7.4 Trois sphères lisses en cisaillement . . . 118 7.5 Viscosité à fréquence infinie . . . 120 7.6 Deux sphères rugueuses en cisaillement . . . 121 7.7 Sphère rugueuse sur plan incliné . . . 124 7.8 Sédimentation de 10648 particules . . . 125 7.9 Migration inertielle . . . 126
Ce chapitre aborde un certain nombre de simulations de validation effectuées en utilisant le code développé. Nous n’en proposons uniquement qu’un « florilège » afin d’éviter un côté catalogue rébarbatif. Chacune des validations présentées permet néanmoins de vérifier un aspect physique particulier. Elles restent essentiellement académiques et s’appuient largement sur des solutions analytiques tout en focalisant sur les écoulements d’intérêt, à savoir des écoulements de Stokes dans le cas de configurations de type cisaillement. Par académique, nous entendons des validations assez amont impliquant un petit nombre de particules et pour lesquelles il existe des solutions théoriques précisément connues.
7.1 Sphère en écoulement cisaillé
Le cas considéré ici est celui d’une unique particule sphérique libre et placée dans un écoulement de cisaillement simple (Figure 7.1).
Les simulations sont effectuées en résolvant les équations de Stokes. La sphère, de rayon a, est placée au centre d’un domaine cubique de taille L=20a et avec une discrétisation a/∆=4,9 ; ce qui conduit à un maillage de taille 973. Il a été vérifié que ce domaine était suffisamment grand pour ne pas induire d’effets des conditions limites. Les conditions latérales dans les directionsexetezsont de type périodique. La condition limite dans la directioneyest de type vitesse imposée avec des vitesses ˙γLy/2 et − ˙γLy/2 aux parois supérieure et inférieure afin d’imposer un cisaillement ˙γ. Le pas de temps
vaut ici ∆t=3.10−3 ˙γ−1, ce qui correspond à un CFL diffusif d’environ 50.
Fig. 7.1 – Sphère en écoulement cisaillé.
7.1.1 Champ de vitesse
Il existe des solutions théoriques pour le champ de vitesse fluide induit par une sphère placée dans un écoulement non perturbé linéaire, soitu∞= ∇u∞· x = E∞· x + ω∞∧ x avec E∞le tenseur de
taux de déformation et ω∞le vecteur de vitesse angulaire. Dans le cas de cisaillement envisagé, la
vitesse non perturbée s’écritu∞= ˙γy.ex, la rotation de l’écoulement non perturbé vaut simplement
ω∞= − ˙γ/2.ezet le taux de déformation
Ei j∞=1 2 0 ˙γ 0 ˙γ 0 0 0 0 0
La solution théorique pour la vitesse s’exprime alors par (Guazzelli et al., 2011) :
ui= Ei j∞xj+ ǫi j kω∞j xk− a5Ei k∞ xk r5− 5a3 2 (1 − a2 r2)E ∞ j k xixjxk r5 (7.1)
en prenant le centre de la particule à l’origine et avec r = kxk.
La Figure 7.2 montre la comparaison entre le calcul et la solution théorique Eq. (7.1) pour le champ de vitesse v calculé sur l’axe ex en fonction de la position x par rapport au centre de la particule (x=0). La vitesse est adimensionnée par ˙γa. L’on notera la bonne corrélation avec la solution théorique à la fois pour la vitesse à l’extérieur de la particule (|x/a| > 1) mais aussi à l’intérieur (|x/a| < 1). Le profil linéaire dans cette région est imposé par le mouvement de corps rigide puisqu’il n’y a qu’une rotation − ˙γ/2.ezd’où la valeur adimensionnée v/ ˙γa=0,5 à la surface de la particule.
Numériquement, nous trouvons une vitesse de translation de la particule de l’ordre de 10−4
(valeur théorique : 0) et une vitesse de rotation Ωz=-0,501 (valeur théorique : -0,5) avec les paramètres
numériques choisis (∆ = a/4,9 et ∆t = 3.10−3˙γ−1).
