0,Lz]} (8.10) Dw al l= {[0,Lx]} × {[Ly,Ly/4] ∪ [3Ly/4,Ly]} × {[0,Lz]} (8.11) Le domaine physique D est la somme de ces deux domaines : D=Dcor e⊕Dw al l. Ce choix suit celui des
travaux de Yeo et Maxey (2010b) et correspond, pour un confinement Ly=20a, à définir le cœur de la
suspensions par 5 < y/a < 15.
Du fait de ce confinement, la fraction volumique moyenne φcor e dans le cœur de l’écoulement
peut légèrement différer de la fraction moyenne globale φbul k, typiquement de quelques %. C’est
cette valeur φcor equi sera considérée pour définir la fraction volumique dès lors que l’on s’intéresse
à la rhéologie dans le cœur de la suspension. Pour la même raison, le cisaillement à cœur ˙γcor e et le
cisaillement moyen imposé ˙γbul k ne sont a priori pas strictement égaux et c’est la valeur ˙γcor e qui
sera retenue pour calculer les propriétés rhéologiques à cœur, par exemple la viscosité relative ηr
(Eq. (8.5)). Ces aspects seront abordés plus en détail dans la partie traitant du rôle du confinement (Chapitre 10).
Les raisons motivant ce choix des parois ont été fournies précédemment en §8.1.1. Au vu des résultats de la Fig. 8.1, les fractions volumiques élevées vont nécessiter l’emploi de domaines assez grands si l’on souhaite étudier une suspension homogène. Cependant, pour les fractions volumiques supérieures à 0,5, les suspensions monodisperses se structurent même en conditions totalement périodiques et donc en l’absence de parois (Kulkarni et Morris, 2009; Sierou et Brady, 2002). Dans ce cas, une amélioration ne consisterait pas prioritairement à s’affranchir des parois mais plutôt à considérer des suspensions polydisperses. Lorsque des résultats de suspension homogène seront présentés (rhéologie à cœur), nous avons vérifié que ceux-ci sont indépendants de la taille du domaine et qu’ils ne sont donc pas affectés par les parois.
8.2 Etudes paramétriques préliminaires
Avant d’exploiter pleinement les simulations numériques pour en tirer des informations perti- nentes en rhéophysique des suspensions, il est nécessaire de procéder à quelques études paramétriques dont le but est d’évaluer la sensibilité des résultats à des paramètres peu connus et ainsi d’en fixer les valeurs pour le reste des simulations à venir. Les trois grandeurs étudiées ici sont la taille du domaine (et le nombre de particules), la dissipation mécanique et la raideur mécanique. Un dernier point concernera la modélisation de la lubrification.
Dans le cadre de cette étude paramétrique, toutes les simulations sont effectuées pour une hauteur de canal Ly=20a (une valeur largement utilisée par la suite) ainsi qu’à une fraction volumique
φbul k=0,4.
8.2.1 Taille du domaine et nombre de particules
Un nombre insuffisant de particules peut donner lieu à une suspension qui n’est pas statistique- ment représentative, d’où un effet attendu du nombre Npde particules. La taille du domaine a quant
à elle un effet numérique lié à l’imposition des conditions de périodicité qui peuvent potentiellement modifier le développement ou la structure de la suspension. Rappelons que la hauteur Ly est ici
fixée (le chapitre sur le confinement reviendra sur son rôle important) et par taille du domaine, nous entendons les longueurs Lxet Lzdans les directions homogènes.
A fraction volumique fixée, taille du domaine et nombre de particules sont évidemment liés. Nous cherchons néanmoins ici à séparer ces deux effets et à en étudier le rôle respectif. L’effet du nombre de particules a été évalué en particulier par dynamique stokésienne (Sierou et Brady, 2002). Ces travaux montrent que les grandeurs rhéologiques sont relativement peu sensibles au nombre Np
de particules dans leur cas (φ=0,4 et Npentre 125 et 1000) et la valeur Np=512 y est finalement choisie.
Le rôle de la taille du domaine n’a par contre pas été considéré.
Il reste cependant difficile de séparer ces deux contributions puisqu’à fraction volumique im- posée, une modification du volume du domaine change nécessairement le nombre de particules. Nous émettons l’hypothèse que l’effet de la taille Lz, dans la direction de la vorticité, est faible car les
particules n’interagissent que très peu dans cette direction. Au contraire, la condition de périodicité en x a potentiellement un rôle plus important puisque l’écoulement moyen est selon cette direction. Ainsi, l’effet de Lz (à iso-Lx) sera un bon indicateur de l’effet du nombre de particules tandis que
l’effet de Lx(à iso-Lz) aidera à quantifier l’effet de la condition limite de périodicité en x.
