Bruit de photon et bruit de fr´equence

1 p1 + Ω2/Ω2 c 2k δ ˆx[Ω]. (4.45)

On reconnaˆıt dans la parenth`ese la pente `a d´esaccord nul (Ψ = 0) du signal d’erreur donn´ee par l’expression (4.28) avec η = 1 :

dV_err

dΨ (Ψ = 0) = −J0J₁α_o^22T

γ2. (4.46)

Sachant qu’un d´eplacement δx du miroir produit un d´ephasage δΨ = 2kδx, le signal d’er-reur a la forme attendue, ´egale au produit de la pente statique par le d´ephasage induit par le d´eplacement. A plus haute fr´equence, la cavit´e se comporte comme un filtre passe-bas de fr´equence de coupure ´egale `a sa bande passante Ω<sub>c</sub>. La r´eponse du signal d’erreur au d´eplacement est r´eduite en cons´equence (d´enominateur dans l’´equation 4.45). Ce r´esultat permet de calibrer la mesure des d´eplacements : il suffit de connaˆıtre la pente statique du signal d’erreur `a r´esonance et la bande passante de la cavit´e. Ces deux quantit´es peuvent ˆetre mesur´ees comme on l’a pr´esent´e pr´ec´edemment en balayant la r´esonance de la cavit´e et en acqu´erant le signal d’erreur Pound-Drever-Hall. La pr´ecision de la mesure est principale-ment limit´ee par la bistabilit´e photothermique li´ee `a l’absorption de lumi`ere dans les couches di´electriques des miroirs : elle induit une dilatation de la cavit´e et d´eforme `a la fois les pics d’Airy en transmission et le signal d’erreur. Pour rem´edier `a ce probl`eme, il faut balayer la cavit´e suffisamment rapidement : l’intensit´e absorb´ee est alors limit´ee et les dilatations n´egligeables. On a v´erifi´e la concordance de ces mesures avec celles r´ealis´ees `a plus basse intensit´e, o`u la non-lin´earit´e est r´eduite, et extrapol´ees `a plus forte intensit´e via la formule (4.28), qui indique que la pente est proportionnelle `a l’intensit´e incidente.

Une fois la pente statique du signal d’erreur et la bande passante de la cavit´e mesur´ees, les d´eplacement δ ˆx sont reli´es au spectre Serr[Ω] du signal d’erreur fourni par l’analyseur de spectres par l’expression :

δ ˆx[Ω] = ^λ 4π q 1 + Ω2/Ω_c² dVerr dΨ (Ψ = 0) pSerr[Ω] (4.47)

C’est cette m´ethode que nous utiliserons dans les prochains chapitres pour calibrer les d´eplacements du micro-r´esonateur.

4.6.3 Bruit de photon et bruit de fr´equence

La mesure de δ ˆx est entach´ee de bruits, correspondants aux deux derniers termes dans l’expression (4.43) du signal d’erreur. Le dernier terme est ind´ependant de la fr´equence et correspond au bruit de photon de la porteuse et des bandes lat´erales. D’apr`es l’expression de r₀[0] = (T − P )/(T + P ), il s’´ecrit : S_err^(shot)[Ω] = (αoJ0J1)² ( 1 2J₁² µ T − P T + P ¶2 +^{2T + P} T + P ) . (4.48)

Ce bruit limite la sensibilit´e de la mesure `a un niveau δx_shot obtenu en ´egalisant les deux bruits Serr^(x) et Serr^(shot) (´equations 4.44 et 4.48) :

4.6. SENSIBILIT ´E DE LA MESURE 143 δx_shot[Ω] = ^λ 16F^pI_o T + P T p1 + (Ω/Ω_c)2 s 1 2J₁² µ T − P T + P ¶2 +^{2T + P} T + P ^{. (4.49)}

Cette expression diff`ere de celle obtenue dans le chapitre 2 (´equation 2.28) o`u on consid´erait une mesure directe du bruit de la quadrature de phase du faisceau r´efl´echi. On constate que la sensibilit´e est d´egrad´ee d’un facteur ´egal `a la derni`ere racine dans (4.49). Cependant, le facteur de r´eduction de la sensibilit´e reste de l’ordre de l’unit´e dans la situation exp´erimentale, lorsqu’on fonctionne avec une profondeur de modulation voisine de celle correspondant `a la pente maximale du signal Pound-Drever-Hall (β ≃ 1). Dans le cas d’une cavit´e de finesse 30 000 associ´ee `a une transmission du coupleur d’entr´ee de 100 ppm et `a des pertes totales de 110 ppm, et pour un faisceau modul´e avec une profondeur βopt = 1.08, la d´egradation est seulement de 1.22. Notons enfin que la limite de sensibilit´e δx<sub>shot</sub> pr´esent´ee ici diff`ere de celle pr´esent´ee dans la r´ef´erence [96]. Cela est sans doute dˆu au fait que nous avons utilis´e un d´eveloppement incluant tous les termes `a l’ordre 2 en β, sans nous limiter aux seules bandes lat´erales `a ±∆.

