Le cas considéré est celui de deux particules sphériques placées dans un écoulement de cisaille- ment ˙γ et en écoulement de Stokes (seul cas possédant une solution analytique). Les deux sphères, de rayon a et de centre x(1) etx(2), sont positionnées de part et d’autre du centre du domaine et séparées d’une distance variable définie par le vecteur brancher = x(1)− x(2). Le domaine de calcul a une taille de 20a × 20a × 10a et la discrétisation à ∆=a/4,9 conduit à un maillage N = 97 × 97 × 49. Les conditions limites sont les mêmes que dans le cas précédent de la sphère unique. La Figure 7.6 montre un exemple de résultat de simulation dans le cas où les particules sont relativement éloignées. Les vecteurs vitesses y sont représentés ainsi que le champ de pression en couleur, ce qui permet au passage de matérialiser la perturbation hydrodynamique liée à la présence même de la particule.
Fig. 7.6 – Interaction entre deux sphères : champ de vecteur vitesse et pression (coupe z=Lz/2).
Il existe des solutions analytiques sur les perturbations des vitesses des particules induites par les interactions hydrodynamiques entre ces dernières. En l’absence de ces interactions, la vitesse non
perturbée de translation et rotation pour chacune des particules est évidemment :
U∞= ˙γy.ex
Ω∞= −2˙γ.ez
Les solutions analytiques sur la vitesse relative ˆU = U(1)− U(2)ont été proposées par Batchelor et
Green (1972b) et s’écrivent : ˆ Ui= ǫi j kω∞j rk+ rjEi j∞− rkE∞j k{A(r ) rirj r2 + B(r )[δi j− rirj r2 ]} (7.4)
avec r =krk. Dans Eq. (7.4), les fonctions A(r ) et B(r ) sont des fonctions de mobilité dans les directions parallèle et perpendiculaire à l’écoulement. Dans le cas présent de particules de même rayon, elles ne dépendent que de la distance r entre les particules.
La vitesse de rotation Ω de chaque particule est quant à elle fournie par la relation suiv- ante (Batchelor et Green, 1972b) :
Ωi= ω∞i +C (r )ǫi j kE∞kl
rjrl
r2 (7.5)
Les particules étant de même taille, elles possèdent la même vitesse de rotation. Comme les fonctions
A(r ) et B (r ) précédentes, la fonction C (r ) ne dépend que de la distance. Ces fonctions de mobilité A(r ), B (r ) et C (r ) ne sont connues dans le cas général que de manière numérique. Elles ont cependant
des développements asymptotiques en champ lointain et en champ proche. Des valeurs numériques pour différentes distances sont par exemple fournies dans Batchelor et Green (1972b).
Des simulations ont été effectuées dans une configuration figée pour plusieurs distances r entre particules. Les vitesses de translation et rotation des particules ainsi calculées sont exprimées en termes des fonctions de mobilité A(r ),B(r ) et C (r ). La Figure 7.7(a) présente les résultats obtenus dans le cas où les forces de lubrification ne sont pas modélisées. Le trait vertical en pointillés correspond à une taille de maille ∆, soit ici ∆ ≈ 0,2a. Il apparaît clairement que les interactions hydrodynamiques à longue distance sont correctement modélisées puisque les calculs se superposent aux courbes théoriques. A mesure que la distance se réduit toutefois, la précision se dégrade et près du contact (r /a = 2), les prédictions de vitesses sont assez éloignées de l’attendu. Ceci est particulièrement net sur la fonction C (r ), signifiant que les vitesses de rotation calculées sont entachées d’une certaine imprécision.
Comme il l’a été souligné auparavant dans le modèle de lubrification, la limite à partir de laquelle les résultats se dégradent peut être estimée vers r /a ≈ 2,2 ce qui revient à une distance surface- à-surface de 0,2a. Cela correspond grossièrement à la taille de la maille. Ces calculs permettent ainsi de fixer la barrière de lubrification à cette taille, soit ξl ub≈ ∆/a. En d’autres termes, quand la
distance entre surfaces devient plus petite que la taille d’une maille, il est nécessaire de recourir à une modélisation spécifique de la lubrification.
Rajoutons maintenant l’effet de la lubrification via le modèle développé en §6.5. Les mêmes calculs sont repris et présentés en Figure 7.7(b). La correction de lubrification est activée pour r /a < 2,2. Contrairement au cas précédent, l’on note cette fois le très bon accord entre calcul et théorie et ce, même au proche contact. Les résultats de calcul pour r /a > 2,2 restent identiques au cas précédent non lubrifié (Figure 7.7(a)) puisque la correction n’y est pas activée.
Si les particules se déplacent, la configuration précédente à deux particules peut alors être étudiée en termes de trajectoires relatives, c’est-à-dire l’évolution du vecteur brancher en fonction du temps.
Fig. 7.7 – Fonctions de mobilité simulées en fonction de la distance r /a − 2 : a) sans correction de lubrification ; b) avec correction de lubrification.