Des résultats de simulation pour la viscosité relative de la suspension ηrsont présentés en Tab. 8.1
(pour l’effet de Lz) et en Tab. 8.2 (pour l’effet de Lx). Ces calculs sont réalisés à φbul k=0,4 pour
des particules non-frottantes de rugosité réduite ξr ug=5.10−3. La viscosité est calculée dans tout le
domaine D.
D’après Tab. 8.1, l’effet de Lz sur la viscosité – et donc l’effet de Npen vertu de notre hypothèse –
est indiscernable de l’erreur statistique. Nous pouvons en déduire que la rhéologie de la suspension est indépendante du nombre de particules pour Np&400, en cohérence avec les résultats de Sierou
et Brady (2002).
Les résultats présentés en Tab. 8.2 montrent par contre un effet sensible sur la viscosité pour
Lx/a=10, effet qui n’est donc pas imputable au nombre réduit de particules. Il s’agit ici véritablement
d’un effet de taille du domaine : la longueur de périodicité semble insuffisante pour simuler une suspension infinie ce qui modifie probablement la configuration des particules, même si ce dernier point n’a pas été étudié plus en détail.
Ces résultats prônent donc le choix suivant : Lx/a=20 et Lz/a=20, choix qui sera fait pour la
grande majorité des calculs présentés par la suite. On veillera également toujours à conserver au minimum Np &400∼500 particules dans les régimes à faible fraction volumique. Pour ce faire, la
longueur Lxsera augmentée.
Cette étude n’a toutefois été réalisée qu’à une fraction volumique unique et nous extrapolons ces conclusions aux autres fractions. Les résultats sont uniquement présentés en termes de viscosité mais l’effet est qualitativement identique sur les autres grandeurs rhéologiques.
Lx/a Lz/a Np ηr
20 10 360 5,64 ± 0,10 20 20 734 5,67 ± 0,05 20 30 1108 5,66 ± 0,06 20 40 1483 5,66 ± 0,06
Tab. 8.1 – Effet deLz sur ηr (φbul k=0,4).
Lx/a Lz/a Np ηr
10 20 360 5,81 ± 0,09 20 20 734 5,67 ± 0,05 30 20 1108 5,64 ± 0,06 40 20 1483 5,65 ± 0,08
Tab. 8.2 – Effet deLx sur ηr (φbul k=0,4).
8.2.2 Dissipation mécanique
Les particules sont constituées d’un matériau supposé viscoélastique et leur déformation induit une dissipation mécanique lors du contact. La composante dissipative de la force normale de contact est modélisée par le terme γnδ avec ˙˙ δ la vitesse normale relative. Le terme d’amortissement γn est
généralement exprimé en fonction du coefficient de restitution normal e, voir Eq. (6.102).
L’effet du coefficient de restitution normal e a été évalué et les résultats obtenus sur la viscosité sont présentés en Tab. 8.3. Ces simulations sont menées à φbul k=0,4 pour des particules non-
frottantes de rugosité réduite ξr ug=5.10−3.
e ηr 1 5,67 ± 0,05 0,8 5,68 ± 0,05 0,5 5,66 ± 0,05 0,2 5,72 ± 0,06 0 5,63 ± 0,04
Tab. 8.3 – Effet du coefficient de restitutione sur la viscosité relative (φbul k=0,4).
Le rôle du coefficient de restitution e est particulièrement faible et les écarts notés sont peu significatifs au vu de l’erreur statistique. Pour les plus faibles valeurs (e=0 et e=0,2), un léger effet peut être remarqué mais il semble difficile de conclure. Pour ces deux configurations, on peut calculer
γn ≈ 51 (pour e=0,2) et γn ≈ 112 (pour e=0). Ces valeurs de dissipation sont à comparer à celle
induite par la lubrification qui s’écrit ici pour la force normale 3πηa/2ξr ug ≈ 94 (en supposant que
la distance entre particules reste égale à la rugosité). Ces estimations sont cohérentes avec un effet de e potentiellement visible entre 0 et 0,2 car dans ce cas, la dissipation mécanique est de l’ordre de grandeur de la dissipation par lubrification.
L’effet est malgré tout extrêmement peu marqué et le choix de e n’a que peu d’importance. Dans tous les calculs qui suivront, la valeur e=1 sera choisie. C’est de plus celle qui est attendue
pour les collisions à faibles vitesses relatives, ce que confirme un grand nombre d’expériences, voir par exemple Labous et al. (1997). Ceci implique que pour les suspensions à faibles Reynolds, la dissipation mécanique pendant le contact est négligeable. Cette conclusion sur l’effet de e confirme certains résultats (Gondret et al., 2002; Simeonov et Calantoni, 2012) démontrant que pour des contacts lubrifiés à faibles nombres de Stokes, la majeure partie de l’énergie est dissipée uniquement via la lubrification. Les résultats expérimentaux de Gondret et al. (2002) sur des collisions particule- paroi montrent ainsi que pour des nombres de Stokes St<10, il n’y a pas de rebond quel que soit
le coefficient de restitution. C’est dans ce cas la dissipation visqueuse et non pas mécanique qui empêche le rebond, ce qui confirme la prédominance de la dissipation du fluide.