7.1.2 Stresslet
L’importance de ce terme dans la rhéologie des suspensions mérite de s’y attarder un peu lors de ces validations. De plus, comme nous l’avions déjà mentionné, c’est une grandeur plus délicate à obtenir de manière précise, ce qui en fait justement une quantité discriminante pour les validations. Cette sensibilité est liée au fait que le stresslet se calcule uniquement à partir de la variable λ qui est – théoriquement – discontinue (car nulle dans le fluide) et qui prend généralement ses valeurs maximales à la frontière de la particule. Elle est de ce fait plus sensible aux approximations numériques. Ce stresslet s’écrit
S = −ρ2f
Z
P(λ ⊗ x + x ⊗ λ) dx
Fig. 7.2 – Perturbation de vitesse v du fluide sur l’axeex pour une sphère cisaillée.
avecx la position par rapport au centre de la particule. Dans le cas de calcul traité, le stresslet est
nul sauf la composante Sx y(=Sy x) puisqueS = 20/3πηa3E∞. En notantS∗le stresslet adimensionné
S∗ = S/(VPη ˙γ), avec VP le volume de la particule, la valeur théorique pour une sphère isolée
devient S∗
x y=5/2. Pour le calcul présenté avec ∆ = a/4,9 et ∆t = 3.10−3˙γ−1, nous calculons une valeur
S∗x y=2,40. Avec la même discrétisation spatiale et ∆t = 1.10−3˙γ−1, une valeur S∗x y=2,46 est obtenue,
en meilleur accord avec la théorie. L’emploi de pas de temps plus petits (et éventuellement de pas d’espace également plus petits) permet d’asymptoter vers la valeur théorique. Nous avons déjà eu l’occasion de voir à travers l’étude de convergence que le modèle numérique était globalement d’ordre un en temps, ce qui nécessite des pas de temps adaptés. Le stresslet est particulièrement sensible à la discrétisation temporelle alors que d’autres grandeurs comme les vitesses de translation et de rotation ne nécessitent pas d’aussi petits pas de temps et convergent rapidement vers la valeur théorique. Les pas de temps choisis ici (de l’ordre de 10−3˙γ−1) sont typiques de ceux qui
seront couramment utilisés pour les simulations à venir et sont au final également du même ordre de grandeur que ceux employés dans d’autres méthodes de la littérature comme la FCM ou la dynamique stokésienne.
7.1.3 A propos du terme de forçage
Dans le modèle numérique, la condition de corps rigide est à la fois imposée à travers le terme de forçage λ dans l’équation de la quantité de mouvement Eq. (6.2) et aussi de manière explicite par imposition directe Eq. (6.29). Cette redondance peut paraître surprenante au premier abord. D’autant que le doute est entretenu par le fait que ce terme λ est absent dans certaines études utilisant les domaines fictifs (Blasco et al., 2009; Carlson et al., 2004; Sharma et Patankar, 2005). Pour autant, ces travaux retrouvent des résultats tout à fait satisfaisants.
La raison tient en fait au régime d’écoulement étudié. Les travaux sus-nommés s’intéressent à des écoulements inertiels Re ∼ O(101−103) généralement résolus par une approche explicite. Les critères
de stabilité imposent que le pas de temps ∆t reste faible par rapport aux temps caractéristiques de convection et diffusion. En une itération, le champ aérodynamique a très peu évolué : la vitesse dans la particule a quasiment conservé celle, imposée auparavant, d’un corps rigide : ˜u ≈ u. Il découle de Eq. (6.34) que λ reste très faible. La prise en compte de ce terme est ainsi superflue, ce qui explique pourquoi il est possible de prédire correctement ce genre d’écoulements sans y
avoir recours. L’imposition directe, à chaque itération, via l’étape Eq. (6.29), est ainsi suffisante pour imposer la condition de mouvement rigide.
Le cas est différent pour des écoulements à très faibles nombres de Reynolds. La diffusion prédomine et d’un point de vue numérique, le critère de stabilité devient drastique, obligeant un recours à une intégration implicite des termes visqueux. Le pas de temps ∆t devient ainsi grand devant le temps caractéristique de diffusion τd ∼ ∆2/ν (typiquement ∆t ∼ 10τd à 100τd dans nos
calculs). Dit autrement, le champ de vitesse est fortement modifié à chaque itération sous l’effet de la diffusion. Il devient donc nécessaire lors de l’étape de résolution de l’équation de quantité de mouvement Eq. (6.23) d’introduire la force λ dont le rôle est de « faire sentir » au fluide la présence de la particule.