Les simulations sont analogues aux précédentes à la différence que cette fois les particules ne sont plus figées et se déplacent librement dans l’écoulement. La Figure 7.6 précédente représente un exemple de configuration initiale de simulation. Les deux sphères sont séparées d’une distance r donnée par le vecteurr. L’objectif est ici d’étudier la trajectoire relative r de la paire de particules au
cours du temps. Différents calculs sont effectués en faisant varier la distance verticale initiale ri ni t y .
Les solutions théoriques de référence sont calculées en suivant la démarche de DaCunha et Hinch (1996). Leurs travaux permettent d’étudier la trajectoire de deux sphères en interaction dans un écoulement de cisaillement ˙γ. En posant les grandeurs adimensionnées r∗= r/a et t∗= ˙γt, les
équations décrivant le mouvement relatif des deux sphères s’écrivent : dr∗ x dt∗ = r ∗ y+ Erx∗− B 2ry∗ dr∗ y dt∗ = Er ∗ y − B 2rx∗ (7.6) dr∗ z dt∗ = Erz∗ E = (B − A)r ∗ xry∗ r∗2
avec r∗= kr∗k. Les fonctions de mobilité A et B sont les mêmes que celles décrites dans le chapitre
précédent. Dans leur travaux, DaCunha et Hinch (1996) emploient les expressions suivantes pour les fonctions A et B :
– Zone d’interaction lointaine : r∗>2,5
A(r∗) = 5r∗−3− 8r∗−5+ 25r∗−6− 35r∗−8+ 125r∗−9− 102r∗−10+ 12,5r∗−11+ 430r∗−12
B (r∗) =13(16r∗−5+ 10r∗−8− 36r∗−10− 25r∗−11− 36r∗−12)
– Zone intermédiaire : 2,01<r∗<2,5
A(r∗) = −4,3833 + 17,7176r∗−1+ 14,8204r∗−2− 92,4471r∗−3− 46,3151r∗−4− 232,2304r∗−5
– Zone de lubrification : 2<r∗62,01 A(r∗) =(16,3096 − 7,1548r∗) r∗ B (r∗) =2(0,4056l 2+ 1,49681l − 1,9108) r∗(l2+ 6,0425l + 6,32549) avec l = ln(r∗− 2)
La position relativeri ni tau temps initial étant fixée, le système différentiel Eq. (7.6) est résolu avec les
expressions de A(r∗) et B(r∗) précédentes et permet d’aboutir à la trajectoire théorique du système
de particules.
La figure suivante (Figure 7.8) présente les trajectoires relatives simulées comparées à la théorie définie précédemment. Le pas de temps est ici de ∆t = 2.10−3˙γ−1. Les particules sont dans le même
plan de cisaillement (rz=0) et initialement séparées de rxi ni t= −6a dans la direction horizontale exet,
dans la direction verticaleey, d’une distance ri ni t
y variable. Quatre cas sont ici traités ryi ni t=3a ; 2a ; a
et 0,5a. Les échelles de la figure sont dilatées dans la directioneyafin de bien visualiser les différentes trajectoires : la particule de référence, matérialisée en noir, apparaît donc sous la forme d’une ellipse. Il en est de même pour la courbe en pointillés censée représenter la zone d’exclusion stérique de rayon 2a et qui correspond à la limite de recouvrement.
Fig. 7.8 – Trajectoires relatives pour différentes séparations verticales ri ni ty .
La simulation permet de retrouver assez fidèlement les résultats théoriques. Un point capital est que les trajectoires simulées restent bien symétriques en vertu de la linéarité des équations de Stokes (réversibilité temporelle). Lorsque la distance verticale initiale est assez grande (par exemple
ryi ni t=3a), les interactions hydrodynamiques restent limitées et ne dévient que très peu les trajectoires d’un mouvement rectiligne qui serait celui attendu en l’absence de ces interactions. En deçà de la distance initiale ri ni t
y = 2a, les particules pourraient théoriquement entrer en contact mais sont
déviées par le jeu des interactions hydrodynamiques. Pour les séparations initiales les plus faibles toutefois, les particules passent très près l’une de l’autre : leur distance est ici suffisamment réduite pour que les effets de lubrification jouent pleinement leur rôle et empêchent effectivement le contact. La Figure 7.9 présente pour ces quatre cas de simulation l’évolution de la distance adimensionnée
ξ = r /a − 2. L’on notera encore une fois une corrélation satisfaisante avec la théorie. Cette figure
illustre d’autre part une des remarques précédentes : pour les séparations initiales les plus faibles, la distance interparticulaire peut devenir excessivement petite avec des valeurs de l’ordre de 10−4a
pour le cas ri ni t
se seraient ici interpénétrées. Dans le cas d’une suspension cisaillée, les distances interparticulaires peuvent ainsi devenir très faibles et être de l’ordre de la taille des rugosités qui vont de ce fait induire un effet notable. Cet aspect sera abordé ultérieurement.
Fig. 7.9 – Distances relatives ξ = r /a − 2pour différentes séparations verticalesri ni ty .