8.2.3 Raideur mécanique
Comme cela a été détaillé dans la partie numérique, la raideur mécanique Knpeut être exprimée
en fonction des propriétés mécaniques de la particule mais cela conduit généralement à des valeurs très importantes qui posent quelques problèmes numériques (ceci nécessiterait notamment de diminuer très notablement le pas de temps). Pour contourner cette difficulté, nous avons proposé de diminuer arbitrairement cette raideur et de l’exprimer en termes d’une déformation caractéristique de la rugosité ¯ǫ = | ¯δ|/hr ug. En égalant la force de contact avec une force hydrodynamique (en régime
dilué) F0
h yd = 6πηa2˙γ, il est possible de déduire une valeur de Kn à partir de cette déformation
caractéristique ¯ǫ , voir Eq. (6.98). Dit autrement, la raideur Knest calculée de telle manière à ce que la
déformation maximale de la rugosité soit ¯ǫ sous la force moyenne Fh yd0 .
Les résultats suivants (Tab. 8.4) présentent l’évolution de la viscosité relative pour différentes valeurs de ¯ǫ. Les simulations sont réalisées à φbul k=0,4 pour des particules non-frottantes de rugosité
réduite ξr ug=hr ug/a=5.10−3. Pour des suspensions denses cependant, la force hydrodynamique
moyenne exercée sur les particules est plus grande que F0
h yd. Il en découle que la déformation
moyenne effective des rugosités 〈ǫ〉 = 〈|δ|〉/hr ug sera un peu plus élevée que la déformation carac-
téristique ¯ǫ attendue. Cette valeur 〈ǫ〉 est calculée en moyennant les déformations relatives |δ|/hr ug
sur tous les contacts et est présentée dans la dernière colonne de Tab. 8.4. ¯ǫ (%) ηr 〈ǫ〉 (%) 1 5,72 ± 0,04 1,7 2 5,70 ± 0,04 3,4 5 5,67 ± 0,05 8,3 10 5,68 ± 0,05 16,4 20 5,79 ± 0,05 32,0
Tab. 8.4 – Effet de la déformation caractéristique de la rugosité¯ǫsur la viscosité relative (φbul k=0,4 ;
ξr ug=5.10−3). La grandeur 〈ǫ〉représente la déformation de la rugosité effectivement constatée.
Seule la plus grande déformation ¯ǫ=20 % induit un écart tout juste significatif sur la viscosité. Notons que les effets sur les autres grandeurs rhéologiques sont qualitativement similaires. Pour ce choix de valeur, la rugosité devient plus « molle » et la distance effective h entre particules est alors plus faible que pour une rugosité très raide (¯ǫ ≪ 1) où l’on attend h=hr ug. Du fait de cette
diminution de la distance interparticulaire, la dissipation due à la lubrification augmente, de même que la viscosité. Pour ¯ǫ.10%, il n’y a pas d’effet notable et dans toutes les simulations à venir,la valeur ¯ǫ= 5% sera choisie.
Les résultats présentés indiquent également que la déformation effective calculée 〈ǫ〉 des ru- gosités est, comme attendu, un peu plus élevée que la valeur ¯ǫ et ce, d’un facteur 1,7. Comme une loi de Hertz est utilisée (Fc
n∝ |δ|3/2), cela signifie qu’à φbul k=0,4 la force hydrodynamique moyenne
exercée sur les particules est en fait (1,7)3/2 ≈ 2,2 plus grande que Fh yd0 . La valeur moyenne de la déformation 〈ǫ〉 sera calculée systématiquement lors des simulations et, même pour les suspensions les plus denses, on note dans tous les cas 〈ǫ〉.10% d’où une absence attendue d’effet de la raideur mécanique sur la rhéologie calculée. Cette variation modérée de 〈ǫ〉 est liée à la non-linéarité du contact de Hertz, dont la raideur Kn augmente avec |δ|1/2, ce qui tend à limiter les déformations
L’intérêt d’un contact de Hertz (Kn∝ |δ|1/2) par rapport à un contact linéaire (Kn constant) est
illustré sur la figure suivante. La Fig. 8.2(a) présente la densité de probabilité (pdf) de la force normale de contact Fc
n adimensionnée par Fh yd0 pour une suspension à φbul k=0,4 pour des particules non-
frottantes de rugosité réduite ξr ug=hr ug/a=5.10−3. Ce résultat montre que la distribution de force