Nous profitons de ce cas test de sphère en cisaillement pour illustrer la nécessité de prendre en compte cette force dans le calcul du champ de vitesse. La figure suivante Figure 7.3 reprend celle déjà présentée précédemment (Figure 7.2) mais en y adjoignant le résultat obtenu lorsque le terme
λ n’est pas pris en compte (symboles verts). Il s’avère que la vitesse du fluide au voisinage de la
particule (|x/a| > 1) n’est plus prédite de manière aussi précise. Le champ de vitesse dans la particule cependant (|x/a| < 1) reste bien modélisé (les valeurs sont quasiment superposées) car la vitesse de rotation de la particule est toujours correcte. L’absence de ce terme de forçage n’empêche donc pas un calcul de vitesse particule cohérent mais affecte par contre la vitesse du fluide environnant et, par conséquent, les interactions hydrodynamiques.
Fig. 7.3 – Perturbation de vitesse v du fluide avec et sans prise en compte du forçageλ.
7.2 Sphère au voisinage d’une paroi
Si cette particule se trouve près d’une paroi, les interactions avec celle-ci vont modifier la vitesse de la particule. En particulier, la lubrification tend à imposer la vitesse de translation de la particule égale à celle de la paroi ainsi qu’à diminuer sa vitesse de rotation. Cet effet doit être correctement pris en compte dans le cadre de suspensions concentrées en géométrie confinée où le rôle des parois est important.
Une particule sphérique de rayon a est placée librement dans un écoulement de cisaillement ˙γ = 2Upar oi/Ly avec Ly=10a la hauteur du domaine et Upar oi (resp., −Upar oi) la vitesse imposée
sur la paroi supérieure (resp., inférieure). Les paramètres numériques choisis sont ∆ = a/4,9 pour la résolution spatiale et un pas de temps ∆t = 2.10−3˙γ−1. On suppose un écoulement de Stokes. Le
calcul est réalisé pour différentes positions y du centre de la particule et les résultats en termes de vitesse de translation U sont regroupés en Fig. 7.4. Des simulations sont effectuées sans modèle de lubrification (symboles noirs) et avec modèle de lubrification (symboles bleus). Dans ce dernier cas, la correction de lubrification est activée pour une distance entre surfaces adimensionnée ξl ub=0,2,
soit ici quand y/Ly≥ 0,88. La figure reporte également des simulations de Ganatos et al. (1982) par
une méthode de collocation.
Ces résultats montrent que l’effet des parois se fait sentir assez loin et même à y/Ly=0,8, l’on note
une déviation par rapport au profil linéaire attendu (en pointillés verts). Sur ce point, nos résultats de calcul s’accordent avec les simulations de Ganatos et al. (1982). Cet effet s’amplifie notablement à mesure que l’on se rapproche de la paroi : au quasi-contact (y/Ly ≈ 0,9), la vitesse tend alors très
rapidement vers la vitesse de la paroi (U /Upar oi → 1). Là encore, nos prédictions (avec lubrification)
s’accordent parfaitement avec les résultats de Ganatos et al. (1982). Par contre, si le modèle de lubrification n’est pas activé, ce rôle des parois est mal pris en compte et l’on retrouve une vitesse particule assez proche de ce que l’on attendrait en l’absence de paroi, soit ici U /Upar oi=0,8. Le
modèle de lubrification joue donc ici parfaitement son rôle, ce qui va être confirmé par la suite dans des cas à deux particules.
Fig. 7.4 – Vitesse de translationU /Upar oi d’une particule en fonction de sa position y/Ly.
La présence des parois résulte en outre en une diminution de la vitesse de rotation de la particule ainsi qu’en une augmentation sensible de son stresslet. La figure suivante Fig. 7.5 présente ainsi l’évolution du stresslet Sx y, adimensionné par sa valeur loin des parois Sx y,∞ = 10/3πηa3˙γ, en
fonction de la position y/Lyde la particule. Les résultats présentés ici sont obtenus avec modélisation
de la lubrification. Comme pour la vitesse, le stresslet augmente de manière abrupte lorsque l’on se rapproche de la paroi. Les prédictions sont en accord avec les travaux théoriques de Sangani et al. (2011) représentés par les pointillés rouges. Il s’agit du développement asymptotique suivant, valable pour ξ < 0,15 soit ici y/Ly> 0,885
Sx y
Sx y,∞=
0,847lnξ−1− 0,41 + 1,44ξlnξ−1− 0,3ξ
0,2lnξ−1+ 0,6376 (7.3)
Cette relation suggère que le stresslet Sx y est fini au contact et atteint 0,847/0,2 ≈ 4,2 sa valeur en
Fig. 7.5 – Stresslet Sx y/Sx y,∞ d’une particule en fonction de sa position y/Ly.