Une source de non-lin´earit´es

La force de pression de radiation induit une d´eformation statique de la surface du r´esonateur. Le d´eplacement moyen x du r´esonateur repr´esente la somme des contributions statiques de tous les modes de vibration du miroir, que l’on d´eduit de l’´equation (2.62) prise `a fr´equence nulle :

x = 2~kχeff[0]I, (2.68)

o`u I = |α|2 est l’intensit´e moyenne du champ intracavit´e. Le d´ephasage moyen Ψ du champ dans la cavit´e est alors donn´e par l’´equation (2.10) :

Ψ = Ψ₀+ Ψ_NL, (2.69)

o`u l’on a introduit le d´ephasage non lin´eaire Ψ_NL dˆu au d´eplacement du miroir sous l’effet de la pression de radiation moyenne du champ intracavit´e :

Ψ_NL = 4~k²χ_eff[0]I. (2.70)

Cette d´ependance du d´ephasage en fonction de l’intensit´e lumineuse introduit une non lin´earit´e dans le syst`eme semblable `a de l’effet Kerr [80, 82, 83]. En effet, lorsqu’on d´etermine l’intensit´e intracavit´e I en fonction de l’intensit´e incidente Iⁱⁿen utilisant les ´equations (2.11), (2.69) et (2.70), on trouve que cette intensit´e est solution d’une ´equation du troisi`eme degr´e :

2.4. EFFETS DE LA PRESSION DE RADIATION SUR LE SYST `EME 57

I^³γ²+¡Ψ₀+ 4~k²χ_eff[0]I¢2´

= T Iⁱⁿ. (2.71)

En fonction de la susceptibilit´e m´ecanique statique χ_eff[0] du r´esonateur et des caract´eristiques optiques de la cavit´e, on va pouvoir observer diff´erents r´egimes car l’´equation pr´ec´edente peut pr´esenter jusqu’`a trois solutions stationnaires. Si l’intensit´e incidente est faible, on ne verra pas de diff´erence avec une cavit´e rigide : en changeant la fr´equence du laser, on balaye Ψ0 et on va observer une courbe d’Airy standard pour l’intensit´e intracavit´e. Si l’intensit´e incidente est suffisante pour que le d´ephasage non lin´eaire Ψ<sub>NL</sub> soit comparable `a la largeur γ de la r´esonance optique, on peut voir apparaˆıtre de la bistabilit´e. En balayant la r´esonance optique, le pic d’Airy est d´eform´e par les effets non-lin´eaires (figure 2.9).

Fig.2.9 –Influence de la pression de radiation sur l’allure des fonctions d’Airy obtenues en balayant la r´esonance. La courbe en pointill´es est obtenue `a tr`es basse puissance lumineuse. La courbe en trait continu est obtenue avec une puissance incidente suffisante pour observer un effet d’hyst´er´esis. La zone hachur´ee entre les points tournants a et b correspond `a une branche instable.

Cette bistabilit´e m´ecanique a d´ej`a ´et´e observ´ee exp´erimentalement en 1983 [69] avec une cavit´e de finesse F = 15, constitu´ee d’un miroir fixe et d’un miroir d´epos´e sur une plaque en quartz de 60 mg suspendue par deux fils en tungst`ene. La fr´equence de r´esonance m´ecanique de ce pendule est de l’ordre de quelques Hz.

Pour observer cette bistabilit´e m´ecanique, il est n´ecessaire que le d´ephasage non lin´eaire soit comparable `a la largeur de la cavit´e (Ψ_NL ≃ γ), ce qui s’´ecrit aussi en termes de d´eplacements x ≃ λ/2F ≃ 10⁻¹¹m pour une cavit´e de finesse 50 000. Pour une puissance incidente de 1 mW et avec le micro-miroir pr´esent´e pr´ec´edemment, en approximant sa sus-ceptibilit´e statique par la seule contribution de son mode fondamental de masse effective 23 µg et de fr´equence propre Ω₀/2π = 480 kHz, on obtient un recul de x = 10⁻¹²m. Il manque un ordre de grandeur mais la bistabilit´e semble atteignable car il est possible de produire des oscillateurs poss´edant des masses effectives plus faibles.

Ces effets de la pression de radiation pr´esentent de grandes similitudes avec ceux obtenus avec un milieu `a effet Kerr ins´er´e dans une cavit´e optique. L’indice optique d’un tel milieu d´epend de l’intensit´e lumineuse : ainsi, le d´ephasage accumul´e lors d’un aller-retour dans la cavit´e varie aussi de fa¸con affine avec l’intensit´e lumineuse (´equations 2.69 et 2.70). Comme avec un milieu Kerr, on peut esp´erer produire des ´etat comprim´es du champ [8] au voisinage des points tournants de bistabilit´e en d´esaccordant la cavit´e. On peut comprendre cet effet

Fig.2.10 –Effet des non lin´earit´es sur les fluctuations du champ sortant. La rotation entre les champs entrant et r´efl´echi d´epend de l’intensit´e du champ. Les fluctuations du champ sortant ne poss`edent plus la sym´etrie de r´evolution et on obtient un champ comprim´e.

[80] grˆace `a une interpr´etation g´eom´etrique simple dans l’espace des phases, illustr´ee sur la figure 2.10. D’apr`es les relations (2.11) une cavit´e sans perte d´ephase le champ r´efl´echi par rapport au champ incident d’une quantit´e qui d´epend du d´esaccord Ψ de la cavit´e :

α^out = ^{γ + iΨ} γ − iΨ^α

in. (2.72)

Cette relation correspond `a une simple rotation dans l’espace des phases autour de l’ori-gine d’un angle 2Arctan¡Ψ/γ¢, l’amplitude du champ restant constante. La m´ethode semi-classique permet d’interpr´eter la transformation des fluctuations quantiques `a partir des mˆemes lois d’´evolution classique. Chaque point de la distribution initiale, repr´esent´ee sur la figure 2.10 sous la forme d’un disque pour un ´etat coh´erent, subit donc une rotation d’un angle 2Arctan (Ψ/γ), o`u Ψ d´epend de l’amplitude du point consid´er´e sous l’effet de la pression de radiation. Si ces effets sont suffisamment importants, la distribution du champ r´efl´echi est d´eform´ee et prend l’aspect d’une goutte allong´ee comme le montre la figure 2.10. Cette in-terpr´etation g´eom´etrique tr`es simple donne une distribution de forme complexe. La m´ethode semi-classique traite en fait les fluctuations de mani`ere lin´eaire et approxime cette distribu-tion par une ellipse, caract´eristique d’un ´etat comprim´e du champ [80] : les fluctuadistribu-tions de la quadrature parall`ele au petit axe de l’ellipse sont r´eduites en-dessous du bruit de photon standard. On comprend donc grˆace `a cette approche simple que les non lin´earit´es induites par la pression de radiation permettent de produire des ´etats non classiques.

On peut ´egalement utiliser une cavit´e `a micro-miroir pour coupler les fluctuations d’inten-sit´e et de phase de deux faisceaux entrant dans la mˆeme cavit´e. Si leurs intend’inten-sit´es sont tr`es diff´erentes, on peut ainsi effectuer une mesure quantique non destructive (QND) de l’intensit´e lumineuse du faisceau intense [9, 10, 14] en mesurant la phase du faisceau sonde r´efl´echi par la cavit´e.

2.4. EFFETS DE LA PRESSION DE RADIATION SUR LE SYST `EME 59