Le dernier bruit qu’il reste `a caract´eriser dans le signal d’erreur est le deuxi`eme terme de l’´equation (4.43), qui s’´ecrit :

S_err^(ω)[Ω] = (α_oJ₀J₁)^{2 T}

2/γ2

γ2+ Ω2τ2Ω²τ²(S_qo[Ω] − 1) . (4.50)

Ce bruit est proportionnel au bruit classique de phase S_qo − 1 du faisceau incident, d´eriv´e temporellement (multiplication par Ω2). Ceci n’est rien d’autre que le bruit de fr´equence S_ω du faisceau incident. En effet, consid´erons un faisceau incident, suppos´e initialement au bruit de photon standard (Sq^(shot)o = 1), auquel on ajoute des fluctuations classiques de fr´equence δω. Les fluctuations classiques de sa quadrature de phase s’obtiennent `a partir de l’´evolution temporelle αo(t)e^−iωt du champ et s’´ecrivent :

δq_o[Ω] = δq_o^shot[Ω] + ^2αo

iΩ ^{δω[Ω], (4.51)}

et les spectres des bruits de phase et de fr´equence sont alors reli´es par l’expression

Ω²(S_qo[Ω] − 1) = 4α²oS_ω[Ω]. (4.52)

On retrouve ici que la fr´equence est la d´eriv´ee temporelle de la phase puisque le bruit de fr´equence est ´egal `a la d´eriv´ee temporelle du bruit classique de phase.

En comparant le signal S_err^(x) et le bruit de fr´equence S_err^(ω) (´equations 4.44 et 4.50), on constate que ce dernier limite la sensibilit´e de la mesure `a un niveau δx_freqobtenu en ´egalisant ce deux bruits :

δx_freq[Ω]

L ⁼

δω[Ω]

ω ^{, (4.53)}

o`u L est la longueur de la cavit´e et ω la pulsation du laser. Une variation de la fr´equence du laser est donc indiscernable d’une variation de longueur de la cavit´e : elles modifient toutes

les deux le d´ephasage de la cavit´e Ψ ≡ 2kL [2π] dans des proportions donn´ees par la relation (4.53).

Pour ne pas ˆetre limit´e par le bruit de fr´equence du laser, il faut travailler avec une cavit´e courte ou r´eduire ce bruit en faisant passer le laser dans une cavit´e de filtrage ou encore en asservissant le laser sur une cavit´e de r´ef´erence ultrastable et plus longue. Puisque l’effet du bruit de fr´equence est d’autant plus grand que la cavit´e est longue, on peut l’observer plus facilement sur des cavit´es longues comme les cavit´es de r´ef´erence et de filtrage, de longueur respective 20 et 40 cm. Dans le prochain chapitre, on pr´esente une courbe typique de bruit de fr´equence obtenue de cette mani`ere. Le bruit est de l’ordre de 100 Hz/√

Hz `a 100 Hz, ce qui, pour une cavit´e de mesure de 3 mm de long, limite la sensibilit´e `a environ 10⁻¹⁷m/√

Hz `

a cette fr´equence.

Notons aussi que la relation (4.53) indique qu’on peut calibrer la mesure en appliquant une modulation de fr´equence d’amplitude connue sur le laser, et en utilisant cette expression (4.53) pour convertir le niveau de modulation observ´e sur le signal d’erreur en d´eplacement ´equivalent. Nous avons utilis´e cette m´ethode pour valider la calibration r´ealis´ee `a l’aide de la pente statique du signal d’erreur (section 4.6.2). On a v´erifi´e la compatibilit´e des deux calibrations jusqu’`a une fr´equence de 500 kHz.

Chapitre 5

Observation et contrˆole du bruit

thermique d’un micro-miroir

Dans cette partie sont pr´esent´es les r´esultats que nous avons obtenus sur l’observation du bruit thermique d’un micro-miroir. Dans un premier temps, on pr´esente les spectres de bruit obtenus `a l’aide de la mesure du signal d’erreur Pound-Drever-Hall. Ce signal refl`ete non seule-ment le spectre de vibration du micro-miroir mais aussi plusieurs bruits limitant la mesure, tels que les vibrations du miroir d’entr´ee, le bruit de photon, les fluctuations de l’indice op-tique li´ees au passage de mol´ecules d’air au travers du faisceau, ainsi que le bruit de fr´equence du laser. Apr`es avoir pr´esent´e ces diff´erents bruits, on revient sur l’´etude du spectre de vibra-tion du micro-miroir. On compare les fr´equences et les masses observ´ees exp´erimentalement avec celles pr´edites par une simulation par ´el´ements finis. En d´epla¸cant l’axe optique de la cavit´e `a la surface du micro-miroir, on a aussi pu reconstruire la structure spatiale des modes propres. On ´etudie enfin l’influence de la pression sur les facteurs de qualit´e m´ecanique.

Nous avons ´egalement ´etudi´e la r´eponse m´ecanique du r´esonateur `a une force ´electrostatique exerc´ee par une pointe m´etallique plac´ee en regard de la face arri`ere. Le wafer en silicium ´etant l´eg`erement dop´e, il assure une conductivit´e suffisante pour que le miroir r´eponde de mani`ere tr`es efficace. La force ´electrostatique a ´et´e utilis´ee pour tester la r´eponse m´ecanique du micro-r´esonateur, ce qui nous a permis d’observer un effet d’interf´erence destructive entre la r´eponse r´esonnante d’un mode de vibration et celle correspondant `a l’ensemble des autres modes. Grˆace `a la dynamique importante de cette force ´electrostatique, nous avons mis en œuvre un processus de refroidissement actif du r´esonateur par friction froide, et nous avons r´eduit sa temp´erature effective jusqu’`a quelques kelvins seulement.

5.1 Spectre de bruit thermique et limites de sensibilit´e